2018-2019学年湖北省荆门龙泉中学高二下学期期中考试数学试题（Word版）

2018-2019学年湖北省荆门龙泉中学高二下学期期中考试数学试题（Word版）

湖北省荆门龙泉中学 2018-2019 学年高二下学期期中 考试数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．下列说法中错误的是（ ） A．给定两个命题 ,p q ，若 p q 为真命题，则 p q 、 都是假命题； B．命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题是“若 1,x  ，则 2 3 2 0x x   ”； C．若命题 1: ,2 12 x xp x R    ，则 0:p x R   ，使得 0 0 12 12 x x  ； D．函数 ( )f x 在 0x x 处的导数存在， ' 0 0: ( =0 :p f x q x x） ； 是 ( )f x 的极值点.则 p 是 q 的充要条件. 2．直线l 的倾斜角是直线 1 : 3 2 0l x y   的倾斜角的两倍，则直线l 的斜率为（ ） A． 2 3 B． 3 4 C． 3 4  D． 2 3．已知集合 [ 2,2], [ 1,1]A B    ，设 {( , ) | , }P x y x A y B   ，在集合 P 内随机取出 一个元素 ( , )x y 为点Q 的坐标，则点Q 到直线 0x y  的距离不大于 1 2 的概率为（ ） A． 1 4 B． 2 4 C． 1 2 D． 2 2 4．“ 2 6m  ”是“方程 2 2 12 6 x y m m    为双曲线的方程”的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线 1 0( )ax y a R    是圆 2 2:( 1) ( 2) 4C x y    的一条对称轴，过点 ( 2, )A a  向圆C 作切线，切点为 B ，则| |AB  （ ） A． 6 B． 10 C． 14 D．3 2 6．过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线l 交抛物线于 A B、 两点， 且| | | |AF BF ，则| |:| |=AF BF （ ） A． 1 3 B． 3 2 C．2 D．3 7．如图是某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎 叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）. A．84 4.84 B．84 1.6 C．85 4 D．85 1.6 8．已知点 A 是抛物线 2 4x y 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，点 P 在抛物 线上且满足| |= | |PA m PB ，当 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A B、 为焦点的双曲线上， 则此双曲线的离心率为（ ） A． 5+1 2 B． 2+1 2 C． 2+1 D． 5 1 9．函数 ( )f x 的定义域为 R ，且满足 (2) 1f  ， ( )f x 的导函数 ' ( )f x 的图象如右图，若正 实数 ,a b 满足 (2 ) 1f a b  ，则 1 1 b a   的取值范围为（ ） A． 2( ,2)3 B． 1( ,3)2 C． (1,4) D． 1 3( , )3 2 10．现有 4 种不同品牌的小车各 2 辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在 4 个车库 中（每个车库放 2 辆），则恰有 2 个车库放的是同一品牌的小车的不同放法有（ ） 种 A．144 B．108 C．96 D．72 11．如图，在三棱锥 A BCD 中， 2, 2BC DC AB AD BD     ， 平面 A B D  平面 ,BCD O 为 BD 中点， ,P Q 分别为线段 ,AO BC 上的动点（不含端点），且 AP CQ ，则三棱锥 P QCO 体积的 最大值为（ ） A． 2 48 B． 2 24 C． 2 16 D． 1 4 12．已知函数   lnf x x x x  ,若 k Z ,且 ( 1) ( )k x f x  对任意的 1x  恒成立，则 k 的 最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置 上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13．曲线 lny x x 在 1x  处的切线与曲线 2y ax ax  相切，则 a  . 14．椭圆 122  myx 的长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为 ． 15． 1 2 1 ( 1 2 )x x dx    . 16．已知定义在 R 上的函数  f x 满足  2 1f  ，且  f x 的导函数  ' 1f x x  ，则不等 式   21 12f x x x   的解集为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取 N 个产品 （ 其 中 200N  ） ， 得 到 频 率 分 布 直 方 图 如 图 . （Ⅰ）求 m的值； （Ⅱ）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命 的平均数、中位数分别是多少？ （Ⅲ）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为 20 的样本，则在 400 ~ 500 及 500 ~ 600 这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大 于 1000 小时的概率是多少？ 18．（本小题满分 12 分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 30 元，并且每件 产品须向总公司缴纳 a 元(a 为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计 当每件产品的售价为 x 元时，产品一年的销售量为k ex(e 为自然对数的底数)万件，已知 每件产品的售价为 40 元时，该产品一年的销售量为 500 万件．经物价部门核定每件产 品的售价 x 最低不低于 35 元，最高不超过 41 元． (1)求分公司经营该产品一年的利润 L(x)万元与每件产品的售价 x 元的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润 L(x)最大，并求出 L(x)的最大值． 19．（本小题满分 12 分）已知以点 )2( ttC ， （ 0 tRt 且 ）为圆心的圆与 x 轴交于点O 和 点 A ，与 y 轴交于点O和点 B ，其中O为原点． （1）求证：△OAB 的面积为定值； （2）设直线 42  xy 与圆C 交于点 M , N ，若 ONOM  ，求圆C 的方程． 20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形， AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E 是 PB 的中点． （1）求证：平面 EAC⊥平面 PBC； （2）若二面角 P﹣AC﹣E 的余弦值为 6 3 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值． 21．（本小题满分 12 分）设椭圆 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ， 上 顶 点 为 A ， 在 x 轴 负 半 轴 上 有 一 点 B ， 满 足 1 1 2BF F F  ， 且 2AB AF ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若过 A 、 B 、 2F 三点的圆恰好与直线 3 3 0x y   相切，求椭圆 C 的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设直线l ： y kx m  (其中 k 、 m Z )与椭圆 C 交于不同 两点 ,M N ，与双曲线 2 2 : 14 12 x yD   交于不同两点 ,E F ．问是否存在直线 l ，使向量 0NF ME    ，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由． 22. （本小题满分 12 分）已知函数 ( ) ln ( )1 af x x a Rx    . （1）当 9 2a  时，如果函数 ( ) ( )g x f x k  仅有一个零点，求实数 k 的取值范围； （2）当 2a  时，试比较 ( )f x 与 1 的大小； （3）证明： 1 1 1 1ln( 1) ( *)3 5 7 2 1n n Nn        答案 1-12：D B D D C D D C B D A C 12．解： ln ,1 x x xk x   令 ln( ) ,1 x x xg x x   则 ' 2 2 ln( ) ( 1) x xg x x    ，令 ( ) 2 lnh x x x   ， 则 ' '1( ) 1 , 1, ( ) 0, ( )h x x h x h xx      在 (1, ) 上递增。 由 (3) 1 ln3 0, (4) 2 ln 4 0h h      得， 0 (3,4),x  使得 ( )g x 在 0(1, )x 上递减，在 0( , )x  上递增， 0 0 0 min 0 0 0 0 0 ln( ) ( ) , ( ) 2 ln 0,1 x x xg x g x h x x xx         0 0ln 2x x   ，代入上 式得： 0 min 0( ) (3,4)g x x  ，故 0k x . 13.1 14. 4 或 1 4 15. 16. { | 2}x x  17. 解：（Ⅰ）由 0.001 100 100 0.004 100 0.002 100 100 1m m          得 0.0015m  ， 。。。。。。3 分 （Ⅱ）平均数估计值为 0.01 150 0.015 250 0.04 350 0.02 450 0.015 550 36.5x            ，前 2 组的 频率为 0.25，前 3 组的频率为 0.65，所以中位数的估计值为 0.25300 362.50.004   . ……7 （Ⅲ）使用寿命在 400—500 有 20 0.2 4  人，在 500—600 有 0.15 20 3  人， 故 2 4 3 7 291 35 Cp C    ……10 分 18.解：解：(1)由题意，该产品一年的销售量 y＝k ex， 将 x＝40，y＝500 代入，得 k＝500e40. 该产品一年的销售量 y(万件)关于 x(元)的函数关系式为 y＝500e40－x. L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)． (2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x] ＝500e40－x(31＋a－x)． ①当 2≤a≤4 时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0， 当且仅当 a＝4，x＝35 时取等号． 所以 L(x)在[35,41]上单调递减． 因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5. ②当 4＜a≤5 时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a； L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41. 所以 L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减． 因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a. 答：当 2≤a≤4 时，每件产品的售价为 35 元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为 500(5 －a)e5 万元； 当 4＜a≤5 时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润 L(x)最大，最大为 500e9 －a 万元． 19. 解：（1） OC过原点圆 ，设圆C 的方程是 2 222 4)2()( t ttytx  令 0x ，得 tyy 4,0 21  ；令 0y ，得 txx 2,0 21  4|2||4|2 1 2 1   ttOBOAS OAB ，即： OAB 的面积为定值． （2） ,, CNCMONOM  OC 垂直平分线段 MN ． 2 1,2  ocMN kk ，直线OC 的方程是 xy 2 1 , tt 2 12  ， 解得： 22  tt 或 ,当 2t 时，圆心C 的坐标为 )1,2( ， 5OC ， 此时C 到直线 42  xy 的距离 5 5 9 d ，圆C 与直线 42  xy 相交于 两点． 当 2t 时，圆心C 的坐标为 )1,2(  ， 5OC ， 此时C 到直线 42  xy 的距离 5 5 9 d 圆C 与直线 42  xy 不相交， 2 t 不符合题意舍去． 圆C 的方程为 5)1()2( 22  yx 20.（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD，∴AC⊥PC， ∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC= ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC， 又 BC∩PC=C，∴AC⊥平面 PBC，∵AC⊂平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 PBC．……4 分 （Ⅱ）如图，以 C 为原点，取 AB 中点 F， 、 、 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正向， 建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）． 设 P（0，0，a）（a＞0），则 E（ ，﹣ ， ），…（6 分） =（1，1，0）， =（0，0，a）， =（ ，﹣ ， ）， 取 =（1，﹣1，0），则 • = • =0， 为面 PAC 的法向量． 设 =（x，y，z）为面 EAC 的法向量，则 • = • =0， 即 取 x=a，y=﹣a，z=﹣2，则 =（a，﹣a，﹣2）， 依题意，|cos＜ ， ＞|= = = ，则 a=2．…（10 分） 于是 =（2，﹣2，﹣2）， =（1，1，﹣2）． 设直线 PA 与平面 EAC 所成角为θ，则 sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ， 即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 ．…（12 分） 21. 解：（Ⅰ）由题意知 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ， (0, )A b ，∵ 1 1 2BF F F  知 1F 为 2BF 的中 点， AB ⊥ 2AF ∴ 2Rt ABF 中， 2 2 2 2 2BF AB AF  ， 2 2 2 2 2(4 ) ( 9 )c c b a   ，又 2 2 2a b c  ∴ 2a c ，故椭圆的离心率 1 2 ce a   ………………………………………3 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 2 c a  得 1 2c a ，于是 2 1( ,0)2F a , 3( ,0)2B a ， 2Rt ABF 的外接圆圆心为（ 1 2 a ，0），半径 r a ， 所以 a a   2 |32 1| ，解得 a =2，∴ 1c  ， 3b  ， 所 求 椭 圆 方 程 为 2 2 14 3 x y  ……………………………………………………6 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 2 2 14 3 x y y kx m       得： 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m     △ 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 0km k m     ① 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 1 2 2 8 3 4 kmx x k     ， ----------------7 分 由 22 14 12 yx y kx m       得： 2 2 2(3 ) 2 12 0k x kmx m     2 2 2( 2 ) 4(3 )( 12) 0km k m      ② 设 E(x3，y3)，F(x4，y4)，则 3 4 2 2 3 kmx x k    ，---------- 8 分 由 0NF ME    得： 3 4 1 2x x x x   ∴ 2 2 8 2 3 4 3 km km k k    ，解得： 0k  或 0m  ---------------10 分 当 0k  时，由①②得： 3 3m   ，又 m Z ，∴ 1,0,1m   当 0m  时，由①②得： 3 3k   ，又 k Z ，∴ 1,0,1k   ∴满足条件的直线有 5 条．---------------12 分 22．解：（1）当 9 2a  时， 9( ) ln 2( 1)f x x x    ，其定义域是 (0, ) ， ' 2 1 9( ) 2( 1)f x x x    2 (2 1)( 2) 2 ( 1) x x x x    ，当 10 2x  或 2x  时， ' ( ) 0f x  ；当 1 22 x  时， ' ( ) 0f x  .∴函数 ( )f x 在 1(0, )2 、(2,+ )上单调 递增，在 1( ,2)2 上单调递减. ∴ ( )f x 的极大值是 1( ) 3 ln 2,2f   极小值是 3(2) ln 22f   .当 ( )g x 仅有一个零点时， k 的取值范围是 3 ln 2k   或 3 ln 22k   ……4 分 （2）当 2a  时， 2( ) ln 1f x x x    ，其定义域为 (0, ) ， 令 2( ) ( ) 1 ln 11h x f x x x      ，∵ 2 ' 2 2 1 2 1( ) 0( 1) ( 1) xh x x x x x      ，∴ ( )h x 在 (0, ) 上是增函数. ① 当 1x  时， ( ) (1) 0h x h  ，即 ( ) 1f x  . ② 当 1x  时， ( ) (1) 0h x h  ，即 ( ) 1f x  . ③当 0 1x  时，即 ( ) (1) 0h x h  ，即 ( ) 1f x  . ……8 分 （ 3 ） 根 据 （ 2 ） 的 结 论 ， 当 1x  时 ， 2ln 11x x   ， 即 1ln 1 xx x   ， 令 1 ( *)kx k Nk   ， 则有 1 1ln 2 1 k k k    ，∴ 1 1 1 1ln 2 1 n n k k k k k      ∴ 1 1 1 1 1 1ln( 1) ln 3 5 7 2 1 n k kn k k          ( *)n N ……12 分