2020届二轮复习离心率学案（全国通用）

2020届二轮复习离心率学案（全国通用）

培优点十八 离心率 ‎1．离心率的值 例1：设，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题存在焦点三角形，由线段的中点在轴上，为中点可得轴，‎ 从而，又因为，则直角三角形中，，‎ 且，，所以，故选A．‎ ‎2．离心率的取值范围 例2：已知是双曲线的左焦点，是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】从图中可观察到若为锐角三角形，只需要为锐角．由对称性可得只需即可．且，均可用，，表示，是通径的一半，得：‎ ‎，，‎ 所以，即，故选B．‎ 对点增分集训 一、单选题 ‎1．若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线过点，代入，可得：，‎ 即，，故选D．‎ ‎2．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线的参数方程为，代入椭圆方程并化简得，‎ 所以，，由于，即，代入上述韦达定理，‎ 化简得，即，．故选A．‎ ‎3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”‎ 及一些应用，‎ 还提出了一元二次方程的解法问题．直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”．设、分别是双曲线 ‎，的左、右焦点，是该双曲线右支上的一点，若，分别是的“勾”“股”，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的定义得，所以，‎ 即，由题意得，所以，‎ 又，所以，解得，从而离心率，故选D．‎ ‎4．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，它们交于，两点，且直线过点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的左焦点坐标为，由题意可得：，，‎ 则，，即，，‎ 又：，，‎ 据此有：，即，‎ 则双曲线的离心率：．本题选择C选项．‎ ‎5．已知点在椭圆上，若点为椭圆的右顶点，且（为坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，所以圆的方程 为：，‎ 与椭圆方程联立得：，此方程在区间上有解，‎ 由于为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于与之间，‎ 所以，结合，解得，‎ 根据离心率公式可得．故选C．‎ ‎6．已知椭圆，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设为椭圆短轴一端点，则由题意得，即，‎ 因为，所以，，，，，，故选C．‎ ‎7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，‎ 则此双曲线的离心率的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线的定义知 ①；又， ②‎ 联立①②解得，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ 要求的最大值，即求的最小值，‎ 当时，解得，即的最大值为，故选B．‎ 解法二：由双曲线的定义知 ①，又， ②，联立①②解得，，因为点在右支所以，即故，即的最大值为，故选B．‎ ‎8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，为坐标原点，‎ 若，且，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆的定义可得，，‎ 又，可得，即为椭圆的短轴的端点，‎ ‎，且，即有，即为，．故选D．‎ ‎9．若直线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的渐近线方程为，‎ 由双曲线与直线有交点，则有，即有，‎ 则双曲线的离心率的取值范围为，故选D．‎ ‎10．我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知，是一对相关曲线的焦点，，分别是椭圆和双曲线的离心率，若为它们在第一象限的交点，，则双曲线的离心率（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，‎ 可得，，可得，，‎ 由余弦定理可得，‎ 即有，‎ 由离心率公式可得，，即有，解得，故选C．‎ ‎11．又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了．已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直线，即，‎ 直线恒过定点，直线过圆的圆心，‎ ‎，，的圆心为、两点中点，‎ 设，，，‎ 上下相减可得：，‎ 化简可得，，‎ ‎，，故选C．‎ ‎12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，‎ ‎，，，‎ 由题意得，故，‎ 故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D．‎ 二、填空题 ‎13．已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为，‎ 由于的斜率为，所以，且，所以是等边三角形，‎ 所以，所以，，‎ 所以，‎ 所以，由双曲线的定义可知，所以双曲线的离心率为．‎ ‎14．已知双曲线，其左右焦点分别为，，若是该双曲线右支上一点，‎ 满足，则离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设点的横坐标为，∵，在双曲线右支上，根据双曲线的第二定义，‎ 可得，，‎ ‎，，，，，，故答案为．‎ ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，的两点，且轴，若为椭圆上异于，的动点且，则该椭圆的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，因为轴且，假设在第一象限，则，‎ 过作轴于，则易知，‎ 由得，所以，，‎ 所以，代入椭圆方程得，即，‎ 又，所以，所以椭圆离心率为．‎ 故答案为．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，记椭圆的左右焦点分别为，，若该椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，6个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，‎ 设在第一象限，，当时，，‎ 即，解得，‎ 又因为，所以，‎ 当时，，‎ 即且，解得：，‎ 综上或．‎ 三、解答题 ‎17．已知双曲线的的离心率为，则 ‎（1）求双曲线的渐进线方程．‎ ‎（2）当时，已知直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的中点在圆上，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意，得，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴所求双曲线的渐进线方程．‎ ‎（2）由（1）得当时，双曲线的方程为．‎ 设，两点的坐标分别为，，线段的中点为，‎ 由，得（判别式），‎ ‎∴，，‎ ‎∵点在圆上，∴，∴．‎ ‎18．已知椭圆的左焦点为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交椭圆于，两点．‎ ‎①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，．求证：为定值；‎ ‎②若，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）①见解析，②．‎ ‎【解析】（1）由题设知，，，所以，，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①由题设知直线斜率存在，设直线方程为，则．‎ 设，，直线代入椭圆得，‎ 所以，，由，知 ‎，，‎ ‎．‎ ‎②当直线，分别与坐标轴重合时，易知．‎ 当直线，斜率存在且不为0时，设，，‎ 设，，直线代入椭圆得到，‎ 所以，，同理，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 因为，所以，故，综上．‎