【数学】山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试试题

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山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试数学试题 ‎ 一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～‎ ‎10题只有一项是符合题目要求，第11～13题有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选 对但不全的得2分，有选错的得0分．‎ ‎1.已知集合，，则的子集共有（ ）‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎2.已知命题：，，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知向量，，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.点从出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知函数对任意，都有，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设为第二象限角，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数，若正实数满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.物理学规定音量大小的单位是分贝（），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：(其中是人耳能听到声音的最低声波强度).我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于与之间，则声音的声波强度是声音的声波强度的（ ）‎ A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 ‎ ‎9.已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数定义域为，且满足下列三个条件：①任意，都有；②；③为偶函数，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.下列命题正确的是（ ）‎ A. 若角（），则 ‎ B. 任意的向量，若，则 ‎ C. 已知数列的前项和（为常数），则为等差数列的充要条件是 D. 函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称 ‎12.设是各项均为正数的数列，以，为直角边长的直角三角形面积记为，则为等比数列的充分条件是（ ）‎ A. 是等比数列 ‎ B. ， ， ,，或 ， ， ，，是等比数列 ‎ C. ， ， ,，和 ， ，， ，均是等比数列 ‎ D. ， ， ,，和 ， ， ，，均是等比数列，且公比相同 ‎13.已知函数的最小正周期为，且其图像向左平移个 单位得到函数的图像，则（ ）‎ A. B. 在有且仅有个解 ‎ C. 在单调递增 D. 在有且仅有个极值点 第Ⅱ卷（非选择题 共98分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．‎ ‎14.在等差数列中，若，，则_________.‎ ‎15._________.‎ ‎16.已知函数在单调递增，则实数的取值范围_________.‎ ‎17.《九章算术》第九章“勾股”问题二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何（小城的边长）.根据描述如图所示，其中点代表北门，处是木，点代表南门（，分别是所在边中点），则邑方边长为_________步.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18.（12分）如图，在山脚测得山顶的仰角为，从处沿斜坡向上走米到达处，在处测得山顶的仰角为，且斜坡的倾斜角.‎ 求证：山高.‎ ‎19.（12分）已知各项均为正数的数列前项和为，且 .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎20.（14分）在中，角所对的边分别为，为钝角，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，求边.‎ ‎21.（14分）某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形 ‎，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.‎ ‎（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；‎ ‎（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.‎ ‎22.（15分）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：‎ 其中，，，且表中的第一列数构成等差数列，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数.表中每一行正中间的项构成的数列记为.‎ ‎（I）求的前项和；‎ ‎（II）记集合，若的元素个数为，求实数的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）若有两个零点，且.证明：‎ ‎(i)；‎ ‎(ii).‎ 参考答案 一、选择题：‎ ‎1-10：B A B C D， A C C D B ‎11. BC 12. AD 13. ABD 二、填空题：‎ ‎14. 15. 16. 17.‎ 三、解答题：‎ ‎18.（12分）解：由题意可知，，，‎ ‎ -------------2分 ‎ 分别在，中，‎ ‎，， ‎ 所以， -------------4分 ‎ 又,‎ ‎ -------------6分 ‎ 在中，由正弦定理可得，， -------------8分 即， ‎ ‎， -------------10分 ‎ 在中，‎ ‎. -------------12分 ‎19.（12分）解：（Ι）因为，‎ 所以变形为 ‎， -------------2分 ‎，‎ ‎， ‎ 所以为等差数列， -------------4分 ‎ ‎， -------------5分 当，， -------------7分 ‎ 当时也满足， ‎ 综上. -------------8分 ‎（Ⅱ）‎ ‎， -------------10分 ‎. -------------12分 ‎20.（14分）‎ 解：（Ι）因为 ，‎ 由正弦定理得， ①. -------------1分 因为，‎ 所以, -------------3分 代入①式得，‎ ‎；‎ 化简得，，‎ 因为，故， -------------4分 又， -------------5分 所以 ‎ 因为为钝角，所以为锐角，所以为钝角， -------------6分 因为在单调递减，‎ 所以，即. -------------7分 ‎（Ⅱ）由正弦定理可知，， ， -------------8分 因为，得, -------------9分 所以，‎ 整理得， -------------11分 ‎ -------------12分 ‎ ，‎ 为锐角，所以, -------------13分 由余弦定理可知，. -------------14分 ‎21.（14分）‎ 解：（Ⅰ）设矩形和的面积分别为，‎ 由题意可得，‎ 矩形的边长分别为， ， -------------2分 所以 ， -------------3分 等腰三角形的底与高分别为，， -------------4分 ‎ 所以， -------------5分 过作交圆弧于点，连接，‎ 设（），‎ 易得 -------------6分 因为均在线段上，所以 ，‎ 所以，‎ 即 ---------------7分 ‎（Ⅱ）因为鱼类与贝类单位面积的年产值比为，所以设鱼类与贝类单位面积的年产值分别为，‎ 则年总产值为 ‎ ------8分 ‎ 设，且， -------------9分 ‎， -------------10分 ‎，得，因为，所以， -------------11分 当，，，在单调递增；‎ 当，，，在单调递减. ----------13分 所以，能使年总产值最大. -------------14分 ‎22.（15分）‎ 解：（Ⅰ）第一列构成的等差数列公差为， -------------1分 所以第行的第项为， -------------2分 由此可知第行的第项，又为第行的第项，‎ 所以每行的公比. -------------3分 由题意可知，第行共有项，且为第行的中间项，‎ 所以为第行的第项，得. -------------5分 ‎ …① ‎ ‎ ①式各项乘以得，‎ ‎ …② -------------6分 ①-②式得，‎ ‎ ‎ ‎ -------------8分 ‎（Ⅱ） 设，‎ ‎ -------------9分 ‎ 所以，当时， -------------11分 ‎，‎ 即，当时，， -------------12分 因为集合的元素个数为，‎ 所以， -------------14分 即，. -------------15分 ‎23.（15分）‎ 解：（Ⅰ） -------------1分 当时，，所以在单调递减； -------------2分 当时，‎ ‎，，所以在单调递减；‎ ‎，，所以在单调递增. -------------3分 ‎（Ⅱ）证明：(i)当时，在单调递减，‎ 至多一个零点， -------------4分 所以要使有两个零点，‎ 一定有且， ‎ ‎ ，‎ 解得， -------------5分 ‎，即 又，可知， -------------6分 又因为，，‎ 所以. -------------7分 ‎(ii)因为，， ‎ 要证，即证， -------------8分 因为在单调递减，‎ 即证，又，‎ 即证， -------------9分 ‎ -------------10分 因为，得， -------------11分 所以 ‎ ‎ -------------12分 令，， ‎ ‎， ‎ 所以在单调递增， -------------13分 又，所以，‎ ‎， -------------14分 ‎ 所以，， ‎ 综上可知，. -------------15分 法二：，所以，，所以，‎ 要证，即证，即证，即证，‎ 即证，即证，即证，，令，，，在单调递减，，即证，‎ 即证，，即证，，，所以在递增，而，所以，即