【数学】四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试(理)

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【数学】四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试(理)

四川省棠湖中学2020届高三下学期第三学月考试(理)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,集合,则等于 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.复数(为虚数单位),则等于 ‎ A.3 B. C.2 D.‎ ‎3.函数的图象大致为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知,则“m⊥n”是“m⊥l”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.设,,则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在平行四边形中,若则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知函数为奇函数,且,则 ‎ A.2 B.‎5 ‎C.1 D.3‎ ‎8.的展开式中的常数项为 ‎ A.-60 B.‎240 ‎C.-80 D.180‎ ‎9.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则 ‎ A.0 B.‎1 ‎C.-1 D.‎ ‎10.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数在上单调递增,则的取值范围 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.若实数x,y满足约束条件,则的最大值为________.‎ ‎14.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.‎ ‎15.函数的值域为_________.‎ ‎16.等腰直角三角形内有一点P,,,,,则面积为______.‎ 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.‎ ‎18.(12分)在多面体中,四边形是正方形,平面,,,为的中点.‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)求平面与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.(12分)阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年5 月,在中国乌镇围棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以3 比0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平.‎ 为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛,从参加比赛的学生中随机抽取了30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数据表:‎ 成绩等级 成绩(分)‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 人数(名)‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎(I)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或”的 概率;‎ ‎(II)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3 人,记表示抽到成绩等级为“或”的学生人数,求 的分布列及其数学期望;‎ ‎(III)从这30 名学生中,随机选取2 人,求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率.‎ ‎20.(12分)设函数.‎ ‎(I)若关于的方程在区间上有解,求的取值范围;‎ ‎(II)当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,是椭圆上一动点(与左、右顶点不重合)已知的内切圆半径的最大值为,椭圆的离心率为.‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(II)过的直线交椭圆于两点,过作轴的垂线交椭圆与另一点(不与重合).设的外心为,求证为定值.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(I)求和的直角坐标方程;‎ ‎(II)设为曲线上的动点,求点到直线的距离的最小值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,其中.‎ ‎(I)若,求实数的取值范围;‎ ‎(II)记中的的最大值为,若正实数满足,求的最小值.‎ 参考答案 ‎1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D ‎ ‎9.C 10.B 11.B 12.D ‎13.3 14. 15. 16.‎ ‎17.(1)由题意,根据正弦定理,可得,‎ 又由,所以 ,‎ 可得,即,‎ 又因为,则,可得,∵,∴.‎ ‎(2)由(1)可得 ‎,所以函数的图象的一条对称轴方程为,‎ ‎∴,得,即,‎ ‎∴,‎ 又,∴,‎ ‎∴‎ ‎18.(1)∵平面,平面,∴.‎ 又∵四边形是正方形,∴.‎ ‎∵,∴平面.∵平面,∴.‎ 又∵,为的中点,∴.‎ ‎∵,∴平面.∵平面,∴.‎ ‎(2)∵平面,,∴平面.‎ 以为坐标原点,,,所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.‎ 如图所示:则,,,.‎ ‎∴,,.‎ 设为平面的法向量,则,得,‎ 令,则.,由题意知为平面的一个法向量,‎ ‎∴,‎ ‎∴平面与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.(1)根据统计数据可知,从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人,其成绩等级为“或”的概率为:,即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“或”的概率为:.‎ ‎(2)由题意知随机变量可取,则.‎ ‎,所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则,所求期望值为1‎ ‎(3)设事件:从这30 名学生中,随机选取2人,这两个人的成绩之差大于1分.‎ 设从这30 名学生中,随机选取2人,记两个人的成绩分别为,‎ 则基本事件的总数为,不妨设,‎ 当时,,基本事件的个数为;‎ 当时,,基本事件的个数为;‎ 当 时,,基本事件的个数为;‎ ‎20.解:(1)方程,即为令,‎ 则在恒成立,故在上单调递减.‎ ‎,当时,的取值范围是 ‎(2)依题意,当时,恒成立.‎ 令,‎ 则 令,则当时,,函数在上单调递增,‎ ‎,,存在唯一的零点,‎ 且当时,,当时,,‎ 则当时,,当时,,‎ 在上单调递减,在上单调递增,从而.‎ 由得,两边取对数得,‎ ‎,,,即实数的取值范围是 ‎21.(1)由题意知:,∴,∴.设的内切圆半径为,‎ 则,‎ 故当面积最大时,最大,即点位于椭圆短轴顶点时,‎ 所以,把代入,解得:,所以椭圆方程为.‎ ‎(2)由题意知,直线的斜率存在,且不为0,设直线为,‎ 代入椭圆方程得.‎ 设,则,‎ 所以的中点坐标为,‎ 所以.‎ 因为是的外心,所以是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点,的垂直平分线方程为,‎ 令,得,即,所以 所以,所以为定值,定值为4.‎ ‎22.(1)的直角坐标方程为:,‎ 将代入的极坐标方程得的直角坐标方程为:.‎ ‎(2)设,则点到直线的距离,‎ 当时,距离最小,最小值为.‎ ‎23.解:(1)由条件知,则函数图象如下所示:‎ 又,或或解得 ‎(2)由(1)知,,‎ 于是 ‎,‎ 当且仅当时取等号,‎ 故的最小值为.‎
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