2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、选择题 ‎1．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性（ ）‎ A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为 ‎【答案】D ‎【解析】用简单随机抽样从人中剔除人，每个人被剔除的概率相等，剩下的人再按系统抽样的方法抽取，每个人被抽取的概率也相等，这种方法下，每人入选的概率是相等的，为，故选D.‎ ‎2．阅读如图的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第步： ， ；‎ 第步： ， ；‎ 第步： ， ；‎ 退出循环， ．选B.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎3．如图是年在某电视节目中七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由茎叶图可知七位评委的打分为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分和一个最低分后，剩84，84，86，84，87，故平均分为： 故选B ‎4．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. = D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】抛物线的标准方程为： ，则抛物线的直线方程为： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．把黑、红、白张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是( )．‎ A. 对立事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件 ‎【答案】D ‎【解析】对于事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌”，两者不可能同时发生，因此它们是互斥事件；‎ 但除了“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”之外，还有可能“丙分得黑牌”，因此两者不是对立事件；‎ 故事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎6．如果个数的平均数为，则的平均数为 ( )．‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】的平均数为1， ， ， 的平均数为，故选A.‎ ‎【思路点睛】本题主要考查平均数的求法，属于中档题.要解答本题首先根据个数的平均数为得到，从而可得的平均数为 ‎.‎ ‎7．“”是“ ”的( )．‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“x＞3”⇒“”；反之不成立，例如取x=-1． ‎ 因此“x＞3”是“”的充分不必要条件． ‎ 故选：A． ‎ ‎8．双曲线的渐近线与圆相切，则 ( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得双曲线渐近线方程： ，由相切可知，选A.‎ ‎9．有下列四个命题：‎ ‎①“若, 则互为相反数”的逆命题；‎ ‎②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题；‎ ‎③“若,则有实根”的逆否命题；‎ ‎④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题；‎ 其中真命题为( )．‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】① “若, 则互为相反数”的逆命题为“若互为相反数，则”，正确；②“若两个三角形全等，则两个三角形的面积相等”的否命题为“若两个三角形不全等，则两个三角形的面积不相等”，错误；③“若,则有实根”的逆否命题为“若没有实根，则”，因为没有实根，所以，可得，所以逆否命题正确；④“若不是等边三角形，则的三个内角相等”逆命题为“若的三个内角相等，则不是等边三角形”，显然错误，①③为真命题，故选C ‎10．已知命题 若为钝角三角形，则；命题若，则或，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于命题：若为钝角三角形，则当为钝角时， ，不等式不成立，即命题是假命题，故命题是真命题；对于命题：若，则或者，所以命题是真命题。所以依据复合命题的真假判别法则可知命题是真命题，应选答案B。‎ ‎11．已知椭圆的右焦点为， 为左顶点， 为椭圆上动点，则能够使的点的个数为( )．‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，即有， ‎ ‎∵‎ ‎∴，即在以为直径的圆上，则圆的方程为为①‎ ‎∵点在椭圆上，椭圆方程为②‎ ‎∴由①②消去整理得 ‎∴ 解得 ‎∴当时， ；当时， ‎ ‎∴点的坐标为， ， ‎ ‎∴的个数有3个，故选C 点睛：本题的解题关键在于由得出点的轨迹方程，又因为点在椭圆上，进而联立方程即可求解.‎ ‎12．点是双曲线上的点， 是其焦点，双曲线的离心率是，且,若的面积是9，则的值等于( )．‎ A. 4 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的离心率是 ， ‎ ‎ 的面积 ‎ 在 中，由勾股定理可得 故选 C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，利用双曲线的定义是解题的关键．‎ 二、填空题 ‎13．十进制数转化为进制数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵， ， ， ‎ ‎∴，故答案为 ‎14．某路公交车站早上在准点发车，小明同学在至之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，小明在和之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是.‎ 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．‎ ‎15．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ 命题“”是假命题 ‎∴ 命题“”是真命题 令，则必有，解得，故答案为 ‎16．如图为抛物线上的动点，过分别作轴与直线 的垂线，垂足分别为，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】延长，交抛物线准线于，设抛物线的焦点为，连接， ，如图所示，‎ 则 ‎∵，当且仅当三点共线时取等号 ‎∴‎ ‎∴的最小值为，故答案为 点睛：解决与抛物线焦点弦有关问题的关键在于充分利用抛物线的定义，并从几何角度进行观察分析，找到简捷的解题方法.‎ 三、解答题 ‎17．已知 ，命题 ，命题．‎ ‎（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；‎ ‎（2）若命题 为真命题，命题 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由命题为真命题，令，只要时，即可；（2）当命题为真命题时，可得，解得的取值范围，由命题 为真命题，命题 为假命题，可得一真一假，分两种情况，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为命题，‎ 令，根据题意，只要时，即可，也就是； ‎ ‎（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，，‎ 命题q为真命题时，，解得 ‎ 因为命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，，‎ 当命题p为假，命题q为真时，，‎ 综上：实数的取值范围是 点睛：有关三个逻辑联结词“或”“且”“非”的问题，首先剖析命题和命题，然后根据题意的要求求出的真假，真则取其范围，假则取其（对立面）补集，根据的真假列出不等式组，求出的取值范围.‎ ‎18．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段： ， ， ，…后得到如下频率分布直方图.‎ ‎(1)根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的中位数（精确到0.1）、众数、平均数；‎ ‎(2)用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，求各分数段抽取的人数.‎ ‎【答案】（1）中位数为70．3; 众数为75; 平均数为;（2）抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人 ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图计算中位数、众数、平均数；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各层人数.‎ 试题解析：(1)根据频率和为1，解得 ‎ 设中位数为，则根据直方图可知 ‎∴‎ ‎∴，即中位数为 由图可知众数为75，平均数为 ‎ (2)各层抽取比例为，各层人数分别为6,9,9,18,15,3，所以抽取人数依次为2人；3人；3人；6人；5人；1人 ‎19．已知动点 (其中)到轴的距离比它到点的距离少.‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与动点的轨迹交于、两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直接法，利用坐标列出方程，即可解得；（2）设，将直线与动点的轨迹方程联立，消去未知数，得到关于的一元二次方程，于是得出，再求出，即可得的面积.‎ 试题解析：(1)由已知， 即： ，‎ 又 ‎ ‎(2)设，不妨令 过点，‎ 联立 则满足，且 ‎ ‎∴.‎ 点睛：直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”.‎ ‎20．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为．‎ ‎（Ⅰ）求满足的概率；‎ ‎（Ⅱ）设三条线段的长分别为和5，求这三条线段能围成等腰三角形（含等边三角形）的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）首先由a,b的值确定所有基本事件，由可得到满足条件的点，求其比值可得到概率值；（Ⅱ）由等腰三角形分情况讨论可得到构成三角形的个数，从而求得相应的概率 试题解析：先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．………………………2分 ‎（Ⅰ）由于，‎ ‎∴满足条件的情况只有，或两种情况． ……………4分 ‎∴满足的概率为． …………………………………………5分 ‎（Ⅱ）∵三角形的一边长为5，三条线段围成等腰三角形，‎ ‎∴当时， ，共1个基本事件；‎ 当时， ，共1个基本事件；‎ 当时， ，共2个基本事件；‎ 当时， ，共2个基本事件；‎ 当时， ，共6个基本事件；‎ 当时， ，共2个基本事件；‎ ‎∴满足条件的基本事件共有1＋1＋2＋2＋6＋2＝14个．…………………………11分 ‎∴三条线段能围成等腰三角形的概率为．…………………………………12分 ‎【考点】古典概型概率 ‎21．在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，且离心率为. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得椭圆方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由椭圆，则，‎ 将代入椭圆， ，解得： ，‎ 故椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则，‎ 则，‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程，设，‎ 则，消去，整理得： .‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，解得： ，‎ 直线的方程.‎ ‎22．已知椭圆上的左、右顶点分别为， ， 为左焦点，且，又椭圆过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线, 的斜率分别为,，若, , 三点共线，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知，，又，求的椭圆的方程为． （2）Q点在圆上，所以，点P在椭圆上，由椭圆性质可知，又, , 三点共线, ‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知可得，，又， 解得．‎ ‎ 故所求椭圆的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．设，，‎ 所以．因为在椭圆上，‎ 所以，即． ‎ 所以．…① ‎ 由已知点在圆上，为圆的直径，‎ 所以．所以． ‎ 由，，三点共线，可得．．……②‎ 由①、②两式得．‎