【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-3跳出10个解题陷阱-备战高三数学考试万能工具包学案

【数学】2018届一轮复习人教A版专题1-3跳出10个解题陷阱-备战高三数学考试万能工具包学案

备战高三考试万能工具包【2018版】‎ 专题03 跳出10个解题陷阱 ‎　　“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点 设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.‎ 陷阱一　混淆概念——理解概念抓本质 ‎　例1　【2018四川省广元市统考】已知是实数， 是虚数单位，若是纯虚数，则__________．‎ 易错分析　本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解.‎ ‎▲跳出陷阱　在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.‎ 跟踪集训 ‎【2018湖北省稳派教育联考】若，则“”的一个充分不必要条件是 A. B. C. 且 D. 或 陷阱二　错用结论——公式定理要记准 ‎　例2　【2018东北四校联考】已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 易错分析　该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.学 +- ‎ ‎【答案】A ‎▲跳出陷阱　三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原 的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f 的图象.‎ 跟踪集训 ‎　已知函数，把函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是在内的两根，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 陷阱三　忽视验证——特例情况要谨记 ‎　　例3　已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大c.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程;‎ ‎(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断 ‎ ‎·是否为定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.‎ 易错分析　直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,经常设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.‎ 正确解析　(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c==1,‎ 因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,‎ 所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.‎ 根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.‎ 设抛物线Γ的方程为y2=2px(p>0),‎ 所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.‎ ‎　　(2)·为定值0.证明如下:‎ ‎①当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,‎ 根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,‎ 所以PF⊥AB,所以·=0.‎ 由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--;‎ 由得 即P.所以直线PF的斜率kPF==-,‎ 所以kPF·k=-×k=-1,‎ 所以PF⊥AB.‎ 综上所述,·为定值,且定值为0.‎ ‎▲跳出陷阱　破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,将判断·是否为0转化为判断两直线斜率的积是否为-1.‎ 跟踪集训 ‎　数列的前项和是， ，则__________．‎ 陷阱四　讨论漏解——参数标准要恰当 ‎　　例4　已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：对任意的， ．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为， ，‎ 当时， 对任意的恒成立，所以函数单调递增；‎ 当变化时， 和变化情况如下表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 递增 ‎ ，‎ 因为，且，所以，因此不等式得证．‎ 易错分析　该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.‎ 正确解析　【解析】（1）函数的定义域为， ，‎ ‎，此时方程有唯一解，满足 当变化时， 和变化情况如下表 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 递增 ‎ ，‎ 因为，且，所以，因此不等式得证．‎ ‎▲跳出陷阱　含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与x轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间.‎ ‎【变式训练】‎ ‎　已知（为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；学/ *- ‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证： ．‎ 陷阱五　条件遗漏——细心审题不遗漏 ‎　　例5　用1,2,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数,满足1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为(　　)‎ A.432 B.288 C.216 D.144‎ 易错分析　该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件.‎ 答案　B 正确解析　解法一:先考虑只有2,4相邻,可以用2,4相邻的个数减去2,4与6相邻的个数.‎ ‎2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外4个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则这样的六位数的个数为2!·3·4!=144.‎ 第三步,两组偶数插空(1,3,5全排列后形成4个空),不同的方法有种.‎ 由分步乘法计数原理可得,满足只有两个偶数相邻的排法种数有=432.‎ 其中1在左、右两端的情况:‎ 第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),不同的方法有种;‎ 第二步,1,3,5排列,且1在两端,不同的方法有种;‎ 第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),不同的方法有种.‎ 故1在左、右两端的排法种数有=144.‎ 所以满足条件的排法种数有432-144=288.即满足题意的六位数的个数为288.故选B.‎ ‎▲跳出陷阱　排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般 说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有两个偶数相邻——捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻——插空法,明确处理此类问题的基本顺序,然后逐步求解即可.‎ ‎【变式训练】　【2018河南省中原名校联考】已知函数， 的图象在区间上有且只有9个交点，记为，则（ ）‎ A. B. 8 C. D. ‎ 陷阱六　推理不当——归纳类比要合理 ‎　　例6　我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x2=4y和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为　　　　. ‎ 易错分析　该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.‎ 答案　32π 正确解析　如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕y轴旋转一周得到的旋转体Γ'的体积为V',则V'=2,两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S1=π(42-4|y|),S2=π(42-y2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S1=S2,由祖暅原理知,Γ'与Γ2的体积相等.‎ 因为Γ2由同时满足x≥0,x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,体积为·43-2··23=64π,所以Γ1的体积为32π.‎ ‎▲跳出陷阱　类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.‎ ‎【变式训练】【2018湖北省沙市中学模拟】“求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集是__________．‎ 陷阱七　画图不准——数化“形”要准确 ‎　例7　【2018河北省定州中学模拟】若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x2,函数 ,则函数 在区间［-5，10］内零点的个数为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 12‎ 易错分析　该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)周期为2，，作图可知交点有14个，所以选B.‎ ‎▲跳出陷阱　该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中的函数y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性——其周期就是对称中心到相邻对称轴距离的4倍,所以该函数的周期为T=2×4=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知区间之外的图象.‎ ‎【变式训练】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0)时，f(x)＝－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. (1,4)‎ C. (1,8) D. (8，＋∞)‎ 陷阱八　计算跳步——步骤过程要合理 ‎　　例8　如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,P是边DE上的一个动点,连接PA,PC.‎ ‎(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得 PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;学。、 ； ‎ ‎(2)当EP=ED时,求平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值.‎ 易错分析　求平面法向量时,常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误;求平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值时,易与求直线与平面所成角相混淆,导致所求的结果出错.‎ 正确解析　(1)当P为DE的中点时,PQ∥平面AEB.‎ 理由如下:‎ 取AB的中点M,连接EM,QM,如图所示.‎ 由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC,‎ ‎(2)因为AE⊥平面BCDE,BE⊥DE,所以以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,AE=3,‎ 所以B(3,0,0),A(0,0,3),P(0,2,0),C(3,3,0).‎ 所以=(3,1,0),=(0,-2,3).‎ 易知平面AEB的一个法向量为n1=(0,1,0),‎ 设平面APC的法向量为n2=(x,y,z),‎ 由得 取y=3,得平面APC的一个法向量为n2=(-1,3,2),‎ 所以|cos|==,‎ 设平面AEB和平面APC所成的二面角为θ,‎ 则sin θ==,‎ 所以平面AEB和平面APC所成二面角的正弦值为.‎ ‎▲跳出陷阱　求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算:一是求平面法向量,此时一定要认真求出点的坐标,利用“终减起”,求出向量的坐标,再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的正弦值,先计算两个平面所成角的余弦值,再利用同角三角函数的基本关系式,即可得结论.‎ ‎【变式训练】　【2018吉林省实验中一模】已知数列中， ．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，数列的前项和为， 若不等式对一切恒成立，求的取值范围．‎ 陷阱九　转化不当——由此及彼要等价 ‎　　例9　【2018甘肃省张掖市一模】已知函数.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；‎ ‎（2）若对任意都有，求的取值范围.‎ 易错分析　该题易出现的问题是不能根据已知条件转化为函数单调性求解.‎ ‎【解析】（1）由，得， ，‎ 从而 在上恒成立，‎ 令，则，‎ 当时， ，所以函数在上单调递减，则，‎ 当时， ，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则，即，‎ 通过求函数的导数可知它在上单调递增，故，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎▲跳出陷阱　条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问根据不等式结构特征，转化为函数具有单调性。‎ ‎【变式训练】【2018湖北省襄阳市调研】已知i与j为互相垂直的单位向量， ‎ ‎，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎ 陷阱十　新定义不明——用新定义要明确 ‎　　例10　定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:‎ ‎①函数f(x)=[sin x]是奇函数;‎ ‎②2π是函数f(x)=[sin x]的周期;‎ ‎③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)

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