2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用（测）（解析版）

专题24 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用 ‎ ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ ‎(一)选择题(12*5=60分)‎ ‎1. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为渐近线方程为，‎ 所以渐近线方程为，选A.‎ ‎2.【2020届广东省五校协作体高三联考】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，．由椭圆的定义可知，到该椭圆的两个焦点的距离之和为．‎ ‎3． 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，由抛物线的定义可得点的坐标，∴的面积为 ‎．‎ ‎4.【2020届江西省赣州上学期期末】双曲线的左右顶点分别为，右支上存在点满足 ‎(其中分别为直线的倾斜角)，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，则，则，‎ 又，所以，则，即，所以，故选D.‎ ‎5.【2020届河北省沧州市高三联考】设为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点为线段的中点，若，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】很明显直线的斜率存在，设直线方程为，与抛物线联立可得 ，则，即，而，利用两点之间距离公式可得： ，整理化简可得： .利用韦达定理有： ，则 ， ，由弦长公式可得.‎ ‎6. 【2018届河北省张家口市高三上学期期末】已知椭圆：()与双曲线：()的焦点重合，，分别为，的离心率，则 A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，即，‎ ‎，所以．故选A．‎ ‎7.【山东省济南外国语学校2020届高三模拟】已知椭圆的左右焦点分别为为坐标原点，A为椭圆上一点，，连接轴于M点，若，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设AF1＝m，AF2＝n．如图所示，由题意可得：Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，∴．则m+n＝2a，m2+n2＝4c2，n＝3m．化为：m2，n2＝9m2＝6b2．∴6b2＝4c2．∴c2，化为：．故选：D．‎ ‎8.【2018年全国卷Ⅲ理】设,是双曲线()的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，，在中，‎ 在中,，，‎ ‎9、已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于，则的离心率为( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x即bx±ay=0，∴顶点到渐近线的距离为 ∵双曲线(a，b＞0)的顶点到渐近线的距离等于∴=∴c=2b，∵，故选B.‎ ‎10.【湖北省宜昌市2020届高三调研】过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则该椭圆的离心率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】设， ，P是线段AB的中点，则，，过点且倾斜角为的直线方程为：，即：，联立直线与椭圆方程得：，整理得： ， ，，代入得： ,椭圆的离心率为:.故选：C ‎11.【2020届湖北省部分重点中学高三联考】如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于四点，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵y2=x，焦点F(，0)，准线 l0：x=﹣，由圆：(x﹣)2+y2=2圆心(，0)‎ ‎，半径为；由抛物线的定义得：|AF|=xA+，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=xA+同理：|CD|=xD+，‎ 当AB⊥x轴时，则xD=xA=，∴|AB|+4|CD|=15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k(x﹣)时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣(k2+)x+8k2=0，∴xAxD=8，xA+xD=，‎ ‎∴|AB|+4|CD|=(xA+)+4(xD+)=5+xA+4xD≥+2=13．当且仅当xA=4xD，即xA=2，xD=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为故答案为：C.‎ ‎12. 过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆C1：(x+4)2+y2＝4的圆心为(﹣4，0)，半径为r1＝2；圆C2：(x﹣4)2+y2＝1的圆心为(4，0)，半径为r2＝1，设双曲线x21的左右焦点为F1(﹣4，0)，F2(4，0)，‎ 连接PF1，PF2，F1M，F2N，‎ 可得 ‎|PM|2﹣|PN|2＝(|PF1|2﹣r12)﹣(|PF2|2﹣r22)‎ ‎＝(|PF1|2﹣4)﹣(|PF2|2﹣1)‎ ‎＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝(|PF1|﹣|PF2|)(|PF1|+|PF2|)﹣3‎ ‎＝2a(|PF1|+|PF2|﹣3＝2(|PF1|+|PF2|)﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．‎ 当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：D．‎ 二、填空题 ‎13.在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 ‎ ‎14. 【河南省实验中学2020届高三模拟】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得，，‎ ‎∴．设点的坐标为，则，‎ 又，解得，，解得(舍去)，的坐标为．‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.‎ ‎15. 【安徽省黄山市2019届高三一模】点为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线与抛物线交，两点，则弦长__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，抛物线的焦点F(1，0)，由直线的斜角为可知直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为y，联立方程可得，3x2﹣10x+3＝0，解可得，x1＝3或 由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1，故答案为：‎ ‎16.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设，则，所以，所以 取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为,‎ ‎，因为M’为AB中点，所以MM’平行于x轴 因为M(-1,1)，所以，则即，故答案为2.‎ 三、解答题(6*12=72分)‎ ‎17.【2020届陕西省西安市高三上学期期末】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；(2)若，求|AB|．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】设直线．‎ ‎(1)由题设得，故，由题设可得．‎ 由，可得，则．‎ 从而，得．所以的方程为．‎ ‎(2)由可得．由，可得．所以．‎ 从而，故．代入的方程得．故．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.‎ ‎16．已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；‎ ‎(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.‎ ‎(i)证明：是直角三角形；(ii)求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2).‎ ‎【解析】(1)由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，‎ 焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．‎ ‎(2)(i)设直线PQ的斜率为k，则其方程为．由得．‎ 记，则．于是直线的斜率为，‎ 方程为．由得．①‎ 设，则和是方程①的解，故，由此得．‎ 从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．‎ ‎(ii)由(i)得，，所以△PQG的面积．设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．因为在[2，+∞)单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．‎ 因此，△PQG面积的最大值为．‎ ‎【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.‎ ‎19.【2018届湖北省武汉市武昌区高三元月调研】已知椭圆C： 经过点，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线： 与椭圆C交于两个不同的点A，B，求面积的最大值(O为坐标原点)．‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】(1)由题意，知考虑到，解得 所以，所求椭圆C的方程为. ‎ ‎(2)设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得.‎ 由，得. ①‎ 设， ，则， .‎ 于是.‎ 又原点O到直线AB： 的距离.‎ 所以.‎ 因为，当仅且当，即时取等号.‎ 所以，即面积的最大值为. ‎ ‎20. 【2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为；(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)由抛物线经过点，得.‎ 所以抛物线的方程为，其准线方程为.‎ ‎(2)抛物线的焦点为.设直线的方程为.‎ 由得.设，则.‎ 直线的方程为.令，得点A的横坐标.‎ 同理得点B的横坐标.设点，则，‎ ‎.‎ 令，即，则或.‎ 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的方程； (Ⅱ)若，求 的最大值；‎ ‎(Ⅲ)设，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点 ‎ 共线，求k.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得，所以，又，所以，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为，由消去可得，‎ 则，即，‎ 设， ，则， ，‎ 则，‎ 易得当时， ，故的最大值为．‎ ‎(Ⅲ)设， ， ， ，则 ①， ②，‎ 又，所以可设，直线的方程为，‎ 由消去可得，‎ 则，即，又，代入①式可得，‎ 所以，所以，同理可得．‎ 故， ，‎ 因为三点共线，所以，‎ 将点的坐标代入化简可得，即．‎ ‎22．【2020届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，圆交轴于点，交轴于点.以为顶点， 分别为左、右焦点的椭圆，恰好经过点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设经过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎ ‎【解析】(1)由已知可得，椭圆的焦点在轴上.设椭圆的标准方程为，‎ 焦距为，则，∴，∴椭圆的标准方程为.‎ 又∵椭圆过点，∴，解得.∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由于点在椭圆外，所以直线的斜率存在.设直线的斜率为，则直线，‎ 设.由消去得， .‎ 由得，从而，‎ ‎∴.∵点到直线的距离，‎ ‎∴的面积为.令，则，‎ ‎∴ ，‎ 当即时， 有最大值， ，此时.‎ 所以，当直线的斜率为时，可使的面积最大，其最大值.‎