2018-2019学年江西省宜丰中学高二上学期期末考试理科数学试题 解析版

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绝密★启用前 江西省宜丰中学2018-2019学年高二上学期期末考试理科数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知命题，下列命题中正确的是(  )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：命题，使的否定为,使，故选C．‎ 考点：特称命题的否定．‎ ‎2．若，且，则实数的值是（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，∴，故．‎ 考点：向量垂直的充要条件．‎ ‎3．对于简单随机抽样，每个个体每次被抽到的机会（　 ）‎ A．相等 B．不相等 C．无法确定 D．与抽取的次数有关 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据简单随机抽样的概念，直接选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据简单随机抽样的概念可知，每个个体每次被抽到的机会相等，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查简单随机抽要的概念，属于基础题.‎ ‎4．如图，在三棱柱中，为的中点，若 ‎，则下列向量与相等的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间向量加法和减法的运算，求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 由于是的中点，所以 .故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量加法和减法的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎5．如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（   ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先去掉最高分和最低分，然后计算出平均数和众数.‎ ‎【详解】‎ 去掉最高分，去掉最低分，剩余数据为，故众数为，平均数为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平均数的计算，考查众数的识别，考查阅读理解能力，属于基础题.‎ ‎6．计算机执行下面的算法步骤后输出的结果是(　　)‎ A．4，－2 B．4,1 C．4,3 D．6,0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序运行的顺序，计算出输出的结果.‎ ‎【详解】‎ 运行程序，，，，输出，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查计算程序输出结果，考查程序语言的识别，属于基础题.‎ ‎7．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，根据图像判断符合题意的公共点个数.‎ ‎【详解】‎ 画出图像如下图所示，由图可知，这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线，故符合题意的直线有条，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线交点个数问题，属于基础题.‎ ‎8．一个均匀的正方体玩具的各面上分别标以数 (俗称骰子)，将该玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数(指向上的一面的数是奇数)，事件B表示向上的一面的数不超过3，事件C表示向上的一面的数不少于4，则（    ）‎ A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是对立事件 D．A与C是对立事件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求得事件所包含的基本事件，由此判断正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知,，.故不是互斥事件，不是对立事件，是对立事件，不是对立事件.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查互斥事件和对立事件的概念，属于基础题.‎ ‎9．有下列调查方式：①学校为了解高一学生的数学学习情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有15人在100分以上，35人在90～100分，10人低于90分。现在从中抽取12人座谈了解情况；③运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道。就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（ ）.‎ A．分层抽样，系统抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样，系统抽样，简单随机抽样的定义进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是系统抽样，因为各班人数相等，每班抽取2人；‎ ‎（2）是分层抽样，因为60人中分数有明显差异；‎ ‎（3）是简单随机抽样，因为6名同学中每个同学都是等可能地被安排在相应的赛道上，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样 ‎（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；‎ ‎（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；‎ ‎（3）分成抽样就是按比例抽取．‎ ‎10．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果，那么判断框中应填入(  )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：以此运行循环语句直到S＝1320,可得判断框中应填入K＜10！,故选A.‎ 考点：程序框图 算法 ‎11．如图，在正四棱锥中，，则二面角的平面角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出二面角的平面角，利用余弦定理计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 由于几何体为正四棱锥，故，在内分别作边上的高.故是二面角所成二面角的平面角.设，则，由于，故，则.由得，则在三角形中，.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正四棱锥的几何性质，考查二面角余弦值的求法，属于中档题.‎ ‎12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点， 分别为椭圆和双曲线的离心率, ，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义和双曲线的定义，以及余弦定理列方程，转化为离心率的形式，并用基本不等式求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 设，根据椭圆和双曲线的定义有，由余弦定理得，化简得，两边除以得，故 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题 主要考查椭圆的定义和双曲线的定义，考查余弦定理，考查离心率的求法，考查基本不等式求最小值.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在△ABC中，已知A(－1,2,3)、B(2，－2,3)、 ，则AB边上的中线CD的长是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由A(－1,2,3)，B(2，－2,3)及中点坐标公式得D（，0,3），由两点间距离公式得CD的长是=。‎ 考点：本题主要考查空间直角坐标系中点坐标公式、两点间距离公式。‎ 点评：简单题，直接套用中点坐标公式、两点间距离公式计算。‎ ‎14．设双曲线的两个焦点为， ，一个顶点式，则的方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知： ， ，所以，又因为双曲线的焦点在轴上，所以C的方程为.‎ 考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.‎ 视频 ‎15．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：这组数据的平均数为，‎ ‎．故答案应填：0.1‎ ‎【考点】方差 ‎【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.‎ ‎16．已知是椭圆和双曲线的公共顶点，其中， 是双曲线上的动点， 是椭圆上的动点（都异于），且满足（），设直线的斜率分别为，若，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，‎ ‎ ∵满足，其中（）， ∴，∴， ， 三点共线． 设， ， ，则， ， ∴， ，∵， ∴， ‎ ‎∴，故答案为.‎ 点睛：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题；由满足，利用向量的平行四边形法则可得： ， ， 三点共线，设， ，分别利用点在双曲线与椭圆上结合斜率计算公式，再利用整体代换思想可求得 结果.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某商场5个分店某日的销售额和利润额资料如下表：‎ 商店名称 A B C D E 销售额x/万元 ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额y/万元 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎(1)求关于销售额的回归直线方程；‎ ‎(2)当销售额为4万元时，估计该零售店的利润额(万元)．附：对于一组数据，……，其回归线斜率和截距的最小二乘估计分别为；，‎ ‎【答案】（1）；（2）2.4万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）将代入回归直线方程求得估计值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，，故，，故.（2）当时，万元.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程的计算，考查用回归直线方程进行预测，属于基础题.‎ ‎18．从某小组的2名女生和3名男生 中任选2人去参加一项公益活动．‎ ‎（1）求所选2人中恰有一名男生的概率；‎ ‎（2）求所选2人中至少有一名女生的概率．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设2名女生 为，3名男生为，列举可得总的基本事件数，分别可得符合题意得事件数，由古典概型的概率公式可得．‎ 试题解析：设2名女生 为，3名男生为，从中选出2人的基本事件有：，共10种．‎ ‎（1）设“所选2人中恰有一名男生”的事件为，则包含的事件有：，共6种，‎ ‎∴，‎ 故所选2人中恰有一名男生的概率为．‎ ‎（2）设“所选2人中至少有一名女生”的事件为，则包含的事件有：，共7种．‎ ‎∴，‎ 故所选2人中至少有一名女生的概率为．‎ 考点：古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【方法点睛】古典概型的一般解题技巧：第一步：判明问题的性质；这类随机试验中只有有限种不同的结果，即只可能出现有限个基本事件不妨设为 ；且它们具有以下三条性质: (1)等可能性:：； (2)完备性：在任一次试验中至少发生一个； (3)互不相容性：在任一次试验中，，中至多有一个出现,每个基本事件的概率为，即；第二步：掌握古典概率的计算公式； 如果样本空间包含的样本点的总数，事件包含的样本点数为，则事件的概率.‎ ‎19．设实数满足实数满足,‎ ‎(1)若，且为真，求实数的取值范围;‎ ‎(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先化简命题和，又p∧q为真，所以真真，求取值范围的交集，得出{x|2＜x≤3}．（2）涉及¬p与¬q问题时，可根据互为逆否命题的命题等价进行转化，¬p是¬q的充分不必要条件，即，所以，不能推出，因此：{x|2＜x≤3}是：{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，从而得出的取值范围．‎ 试题解析：（1）当a＞0时， {x|x2-4ax+3a2＜0}={x|（x-3a）（x-a）＜0}={x|a＜x＜3a}，‎ 如果a=1时，则x的取值范围是{x|1＜x＜3}，‎ 而{x|x2-x-6≤0，且x2+2x-8＞0}={x|2＜x≤3}，‎ 因为p∧q为真，所以有{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x≤3}={x|2＜x＜3}．‎ 故实数x的取值范围是{x|2＜x≤3}．‎ ‎（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，表明q是p的充分不必要条件．‎ 由（1）知，{x|2＜x≤3}是{x|a＜x＜3a}（a＞0）的真子集，‎ 易知a≤2且3＜3a，解得{a|1＜a≤2}．‎ 故实数a的取值范围是{a|1＜a≤2}．‎ 考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题的真假；4、集合的运算．‎ ‎20．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于．‎ ‎（1）求顶点C的轨迹方程；‎ ‎（2）若斜率为1的直线与顶点C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=x±1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣，列出方程，求出点C的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|MN|=，即可求直线l的方程．‎ 解：（Ⅰ）设C的坐标为（x，y），则 直线AC的斜率，‎ 直线BC的斜率，‎ 由已知有，化简得顶点C的轨迹方程，‎ ‎（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 由题意，解得5x2+8mx+4m2﹣4=0，‎ ‎△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得 ‎∴，‎ 代入解得m2=1，m=±1，‎ ‎∴直线l的方程为y=x±1．‎ 考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎21．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) (3) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 ‎，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F-AB-P的余弦值 试题解析：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．‎ ‎（1）证明：向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），‎ 故＝0，‎ 所以BE⊥DC. ‎ ‎（2）向量＝（－1，2，0），＝（1，0，－2）．‎ 设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，‎ 则 ‎ 不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有 ‎＝＝＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎（3） 向量＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0）．‎ 由点F在棱PC上，设＝λ，0≤λ≤1.‎ 故＝＋＝＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则 cos〈n1，n2〉＝＝＝－.‎ 易知二面角F AB P是锐角，所以其余弦值为.‎ 方法二：（1）证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.‎ 因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.‎ ‎（2）连接BM，由（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．‎ 依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，‎ 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.‎ ‎（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角F AB P的平面角．‎ 在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角F AB P的余弦值为.‎ 考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角 ‎22．设椭圆的离心率,左顶点到直线的距离,为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点,若以为直径的圆经过坐标原点,证明:点到直线的距离为定值；‎ ‎（III）在（Ⅱ）的条件下,试求的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）定值为；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题目条件建立a，b，c的两个方程，可求得椭圆的标准方程；（2）以AB为直径的圆经过坐标原点，等价于OA⊥OB，再转换为x1x2＋y1y2＝0，结合A、B是直线与椭圆的公共点，可得原点到直线的距离为定值；（3）结合（2），将三角形的面积表示为直线斜率的函数关系式，利用二次函数的性质可求的面积的最小值.‎ 试题解析：（1）由e＝，得c＝a，又b2＝a2－c2，所以b＝a，即a＝2b.‎ 由左顶点M（－a，0）到直线，即bx＋ay－ab＝0的距离d＝，‎ 得，即，‎ 把a＝2b代入上式，得，解得b＝1.所以a＝2b＝2，c＝.‎ 所以椭圆C的方程为. 3分 ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2.‎ 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故＝0，‎ 即x1x2＋y1y2＝0，也就是，‎ 又点A在椭圆C上，所以，‎ 解得|x1|＝|y1|＝.‎ 此时点O到直线AB的距离d1＝|x1|＝.‎ ‎②当直线AB的斜率存在时，‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋m，‎ 与椭圆方程联立有 消去y，得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0‎ 所以 因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，所以OA⊥OB 于是＝x1x2＋y1y2＝0，‎ 所以（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0‎ 所以 整理得：5m2＝4（k2＋1）‎ 所以点O到直线AB的距离d1＝.‎ 综上所述，点O到直线AB的距离为定值. 8分 ‎（3）设直线OA的斜率为k0.‎ 当k0≠0时，‎ 则OA的方程为y＝k0x，OB的方程为，‎ 联立得同理可求得 故△AOB的面积为S＝＝2.‎ 令1＋＝t（t>1），‎ 则S＝2＝2，‎ 令g（t）＝（t>1），所以4

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