2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期入学考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期入学考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省成都外国语学校2018-2019学年高二下学期入学考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．直线l：与圆C：的位置关系是　　‎ A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断.‎ ‎【详解】‎ 圆C：的圆心坐标为：，‎ 则圆心到直线的距离，‎ 所以圆心在直线l上，‎ 故直线与圆相交．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎2．从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（ ）‎ A．1，3，4，7，9，5， B．10，15，25，35，45‎ C．5，17，29，41，53 D．3，13，23，33，43‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据系统抽样的含义，60枚导弹分成12组，编号为第1组，为第二组，……,用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号之间相差12.故选C ‎3．执行图中的程序，如果输出的结果是4，那么输入的只可能是（ ）．‎ A． B．2 C．±2或者－4 D．2或者－4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由程序可知，当时，，输出结果不可能为，当时，，由得或（舍），故选A．‎ 考点：算法程序．‎ ‎4．命题是假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】“”是假命题，等价于是真命题，由，得： ，由得： ，故的最大值是，故只需，解得，故选D.‎ ‎5．某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表 气温（） ‎ ‎20 ‎ ‎16 ‎ ‎12 ‎ ‎4 ‎ 用电量（度） ‎ ‎14 ‎ ‎28 ‎ ‎44 ‎ ‎62 ‎ 由表中数据得回归直线方程中，预测当气温为时，用电量的度数是（ ）‎ A．70 B．68 C．66 D．62‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意，得，，代入回归直线方程，得，所以，所以，当时，，故选A．‎ 考点：回归直线方程．‎ ‎6．若椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的直线的斜率为，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法，用中点和斜率列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设代入椭圆方程得，两式相减得，依题意可知，，即.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长的中点有关的问题的解决策略，即点差法.点差法用在与直线和圆锥曲线相交得到的弦的中点有关的问题，其基本步骤是：首先将点代入圆锥曲线的方程，作差后化为一边是中点，一边是斜率的形式，再代入已知条件求得所需要的结果.‎ ‎7．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意画出图形，设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N；‎ ‎∵抛物线方程为y2=8x，‎ ‎∴焦点F（2，0），准线方程为x=-2.‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴|QN|= ×4=83.‎ ‎∴|QF|=|QN|= .‎ 本题选择B选项.‎ ‎8．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数若输出的结果为521，则由此可估计的近似值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 发生的概率为 ，‎ 当输出结果为 时， ，‎ ‎ 发生的概率为 ，‎ 所以 ，即 故选B.‎ ‎9．长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方匀在早上7：40至8：00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设小典到校的时间为，小方到校的时间为，可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为是一个矩形区域，对应的面积为，则小张比小王至少早5分钟到校事件作出符合题意的图像，则符合题意的区域为，联立，得，联立，得，则．由几何概型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为，故选A．‎ 考点：几何概型．‎ ‎【方法点睛】求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）．‎ ‎10．已知圆： ， ： ，动圆满足与外切且与内切，若为上的动点，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵圆： ，圆： ， 动圆满足与外切且与内切，设圆的半径为 ， 由题意得 ∴则的轨迹是以（ 为焦点，长轴长为16的椭圆， ∴其方程为 因为，即为圆 的切线，要的最小，只要最小，设，则 ‎ ‎ ，选A.‎ ‎11．如图，已知椭圆：，双曲线：，若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线相交于A，B两点，且与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则的离心率为　　‎ A．5‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线C2：1的一条渐近线方程为yx，代入y2＝1，可得交点的横坐标，利用C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，可得b＝2a，即可求出C2的离心率．‎ ‎【详解】‎ 双曲线：的一条渐近线方程为，‎ 代入，可得，‎ 与该渐近线的两交点将线段AB三等分，‎ ‎，‎ 整理可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、双曲线的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎12．已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中直线的“绝对曲线”的条数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由y=ax+1﹣a=a（x﹣1）+1，可知直线l过点A（1，1）．‎ 对于①，y=﹣2|x﹣1|，图象是顶点为（1，0）的倒V型，而直线l过顶点A（1，1）．所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；‎ 对于②，（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是以A为圆心，半径为1的圆，‎ 所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a=±2，使得圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|．‎ 所以圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1是直线l的“绝对曲线”；‎ 对于③，将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4，‎ 得（3a2+1）x2+6a（1﹣a）x+3（1﹣a）2﹣4=0．‎ x1+x2=, x1x2=．‎ 若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|，‎ 则 化简得．‎ 令f（a）=．‎ f（1），f（3）．‎ 所以函数f（a）在（1，3）上存在零点，即方程有根．‎ 而直线过椭圆上的定点（1，1），当a∈（1，3）时满足直线与椭圆相交．‎ 故曲线x2+3y2=4是直线的“绝对曲线”．‎ 对于④将y=ax+1﹣a代入.‎ 把直线y=ax+1-a代入y2=4x得a2x2+（2a-2a2-4）x+（1-a）2=0， ∴x1+x2=，x1x2=． 若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，‎ 则a2=（1+a2）[（x1+x2）2-4x1x2]=（1+a2）‎ 化为a6-16a2+16a-16=0， 令f（a）=a6-16a2+16a-16，而f（1）=-15<0，f（2）=16>0． ∴函数f（a）在区间（1，2）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，当a∈（1，2）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”． 综上可知：能满足题意的曲线有②③④． 故选：C．‎ 点睛：本题以新定义“绝对曲线”为背景，重点考查了二次曲线弦长的度量问题，本题综合性较强，需要函数的零点存在定理作出判断.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设满足约束条件，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由约束条件作出可行域如图，联立，解得，联立，解得，由图可知，当目标函数过时， 有最小值为；当目标函数过时， 有最大值为，故答案为.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎14．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，；则C的实轴长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的方程为,由点在双曲线上得,即,故,所以双曲线的实轴长为.‎ 考点：双曲线、抛物线的有关概念和基本性质.‎ ‎15．已知P是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，若的面积为，则的值为______．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆1，可得c＝3．设P（x0，y0），利用面积计算公式3，解得y0．把y0代入椭圆方程可得x0．利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆，可得．‎ 设，则，解得．‎ 把代入椭圆方程可得：，解得．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16．如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点．如果 的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等于．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设直线PQ的方程为： ，‎ 由 得，，则 ‎ ‎，，又，故解得所以 故 ,故填. ‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．命题p：函数在有零点；命题q：不等式对任意实数x恒成立，若为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求出p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 若在有零点，‎ 由得，‎ 设，‎ 则在上为增函数，当时，，当时，，‎ 即，即，即p：‎ 当时，不等式等价为，成立，‎ 当时，要使不等式恒成立，‎ 则，得，‎ 即，即，‎ 综上，即q：，‎ 若为真命题，则p，q至少有一个为真，‎ 即，，，‎ 即实数a的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18．某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，‎ 求：分数在的学生人数；‎ 这50名学生成绩的中位数精确到；‎ 若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．‎ ‎【答案】（1）3人； （2）76.7； （3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由所有的矩形面积和为1可得：分数在[50，60）的频率为0.06，即可求出；‎ ‎（2）由0.040+0.06+0.2＝0.3，故中位数落在第四组，则中位数为7010；‎ ‎（3）分数在[40，50）的有2人，记为a，b，在[50，60）共有3人，记为c，d，e，由此利用列举法能求出从分数[40，60）的5名学生任选2人，两人来自不同组的概率．‎ ‎【详解】‎ 由所有的矩形面积和为1可得：分数在的频率为，故分数在的人数是人，‎ 由，‎ 故中位数落在第四组，‎ 则中位数为 分数在的有2人，记为a，b，在共有3人，记为c，d，e，‎ 从分数在的5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，‎ 两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，‎ 两人来自不同组的概率 ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎19．已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.‎ ‎（1）若，试求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）P(0,0)或P (2) x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)设出点P的方程，利用两点之间距离公式得到关于实数m的方程，解方程求得实数m的值可得点的坐标为或 ‎(2)由题意可得圆心到直线的距离为 ‎，利用点到直线距离公式得到关于实数k的方程，解方程可得直线的方程为：或.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，由条件可知，所以，解之得：，，‎ 故所求点的坐标为或 ‎（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，解得：或.‎ 故所求直线的方程为：或.‎ 点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．‎ ‎20．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：千元对年销售量单位：和年利润单位：千元的影响，对近13年的年宣传费和年销售量2，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ 由散点图知，按建立y关于x的回归方程是合理的令，则，经计算得如下数据：‎ 根据以上信息，建立y关于的回归方程；‎ 已知这种产品的年利润z与x、y的关系为根据 的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少 附：对于一组数据2，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘 估计分别为，‎ ‎【答案】(1) (2) 年利润的预报值是1090.4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据表中参考数据利用即可得解；‎ ‎（2）由结合（1）得，代入求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1） ，‎ ‎，‎ 则关于的回归方程为．‎ ‎（2）依题意，‎ 当时，，‎ 所以年利润的预报值是1090.4.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎21．己知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．‎ ‎（1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值；‎ ‎(2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。‎ ‎【答案】（1） ；（2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得． ‎ ‎（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．‎ ‎∴ x1+x2=，x1x2=． 由弦长公式|AB|=，‎ 代入整理得，解得k2=1.∴． ‎ ‎（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.‎ ‎∴ x1+x2=，x1x2=． 以AB为直径的圆过原点O，即． ‎ ‎∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 ‎(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0． 将x1+x2=，x1x2=代入，‎ 整理得3m2=8k2+8．设点O到直线AB的距离为d，‎ 于是d2=， 故O到直线AB的距离是定值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为8，离心率为．‎ 求椭圆方程；‎ 椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且，求四边形ABCD周长的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）； （2）四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得a＝4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得22，即有四边形ABCD为菱形，即有AC⊥BD，讨论直线AC的斜率为0‎ ‎，可得最大值；不为0，设出直线AC的方程为y＝kx，（k＞0），则BD的方程为yx，代入椭圆方程，求得A，D的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，即，‎ 由，可得，，‎ 即有椭圆的方程为；‎ 由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，‎ 由，可得，‎ 即，‎ 可得，即有四边形ABCD为菱形，‎ 即有，‎ 设直线AC的方程为，，则BD的方程为，‎ 代入椭圆方程可得，‎ 可设，‎ 同理可得，‎ 即有 ‎，‎ 令，‎ 即有，‎ 由，‎ 即有，即时，取得最小值，且为；‎ 又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有ABCD的周长取得最大值，且为20．‎ 综上可得四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20．‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键．‎