2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，，因为，，所以 ‎ （当且仅当 时等号成立），故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎2．离心率为,且过点的椭圆的标准方程是(　　)‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为，由离心率为，∴‎ ‎∵椭圆过点（2，0），∴，∴a2=4，∴b2=1，‎ ‎∴椭圆标准方程为 当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：‎ 故选D.‎ ‎3．在中， （分别为角的对边），则的形状为（ ）‎ A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】,,解得 ‎,即角C为直角, 则的形状为直角三角形,故选A.‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，如果输出，则输入的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该程序框图表示的是通项为的前项和，‎ ‎ ， 输出结果为， ，得，故选B.‎ ‎5．如图，在中， ，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎， ，‎ 又， ，故选D.‎ ‎6．由公差为的等差数列重新组成的数列是（　　）‎ A. 公差为的等差数列 B. 公差为的等差数列 C. 公差为的等差数列 D. 非等差数列 ‎【答案】B ‎【解析】设新数列的第项是，则 ， ， 此新数列是以为公差的等差数列，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义、等差数列通项公式，属于难题.判定一个数列为等差数列的常见方法是：(1) 定义法： （是常数），则数列是等差数列(2) 等差中项法： （），则数列是等差数列；(3) 通项公式： (为常数)， 则数列是等差数列；(4) 前n项和公式： (为常数) ， 则数列是等差数列.本题先利用方法(1)判定出数列是等差数列后再进行解答的.‎ ‎7．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得： ，所以， ，即焦点到准线的距离为，故选C.‎ ‎ ‎ ‎8．若角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ ‎9．已知抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由已知为的三等分，作于，如图，则， ，故选B.‎ ‎10．数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由数列的通项公式为可知数列是一个周期为的周期数列，其前四项分别为，故.‎ ‎【考点】1、特殊角的三角函数；2、周期数列的和.‎ ‎11．已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值． ∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴中， ，所以，即，∴，可得，∴，∵，∴．故选B．‎ ‎【考点】椭圆的几何性质．‎ ‎【思路点睛】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时， 对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得结论．本题将角的问题转化为三角形边的问题，再用椭圆的几何性质解决．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎12．已知函数方程有个不同的实根，则取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可画出y=f(x)的图像如图，f(0)=1,f(2)=1，注意y=1是图像的一条渐近线，令t=f(x), ,由图像可知，‎ 当时,方程f(x)=t 有4个解，‎ 当和时，方程f(x)=t 有2个解，‎ 当时，方程f(x)=t 有1个解，‎ 当t=1时，方程f(x)=t 有3个解 当t<0时，方程f(x)=t 有0个解 复合方程有6个根，一定是4+2，‎ 即，的两个根分别在，‎ 令，所以 其对应的平面区域如下图所示：‎ 故当a=3，b=2时，3a+b取最大值11，‎ 当a=1，b=0时，3a+b取最小值3，‎ 则3a+b的取值范围是(3,11)‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键；先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时利用函数的图象结合数形结合思想及一元二次函数根的分布问题，确定的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】特称命题“”的否定为全称命题“ ”。‎ ‎14．在数列中，已知其前项和为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ；‎ 当时， ，不满足上式。‎ 故。‎ 答案： .‎ ‎15．设实数满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】不等式组的图象如图：‎ 由图象知 ，则 ，‎ 当且仅当 时，等号成立，‎ 经检验 在可行域内，故的最大值为25.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎16．下列命题中，假命题的序号有__________．‎ ‎（1）“”是“函数为偶函数”的充要条件；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；‎ ‎（3）若，则；‎ ‎（4）若，则.‎ ‎【答案】（2）（3）‎ ‎【解析】（1）若“函数为偶函数”，则，‎ 即，则，‎ 平方得，‎ 即，则，即，‎ 则“”是“函数为偶函数”的充要条件；正确；‎ ‎（2）“直线垂直平面内无数条直线”则“直线垂直平面”不一定成立，故（2）错误；‎ ‎（3）当时，满足，但不成立，故（3）错误；‎ ‎（4）若： ，则： 正确．‎ 故答案为：（2）（3）‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）当时，解关于的不等式；‎ ‎（2）若，解关于的不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1），结合图像可得不等式解集（2），所以根据根的大小进行分类讨论： 时，为； ，为； 时，为 试题解析：（1）当时，不等式，‎ 即，解得．‎ 故原不等式的解集为．‎ ‎（2）因为不等式，‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，有，‎ 所以原不等式的解集为；‎ 当时，原不等式的解集为 ‎18．设数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合递推公式可得数列的通项公式为；‎ ‎(2)裂项求和可得求数列的前项和是 .‎ 试题解析：‎ ‎(1)当时, ,当时,由,①‎ ‎,②‎ ‎①②得,即,验证符合上式,所以 .‎ ‎(2)., .‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）已知是三边长，且的面积.求角及的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】试题分析：（2）由函数的结构形式可得，应用正弦的和差的展开式公式，以及余弦的二倍角逆运算公式，将函数化简，再通过应用角和差的逆运算公式，将函数化简，即可求得最小正周期，和单调递增区间.‎ ‎（2）在三角形中，根据（Ⅰ）的结论，求出角C.又由已知面积、c边长这三个条件即可解三角形，及求出的值.本小题在解关于的方程组时要用到整体的思想.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ Com]‎ ‎,，‎ 函数的递增区间是 ‎（2）或a=5,b=8‎ ‎【考点】1.三角形函数的恒等变换公式.2.解三角形的知识.3.整体的数学思想.‎ ‎20．已知椭圆，其长轴为，短轴为.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率.‎ ‎（2）直线经过定点，且与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）， ；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可得， 即得椭圆的方程，及离心率．（2）先设直线方程为： ，与椭圆联立方程组，利用韦达定理，结合弦长公式求得底边边长，再根据点到直线距离得高，根据三角形面积公式表示面积，最后根据基本不等式求最大值 试题解析：解：（Ⅰ） ， ， ，‎ ‎∴椭圆的方程为： ，离心率： ．‎ ‎（Ⅱ）依题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为： ，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 由得： ，‎ 设， ，则 ‎， ，‎ ‎，‎ 又∵原点到直线的距离，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 此时面积的最大值为．‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎ ‎21．已知数列满足，且（且）.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项之和，求证： .‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由,可得，即 ‎，可得出{{}}为等差数列.最终可求出{an}的通项公式；‎ ‎(2)采用错位相减法求出,再变形即可求证.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N）∴∴，∴数列{}是以为首项，1为公差的等差数列； ∴；‎ ‎（2）∵Sn=，∴2Sn=，两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣=（3﹣2n）•2n﹣3，∴Sn=（2n﹣3）•2n+3＞（2n﹣3）•2n ∴．‎ ‎22．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）已知抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）定点 ‎【解析】试题分析：（1）利用点斜式设直线直线的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求,再根据解得.（2）先设直线方程, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简，得或,代入方程可得直线过定点 试题解析：（1）拋物线的焦点 ，∴直线的方程为: .‎ 联立方程组，消元得: ，‎ ‎∴.‎ ‎∴ ‎ 解得.‎ ‎∴抛物线的方程为： .‎ ‎（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，‎ 设直线的方程为： ，‎ 联立，得，‎ 则①.‎ 设，则.‎ ‎∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即，得： ，‎ ‎∴，即或，‎ 代人①式检验均满足，‎ ‎∴直线的方程为： 或.‎ ‎∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎