高考数学专题复习课件：11-3 变量间的相关关系、统计案例

高考数学专题复习课件：11-3 变量间的相关关系、统计案例

§11.3 　变量间的相关关系、统计案例 [ 考纲要求 ] 　 1. 会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系 .2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程 .3. 了解独立性检验 ( 只要求 2 × 2 列联表 ) 的基本思想、方法及其简单应用 .4. 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用 . 1 ．两个变量的线性相关 (1) 正相关 在散点图中，点散布在从 ________ 到 ________ 的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2) 负相关 在散点图中，点散布在从 _______ 到 _______ 的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关． 左下角 右上角 左上角 右下角 (3) 线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _____________ ，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 2 ． 回归方程 (1) 最小二乘法 求回归直线，使得样本数据的点到它的 _________________ 的方法叫做最小二乘法． 一条直线附近 距离的平方和最小 ① 当 r >0 时，表明两个变量 _________ ； ② 当 r <0 时，表明两个变量 ________ ； ③ r 的绝对值越接近 1 ，表明两个变量的线性相关性 ____ ； r 的绝对值越接近 0 ，表明两个变量的线性相关性 _____ ．通常当 | r | ＞ 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系． 正相关 负相关 越强 越弱 4 ．独立性检验 (1) 分类变量：变量的不同 “ 值 ” 表示个体所属的 _________ ，像这类变量称为分类变量． (2) 列联表：列出两个分类变量的 ________ ，称为列联表．假设有两个分类变量 X 和 Y ，它们的可能取值分别为 { x 1 ， x 2 } 和 { y 1 ， y 2 } ，其样本频数列联表 ( 称为 2 × 2 列联表 ) 为 不同类别 频数表 2 × 2 列联表 y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋ b x 2 c d c ＋ d 总计 a ＋ c b ＋ d a ＋ b ＋ c ＋ d 【 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系． ( 　　 ) (2) “ 名师出高徒 ” 可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系． ( 　　 ) (3) 只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值． ( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) √ 　 (3) √ 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 【 答案 】 C 2 ．下面是 2 × 2 列联表： y 1 y 2 合计 x 1 a 21 73 x 2 22 25 47 合计 b 46 120 则表中 a ， b 的值分别为 ( 　　 ) A ． 94 ， 72 　　　　　　　　　 B ． 52 ， 50 C ． 52 ， 74 D ． 74 ， 52 【 解析 】 ∵ a ＋ 21 ＝ 73 ， ∴ a ＝ 52. 又 a ＋ 22 ＝ b ， ∴ b ＝ 74. 【 答案 】 C 3 ．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居民进行调查，经过计算 K 2 ≈ 0.99 ，根据这一数据分析，下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．有 99% 的人认为该电视栏目优秀 B ．有 99% 的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 C ．有 99% 的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系 【 解析 】 只有 K 2 ≥ 6.635 才能有 99% 的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，而即使 K 2 ≥ 6.635 也只是对 “ 该电视栏目是否优秀与改革有关系 ” 这个论断成立的可能性大小的结论，与是否有 99% 的人等无关．故只有 D 正确． 【 答案 】 D 4 ． (2017· 湖南三校联考 ) 某产品在某零售摊位的零售价 x ( 单位：元 ) 与每天的销售量 y ( 单位：个 ) 的统计资料如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 【 答案 】 C 5 ． ( 教材改编 ) 在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了 1 671 人，经过计算 K 2 的观测值 k ＝ 27.63 ，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ________ 的 ( 填 “ 有关 ” 或 “ 无关 ” ) ． 【 答案 】 有关 (2) x 和 y 的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为 ________ ． 【 答案 】 (1)D 　 (2) ①② (2) 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为 (10 ， 1) ， (11.3 ， 2) ， (11.8 ， 3) ， (12.5 ， 4) ， (13 ， 5) ；变量 U 与 V 相对应的一组数据为 (10 ， 5) ， (11.3 ， 4) ， (11.8 ， 3) ， (12.5 ， 2) ， (13 ， 1) ． r 1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数， r 2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则 ( 　　 ) A ． r 2 ＜ r 1 ＜ 0 B ． 0 ＜ r 2 ＜ r 1 C ． r 2 ＜ 0 ＜ r 1 D ． r 2 ＝ r 1 【 答案 】 (1)D 　 (2)C 题型二　线性回归分析 【 例 2 】 (2015· 课标全国 Ⅰ ) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x ( 单位：千元 ) 对年销售量 y ( 单位： t) 和年利润 z ( 单位：千元 ) 的影响，对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， 8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 跟踪训练 2 某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数 x ( 个 ) 2 3 4 5 加工的时间 y ( 小时 ) 2.5 3 4 4.5 (1) 在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； 【 解析 】 题型三　独立性检验 【 例 3 】 (2017· 莱芜模拟 ) 大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞．某高校文学社从男女生中各抽取 50 名同学调查他们对莫言作品的了解程度，结果如下： 阅读过莫言 的 作品数 ( 篇 ) 0 ～ 25 26 ～ 50 51 ～ 75 76 ～ 100 101 ～ 130 男生 3 6 11 18 12 女生 4 8 13 15 10 (1) 试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率； (2) 对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为 “ 对莫言作品非常了解 ” ，否则为 “ 一般了解 ” ． 根据题意完成下表，并判断能否有 75% 的把握认为对莫言作品非常了解与性别有关？ 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 (2) 非常了解 一般了解 合计 男生 30 20 50 女生 25 25 50 合计 55 45 100 【 方法规律 】 (1) 独立性检验的关键是正确列出 2 × 2 列联表，并计算出 K 2 的值． (2) 弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答． 跟踪训练 3 (2017· 黑龙江哈尔滨六中期末 ) 为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了 50 人参加环保知识测试，统计数据如下表所示： 优秀 非优秀 总计 男生 40 20 60 女生 20 30 50 总计 60 50 110 P ( K 2 ≥ k ) 0.500 0.400 0.100 0.010 0.001 k 0.455 0.708 2.706 6.635 10.828 思想与方法系列 22 求线性回归方程的方法技巧 【 典例 】 (12 分 ) 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据： 年份 2008 2010 2012 2014 2016 需求量 / 万吨 236 246 257 276 286 年份－ 2012 － 4 － 2 0 2 4 需求－ 257 － 21 － 11 0 19 29 (2) 利用所求得的线性回归方程，可预测 2018 年的粮食需求量大约为 6.5 × (2018 － 2012) ＋ 260.2 ＝ 6.5 × 6 ＋ 260.2 ＝ 299.2( 万吨 ) ． (12 分 ) 【 温馨提醒 】 求线性回归方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更烦琐 ( 如年份、需求量，不做如上处理 ) ，所以平时训练时遇到数据较大的题目时，要考虑有没有更简便的方法解决 . ► 方法与技巧 1 ．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决： (1) 确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式； (2) 根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势； (3) 求出线性回归方程． 2 ．根据 K 2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度． ► 失误与防范 1 ．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 2 ．独立性检验中统计量 K 2 的观测值 k 的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错 .