2018年高考真题——理科数学（浙江卷） 原卷版
绝密★启用前
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定
的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的
作答一律无效。
参考公式：
若事件 A，B 互斥，则
若事件 A，B 相互独立，则
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次
独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
台体的体积公式
其中 分别表示台体的上、下底面积， 表示
台体的高
柱体的体积公式
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高
锥体的体积公式
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中 表示球的半径
选择题部分（共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A． B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
2．双曲线 的焦点坐标是
( ) ( ) ( )P A B P A P B
( ) ( ) ( )P AB P A P B
( ) C (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k p p k n
1 1 2 2
1 ( )3V S S S S h
1 2,S S h
V Sh
S h
1
3V Sh
S h
24S R
34
3V R
R
=U Að
2
2 13 =x y
A．(− ，0)，( ，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− )，(0， ) D．(0，−2)，(0，2)
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4 C．6 D．8
4．复数 (i 为虚数单位)的共轭复数是
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
5．函数 y= sin2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
6．已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设 0
1)上两点 A，B 满足 =2 ，则当 m=___________时，点 B 横
坐标的绝对值最大．学科*网
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分 14 分）已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P
（ ）．
（Ⅰ）求 sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角 β 满足 sin（α+β）= ，求 cosβ 的值．
19．（本题满分 15 分）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°，
A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1；
（Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
20．（本题满分 15 分）已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5 的等差中项．数列
{bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n 项和为 2n2+n．
（Ⅰ）求 q 的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．学*科网
21．（本题满分 15 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y2=4x 上存在不同的两点 A，
B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上．
2
4
x AP PB
3 4
5 5 ，-
5
13
（Ⅰ）设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；
（Ⅱ）若 P 是半椭圆 x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．
22．（本题满分 15 分）已知函数 f(x)= −lnx．
（Ⅰ）若 f(x)在 x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln2；
（Ⅱ）若 a≤3−4ln2，证明：对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点．
P M
B
A
O
y
x
2
4
y
x
2018 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数 学·参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，满分 40 分。
1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.D 8.D 9.A 10.B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分。
11.8；11 12.−2；8 13. 14.7
15. 16.1260 17.5
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。
18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。
（Ⅰ）由角 的终边过点 得 ，
所以 .
（Ⅱ）由角 的终边过点 得 ，
由 得 .
由 得 ，
所以 或 .
19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运
算求解能力。满分 15 分。
方法一：
（Ⅰ）由 得 ，
所以 .
故 .
由 ， 得 ，
由 得 ，
由 ，得 ，所以 ，故 .
21 ;37
(1,4);(1,3] (4, )
3 4( , )5 5P 4sin 5
4sin( π) sin 5
3 4( , )5 5P 3cos 5
5sin( ) 13 12cos( ) 13
( ) cos cos( )cos sin( )sin
56cos 65 16cos 65
1 1 1 12, 4, 2, ,AB AA BB AA AB BB AB 1 1 1 2 2AB A B
2 2 2
1 1 1 1A B AB AA
1 1 1AB A B
2BC 1 12, 1,BB CC 1 1,BB BC CC BC 1 1 5B C
2, 120AB BC ABC 2 3AC
1CC AC 1 13AC 2 2 2
1 1 1 1AB B C AC 1 1 1AB B C
因此 平面 .
（Ⅱ）如图，过点 作 ，交直线 于点 ，连结 .
由 平面 得平面 平面 ，
由 得 平面 ，
所以 是 与平面 所成的角.学科.网
由 得 ，
所以 ，故 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
方法二：
（Ⅰ）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系
O-xyz.
1AB 1 1 1A B C
1C 1 1 1C D A B 1 1A B D AD
1AB 1 1 1A B C 1 1 1A B C 1ABB
1 1 1C D A B 1C D 1ABB
1C AD 1AC 1ABB
1 1 1 1 1 15, 2 2, 21B C A B AC 1 1 1 1 1 1
6 1cos ,sin
7 7
C A B C A B
1 3C D 1
1
1
39sin 13
C DC AD AC
1AC 1ABB 39
13
由题意知各点坐标如下：
因此
由 得 .
由 得 .
所以 平面 .
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 .
由（Ⅰ）可知
设平面 的法向量 .
由 即 可取 .
所以 .
因此，直线 与平面 所成的角的正弦值是 .
20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。
满分 15 分。
（Ⅰ）由 是 的等差中项得 ，
所以 ，
解得 .
由 得 ，
因为 ，所以 .
（Ⅱ）设 ，数列 前 n 项和为 .
1 1 1(0, 3,0), (1,0,0), (0, 3,4), (1,0,2), (0, 3,1),A B A B C
1 1 1 1 1(1, 3,2), (1, 3, 2), (0,2 3, 3),AB A B AC
uuur uuuur uuuur
1 1 1 0AB A B
uuur uuuur
1 1 1AB A B
1 1 1 0AB AC
uuur uuuur
1 1 1AB AC
1AB 1 1 1A B C
1AC 1ABB
1 1(0,2 3,1), (1, 3,0), (0,0,2),AC AB BB
uuur uuur uuur
1ABB ( , , )x y zn
1
0,
0,
AB
BB
uuur
uuur
n
n
3 0,
2 0,
x y
z
( 3,1,0) n
1
1
1
| 39sin |cos , | 13| | |
ACAC
AC
uuuruuur
uuur n |n
n |
1AC 1ABB 39
13
4 2a 3 5,a a 3 5 42 4a a a
3 4 5 43 4 28a a a a
4 8a
3 5 20a a 18( ) 20q q
1q 2q
1( )n n n nc b b a { }nc nS
由 解得 .
由（Ⅰ）可知 ，
所以 ，
故 ，
.
设 ，
所以 ，
因此 ，
又 ，所以 .
21．本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能
力和综合应用能力。满分 15 分。
（Ⅰ）设 ， ， ．
因为 ， 的中点在抛物线上，所以 ， 为方程
即 的两个不同的实数根．
所以 ．
因此， 垂直于 轴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
所以 ， ．
因此， 的面积 ．
1
1
, 1,
, 2.n
n n
S nc S S n
4 1nc n
12n
na
1
1
1(4 1) ( )2
n
n nb b n
2
1
1(4 5) ( ) , 22
n
n nb b n n
1 1 1 2 3 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b b b
2 31 1 1(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 32 2 2
n nn n
2 21 1 13 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 22 2 2
n
nT n n
2 2 11 1 1 1 13 7 ( ) (4 9) ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2
n n
nT n n
2 2 11 1 1 1 13 4 4 ( ) 4 ( ) (4 5) ( )2 2 2 2 2
n n
nT n
2114 (4 3) ( ) , 22
n
nT n n
1 1b 2115 (4 3) ( )2
n
nb n
0 0( , )P x y 2
1 1
1( , )4A y y 2
2 2
1( , )4B y y
PA PB 1y 2y
2
020
1
4( ) 42 2
y xy y
2 2
0 0 02 8 0y y y x y
1 2 02y y y
PM y
1 2 0
2
1 2 0 0
2 ,
8 ,
y y y
y y x y
2 2 2
1 2 0 0 0
1 3| | ( ) 38 4PM y y x y x 2
1 2 0 0| | 2 2( 4 )y y y x
PAB△
3
2 2
1 2 0 0
1 3 2| | | | ( 4 )2 4PABS PM y y y x △
因为 ，所以 ．
因此， 面积的取值范围是 ．
22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分 15
分。
（Ⅰ）函数 f（x）的导函数 ，
由 得 ，
因为 ，所以 ．
由基本不等式得 ．
因为 ，所以 ．
由题意得 ．
设 ，
则 ，
所以
x （0，16） 16 （16，+∞）
- 0 +
2-4ln2
所以 g（x）在[256，+∞）上单调递增，
故 ，
即 ．
（Ⅱ）令 m= ，n= ，则
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a< ≤ <0，
2
2 0
0 01( 0)4
yx x 2 2
0 0 0 04 4 4 4 [4,5]y x x x
PAB△ 15 10[6 2, ]4
1 1( )
2
f x xx
1 2( ) ( )f x f x
1 21 2
1 1 1 1
2 2x xx x
1 2x x
1 2
1 1 1
2x x
4
1 2 1 2 1 2
1 22 x x x x x x
1 2x x 1 2 256x x
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1( ) ( ) ln ln ln( )2f x f x x x x x x x x x
1( ) ln2g x x x
1( ) ( 4)4g x xx
( )g x
( )g x
1 2( ) (256) 8 8ln 2g x x g
1 2( ) ( ) 8 8ln 2f x f x
( )e a k 21( ) 1a
k
1( )an knn
| | 1( )an k
n
所以，存在 x0∈（m，n）使 f（x0）=kx0+a，
所以，对于任意的 a∈R 及 k∈（0，+∞），直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有公共点．
由 f（x）=kx+a 得 ．
设 h（x）= ，
则 h′（x）= ，
其中 g（x）= ．
由（Ⅰ）可知 g（x）≥g（16），又 a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以 h′（x）≤0，即函数 h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程 f（x）–kx–a=0 至多 1 个实根．
综上，当 a≤3–4ln2 时，对于任意 k>0，直线 y=kx+a 与曲线 y=f（x）有唯一公共点．
lnx x ak x
lnx x a
x
2 2
ln 1 ( ) 12
xx a g x a
x x
ln2
x x
