高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

高考数学人教A版（理）一轮复习：第九篇 第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系

第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系 A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．(2013·潍坊一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 (　　)．‎ A. B．2 C. D．4‎ 解析　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.‎ 答案　C ‎2．(2012·台州质检)设斜率为的直线l与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为 ‎(　　)．‎ A. B. C. D. 解析　由于直线与椭圆的两交点A，B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1，F2，故|AF1|＝|BF2|＝，设直线与x轴交于C点，又直线倾斜角θ的正切值为，结合图形易得tan θ＝＝＝，故|CF1|＋|CF2|＝＝|F1F2|＝2c ‎，整理并化简得b2＝(a2－c2)＝ac，即(1－e2)＝e，解得e＝.‎ 答案　C ‎3．(2012·临沂二模)抛物线y2＝2px与直线2x＋y＋a＝0交于A，B两点，其中点A的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F，则|FA|＋|FB|的值等于 (　　)．‎ A．7 B．3 C．6 D．5‎ 解析　点A(1,2)在抛物线y2＝2px和直线2x＋y＋a＝0上，则p＝2，a＝－4，F(1,0)，则B(4，－4)，故|FA|＋|FB|＝7.‎ 答案　A ‎4．(2013·宁波十校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝ (　　)．‎ A．1＋2 B．4－2 C．5－2 D．3＋2 解析　如图，设|AF1|＝m，则|BF1|＝m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝m－2a，∴|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m－2a＋m－2a＝m，得m＝2a，又由|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，可得m2＋(m－2a)2＝4c2，即得(20－8)a2＝4c2，∴e2＝＝5－2，故应选C.‎ 答案　C 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是________．‎ 解析　设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.‎ ‎∵A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.‎ 两式相减得：＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ 即＝－，‎ ‎∵x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，‎ ‎∴＝－，即直线AB的斜率为－.‎ ‎∴直线AB的方程为y－＝－，‎ 即该弦所在直线的方程为2x＋4y－3＝0.‎ 答案　2x＋4y－3＝0‎ ‎6．(2013·东北三省联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为________．‎ 解析　由题意，得 解得∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ 答案　＋＝1‎ 三、解答题(共25分)‎ ‎7．(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点．‎ ‎(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；‎ ‎(2)如果·＝－4，证明：直线l必过一定点，并求出该定点．‎ ‎(1)解　由题意：抛物线焦点为(1,0)，‎ 设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.‎ ‎(2)证明　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2‎ ‎＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.‎ 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)．‎ ‎∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ ‎8．(13分)给出双曲线x2－＝1.‎ ‎(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；‎ ‎(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1，P2两点，求线段P1P2的中点P的轨迹方程；‎ ‎(3)过点B(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点？这样的直线m若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则两式相减得到2(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，‎ 所以直线斜率k＝＝4.‎ 故求得直线方程为4x－y－7＝0.‎ ‎(2)设P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，‎ 按照(1)的解法可得＝， ①‎ 由于P1，P2，P，A四点共线，‎ 得＝， ②‎ 由①②可得＝，整理得2x2－y2－4x＋y＝0，检验当x1＝x2时，x＝2，y＝0也满足方程，故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2－y2－4x＋y＝0.‎ ‎(3)假设满足题设条件的直线m存在，按照(1)的解法可得直线m的方程为y＝2x－1.‎ 考虑到方程组无解，‎ 因此满足题设条件的直线m是不存在的．‎ B级　能力突破(时间：30分钟　满分：45分)‎ 一、选择题(每小题5分，共10分)‎ ‎1．(2013·皖南八校联考)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|＝2|BF|，则k的值是 (　　)．‎ A. B. C．2 D. 解析　法一　据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1.‎ 设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r，‎ 则|AA1|＝2|BB1|＝2|AD|＝2r，‎ 所以有|AB|＝3r，|AD|＝r，‎ 则|BD|＝2r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝＝2.‎ 法二　直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB.则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2.又k>0，故k＝2.‎ 答案　C ‎2．(2012·沈阳二模)过双曲线－＝1(a>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 (　　)．‎ A．(，5) B．(，) 　C．(1，) D．(5,5)‎ 解析　令b＝，c＝，则双曲线的离心率为e＝，双曲线的渐近线的斜率为±.‎ 据题意，2<<3，如图所示．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴2<<3，‎ ‎∴5

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