2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题 解析版

南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试 高二数学（文科）试卷 命题人：谭 佳 审题人：游 佳 一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．到直线的距离为2的点的轨迹方程是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2．圆的圆心的直角坐标为( )‎ A．(4.0) B．(0,-4) C．(0,4) D．(-4.0)‎ ‎3．在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎4．已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为（ ）‎ A．或 B． ‎ C． D．或 ‎5．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：‎ ‎，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ）.‎ A．20 B．‎‎18 ‎ C．16 D．以上均有可能 ‎6．设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B.2 ‎ C. D.3‎ ‎7．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎10．如果是抛物线的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若,则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（ ）‎ A．10 B．‎20 ‎ C． D．40‎ ‎12．抛物线x2=8y的焦点为F,过点F的直线交抛物线于M、N两点，点P为x轴正半轴上任意一点，则（ ）‎ A．-20 B．‎12 ‎ C．-12 D．20‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在极坐标系中，O是极点，设点，，则△OAB的面积是__________．‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,-3)，若圆C：（x-a）2+（y-a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎15．若点在双曲线上，则的最小值是____________．‎ ‎16．若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为________________.‎ 三、解答题(共6小题，共70分)‎ ‎17．（本小题10分）‎ 已知直线经过直线与的交点.‎ ‎(1)点到直线的距离为3，求直线的方程；‎ ‎(2)求点到直线的距离的最大值,并求距离最大时的直线的方程．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知圆，直线与圆交于不同的两点．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求直线的方程．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，它在点处的切线为直线l.‎ ‎(1)求直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与的交点为P1,P2,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎20．（本小题12分）‎ 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、、，求 ‎21．（本小题12分）‎ 已知,,点满足，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.‎ ‎（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.‎ ‎（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点．‎ ‎（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ‎（ii）当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ 南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试 高二数学（文科）试卷参考答案 一、单选题 ‎1．到直线的距离为2的点的轨迹方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设所求直线方程为，根据两条平行线间的距离公式得：‎ ‎ ，则 或 ，‎ 所求直线方程为 或，选D.‎ ‎2．圆的圆心的直角坐标为( )‎ A． (4.0) B． (0,-4) C． (0,4) D． (-4.0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：将极坐标方程为，化为圆的一般方程，然后再判断．‎ 详解：圆的极坐标方程为，，消去和得，配方得 ∴圆心的直角坐标是 故选C.，‎ 点睛：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解．‎ ‎3．（本题0分）在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设，，则，由点在圆上，则，即，故选A．‎ 考点：1、轨迹方程；2、圆的标准方程．‎ ‎4．（本题0分）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则实数的值为（ ）‎ A．或 B． C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： 由圆的方程，可得圆的圆心为原点，半径为，若圆上恰有个点到直线的距离等于，因为半径为，则到直线：的距离等于，直线的一般方程为：，，解得，故选D.‎ 考点:1、圆的几何性质；2、点到直线的距离公式.‎ ‎5．（本题0分）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点A、B是它的两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A时，小球经过的最短路程是（ ）.‎ ‎ A．20 B．‎18 ‎C．16 D．以上均有可能 ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆定义可知小球经过路程为‎4a，所以最短路程为16，答案：C ‎6．（本题0分）设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B‎.2 C. D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图，因为，∴，∴，∴，∴，∴.故选B.‎ 考点：双曲线的性质和应用.‎ ‎7．（本题0分）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q,则等于 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】考虑特殊位置,令焦点弦PQ平行于轴,‎ ‎8．（本题0分）设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的离心率，椭圆的离心率为，选C.‎ 考点：椭圆、双曲线的定义及离心率 ‎【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎9．（本题0分）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,焦点在y轴上，所以双曲线的方程为选B.‎ ‎10．如果是抛物线的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若,则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案B ‎11．（本题0分）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（ ）‎ A． 10 B． ‎20 C． D． 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线的渐近线为，‎ 双曲线的渐近线为，‎ ‎∵两个双曲线有相同的渐近线，‎ ‎∴，即，得m=1，‎ 则双曲线C1： ，则对应的焦点坐标为E（0， ），F（0，﹣），‎ 双曲线C2： 的焦点坐标为G（2，0），H（﹣2，0），‎ 则两个双曲线的四个焦点构成的四边形面积为S=2S△GHE=2×，‎ 故选：B.‎ ‎12．（本题0分）抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：设，则 ‎，由利用韦达定理求解即可.‎ 详解：设，‎ 的焦点，‎ 设过点的直线为，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B.‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．（本题0分）在极坐标系中，是极点，设点，，则的面积是__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：根据极角可得三角形的内角，由极经得边的长，根据三角形的面积公式即可得结果.‎ 详解：‎ 如图，根据极径与极角的定义可得，中，‎ ‎，‎ ‎（平方单位），故答案为.‎ 点睛：本题主要考查极坐标系内，极径与极角的几何意义及其应用，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力..‎ ‎14．（本题0分）在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】设点的坐标为，根据可得点的轨迹方程为，然后将问题转化为两圆有公共点的问题解决，根据圆心距和半径的关系可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意得圆的圆心为，半径为1．‎ 设点的坐标为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．‎ 由题意得圆和点M的轨迹有公共点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆位置关系的判断和利用，解题的关键是根据题意得到点M的轨迹方程，然后将问题转化为两圆有公共点的问题出处理，再利用代数法求解可得所求的结果．‎ ‎15．（本题0分）若点在双曲线上，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，二次函数对称轴为，结合二次函数图像及性质可知最小值为时对应的值为 考点：双曲线方程及性质 ‎16．（本题0分）若正方形ABCD的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上.则该正方形面积的最小值为　　　　.‎ ‎【答案】 80 ‎ ‎【解析】设正方形的边AB在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为、，则CD所在直线的方程将直线的方程与抛物线方程联立，得 令正方形边长为则①‎ 在上任取一点（6，,5），它到直线的距离为②.‎ ‎①、②联立解得或 三、解答题 ‎17．（本题0分）已知直线经过直线与的交点.‎ ‎(1)点到直线的距离为3，求直线的方程；‎ ‎(2)求点到直线的距离的最大值,并求距离最大时的直线的方程．‎ ‎【答案】(1) x＝2或4x－3y－5＝0(2)见解析． ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设过两直线的交点的直线系方程，再根据点到直线的距离公式，求出的值，得出直线的方程；（2）先求出交点P的坐标，由几何的方法求出距离的最大值。‎ 试题解析：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 ‎ (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ‎ 所以＝3，解得λ＝或λ＝2 ‎ 所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. ‎ ‎(2)由解得交点P(2，1)，‎ 如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，‎ 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)‎ ‎ 所以dmax＝|PA|＝ ‎ 此时直线l的方程为: 3x－y－5＝0． ‎ ‎18．（本题0分）已知圆，直线与圆交于不同的两点．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于的限制条件，解出的取值范围；（Ⅱ）由得为的中点，设，则，代入圆方程得，，解方程组可得或，因此可出求直线的方程 试题解析：（Ⅰ）将直线的方程代入圆的方程后，整理得，依题意，直线与圆交于不同的两点．又∵，∴只需，解得的取值范围为．……………4分 ‎（Ⅱ）由已知为的中点，设，，则 ‎，① ，②‎ 解①②可得或，‎ ‎∴直线的方程为．………………………………12分 考点：直线与圆位置关系 ‎19．19．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线l.‎ ‎(I)求直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与的交点为P1,P2,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.‎ 解：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴，∴曲线的直角坐标方程为，又的直角坐标为（2,2），‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴曲线在点（2,2）处的切线方程为，‎ 即直线的直角坐标方程为.‎ ‎ (2)‎ 妨设P1(1,0),P2(0,-2),则线段P1P2的中点坐标 所求直线斜率为k 于是所求直线方程为y+1‎ 化为极坐标方程,并整理得 2ρcos θ+4ρsin θ=-3, 即ρ ‎20．（本题0分）（12分）过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为、、，求 ‎（1）依题意，焦点为F(,0)，准线l的方程为x=－.‎ 设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的方程为x=my+,则有M1(－,y1)，N1(－,y2)，=(－p,y1), =(－p,y2).‎ 由 于是，y1+y2=2mp，y1y2=－p2.‎ ‎∴·=p2+y1y2=p2－p2=0‎ ‎（2）S=4S1S3成立，证明如下：‎ 证法一：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，‎ 直线l与x轴的交点为F1，则由抛物线的定义得 ‎|MM1|=|MF|=x1+, |NN1|=|NF|=x2+. 于是 S1=·|MM1|·|F‎1M1|=(x1+)|y1|，‎ S2=·|M1N1|·|FF1|=p|y1－y2|，‎ S3=·|NN1|·|F1N1|=(x2+)|y2|，‎ ‎∵S=4S1S3(p|y1－y2|)2‎ ‎=4×(x1+)|y1|·(x2+)·|y2|p2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+(x1+x2)+]·|y1y2|.‎ 将与代入上式化简可得 p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立. 故=4.‎ ‎21．（本题0分）已知,,点满足，记点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.‎ ‎（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使 恒成立，求实数的值.‎ ‎（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）（i）（ii）9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P，Q，与双曲线方程联立消y得，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出 试题解析：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为 ‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，‎ ‎ 解得k2 >3 ‎ ‎（i）‎ ‎，‎ 故得对任意的恒成立，‎ ‎ ∴当m =－1时，MP⊥MQ.‎ 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，‎ 综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ‎ ‎（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，‎ ‎， M点到直线PQ的距离为，则 ‎ ‎∴ ‎ 令，则，因为 所以 ‎ 当直线l的斜率不存在时， ‎ 综上可知，故的最小值为9. ‎ 考点：圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质 ‎22．（本题0分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，是椭圆上位于直线两侧的动点．‎ ‎（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；‎ ‎（ii）当点运动时，满足，问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）；（Ⅱ）（i）；（ii）的斜率为定值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）设椭圆的方程为，由条件利用椭圆的性质求得和的值，可得椭圆的方程．‎ ‎（II）（i）设的方程为，代入椭圆的方程化简，由△＞0，求得的范围，再利用利用韦达定理可得以及的值．再求得的坐标，根据四边形的面积，计算求得结果．‎ ‎（ii）当时，C、的斜率之和等于零，的方程为，把它代入椭圆的方程化简求得．再把直线的方程椭圆的方程化简求得的值，可得 以及 的值，从而求得的斜率的值．‎ 试题解析：设椭圆的方程为，由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，．‎ 再根据离心率，求得，∴椭圆C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）（i）设，的方程为，代入椭圆的方程化简可得，由，求得．‎ 利用韦达定理可得，．‎ 在中，令求得，∴四边形的面积 ‎，‎ 故当时，四边形的面积取得最小值为4．‎ ‎（ii）当时，、的斜率之和等于零，设的斜率为，则的斜率为，‎ 的方程为，把它代入椭圆的方程化简可得 ‎，所以．‎ 同理可得直线的方程为，‎ ‎，‎ 的斜率．‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎