2017-2018学年四川省攀枝花市高二下学期期末调研检测数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 四川省攀枝花市2017-2018学年高二下学期期末调研检测数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若焦点在轴上的双曲线的焦距为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，由焦点的位置可得，又由焦距为，即，再由双曲线的几何性质可得，即可求得.‎ 详解：根据题意，焦点在轴上的双曲线，‎ 则，即，‎ 又由焦距为，即，‎ 则有，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围.‎ ‎2．已知复数(为虚数单位)，则（　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：化简复，利用复数模的公式求解即可.‎ 详解：因为 ，‎ 所以=，故选D.‎ 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3．设是函数的导函数，则的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求导，代值即可.‎ 详解：，‎ 则.‎ 故选：C.‎ 点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,‎ ‎,‎ 考点：程序框图 ‎5．如图是函数的导函数的图象，则下面说法正确的是(　　 ) ‎ A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取极大值 D. 当时，取极大值 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先由图象得出函数的单调性，再利用函数的单调性与导数的关系即可得出.‎ 详解：由图象可知上恒有，在上恒有，‎ 在上单调递增，在上单调递减 则当时，取极大值 故选：D.‎ 点睛：熟练掌握函数的单调性、极值与导数的关系是解题的关键，是一道基础题.‎ ‎6．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为两个同高的几何体，A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p是q的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用祖暅原理分析判断即可.‎ 详解：设A，B为两个同高的几何体，‎ A，B的体积不相等，A，B在等高处的截面积不恒相等．‎ 如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，‎ 根据祖暅原理可知，p是q的充分不必要条件.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.‎ ‎7．若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设公共点，求导数，利用曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，建立方程组，即可求出a的值.‎ 详解：设公共点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，‎ ‎，解得.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，正确求导是关键.‎ ‎8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） ‎ ‎（A）若，且，则 ‎（B）若，则 ‎（C）若，，则 ‎（D）若，且，则 ‎【答案】C ‎【解析】分析：对选项逐一分析即可.‎ 详解：对于A，，且，则与位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故A错误；‎ 对于B，，则有可能，有可能，故B错误；‎ 对于C，，，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线与垂直，又，得到，又，得到，，故C正确；‎ 对于D，，且，则与位置关系不确定，可能相交、平行或者异面，故D错误.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查线线平行、线面平行、线面垂直以及面面垂直的判断，主要考查空间立体的感知能力以及组织相关知识进行判断证明的能力，要求熟练相应的判定定理和性质定理.‎ ‎9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由三视图得该几何体是从四棱锥中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积.‎ 详解：由三视图得该几何体是从四棱锥中挖去一个半圆锥，‎ 四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高为2，‎ 圆锥的底面半径是1，高为2，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.‎ ‎10．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，再根据概率公式求解可得.‎ 详解：由图共有4种等可能结果，其中将图1的正方形放在图2中①的位置出现重叠的面，不能围成正方体，‎ 则所组成的图形能围成正方体的概率是.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了概率公式和展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形，注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图.‎ ‎11．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为 ‎，此时四面体ABCD外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可.‎ 详解：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，‎ 三棱柱中，底面，,‎ ‎，‎ 的外接圆的半径为，‎ 由题意可得：球心到底面的距离为.‎ 球的半径为.‎ 外接球的表面积为：.‎ 故选：C.‎ 点睛：考查空间想象能力，计算能力.三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提.‎ ‎12．设函数 是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间和上都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上都有，进而将不等式变形转化可得或，解可得x的取值范围，即可得答案.‎ 详解：根据题意，设，‎ 其导数，‎ 又当时，，‎ 则有，‎ 即函数在上为减函数，‎ 又，‎ 则在区间上，，又由，则，‎ 在区间上，，又由，则，‎ 则在区间和上都有，‎ 又由为奇函数，则在区间和上都有，‎ ‎ 或，‎ 解可得：或.‎ 则x的取值范围是.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析与的解集.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命题为真，则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：命题为真，则都为真，分别求出取交集即可.‎ 详解：命题为真，则都为真，‎ 对，，使得成立，则；‎ 对，，不等式恒成立，则，‎ 又（当且仅当时取等），‎ ‎，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查函数的性质，复合命题的真假判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎14．如图，在三棱柱中，底面，，，是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：记中点为E，则，则直线与所成角即为与所成角，设 ‎，从而即可计算.‎ 详解：记中点为E，并连接，‎ ‎ 是的中点，‎ 则，‎ 直线与所成角即为与所成角，‎ 设，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．‎ ‎(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．‎ ‎15．在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可以求得________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，‎ 则：，‎ 两式相加可得：,‎ 故：，即.‎ ‎16．已知函数 ，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：若存在三个互不相等的实数，使得成立，等价为方程存在三个不相等的实根，由于当时，，只有一个根，则当时，方程存在两个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的最值，即可得到结论.‎ 详解：若存在三个互不相等的实数，使得成立，‎ 等价为方程存在三个不相等的实根，‎ 当时，，‎ ‎，解得，‎ 当时，，只有一个根.‎ 当时，方程存在两个不相等的实根，‎ 即.‎ 设，‎ ‎，‎ 令，解得，‎ 当，解得，在上单调递增；‎ 当，解得，在上单调递减；‎ 又，，‎ 存在两个不相等的实根，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查导数的综合应用，根据条件转化为方程存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数在处有极值.‎ ‎（Ⅰ）求、的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】(1) ;(2)的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎【解析】试题分析: （1）f′（x）＝2ax＋．由题意可得：，解得a，b．‎ ‎（2）f（x）＝x2－lnx，f′（x）=x﹣．函数定义域为（0，+∞）．令f′（x）＞0，f′（x）＜0，分别解出即可得出单调区间．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵f′（x）＝2ax＋.又f（x）在x＝1处有极值，‎ ‎∴即解得a＝，b＝－1.‎ ‎（2）由（1）可知f（x）＝x2－lnx，其定义域是（0，＋∞），‎ f′（x）＝x－＝.‎ 由f′（x）＜0，得0＜x＜1；由f′（x）＞0，得x＞1.‎ 所以函数y＝f（x）的单调减区间是（0,1），单调增区间是（1，＋∞）．‎ ‎18．2018年至2020年，第六届全国文明城市创建工作即将开始．在2017年9月7日召开的攀枝花市创文工作推进会上，攀枝花市委明确提出“力保新一轮提名城市资格、确保2020年创建成功”的目标．为了确保创文工作，今年初市交警大队在辖区开展“机动车不礼让行人整治行动” ．下表是我市一主干路口监控设备抓拍的5个月内 “驾驶员不礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）预测该路口7月份不“礼让斑马线”违章驾驶员的人数；‎ ‎（Ⅲ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查“驾驶员不礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过年 驾龄年以上 合计 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ ‎【答案】(1) ;(2)66;(3) 有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.‎ ‎【解析】分析：（1）由表中数据知：，代入公式即可求得，，从而求得违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）把代入回归直线方程即可；‎ ‎（3）求得观测值，从而即可得到答案.‎ 详解：（Ⅰ）由表中数据知：‎ ‎∴，，‎ ‎∴所求回归直线方程为． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则人,‎ ‎（Ⅲ）由表中数据得，‎ 根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．‎ 点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数 ， ，由于 ， 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为 ，常数项为 ，这与一次函数的习惯表示不同．)‎ ‎19．如图，在边长为的正方形中，点是的中点，点是的中点，点是上的点，且．将△AED，△DCF分别沿，折起，使，两点重合于，连接，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）试判断与平面的位置关系，并给出证明.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）折叠前,，折叠后，，从而即可证明；‎ ‎（2）连接交于，连接，在正方形中，连接交于，从而可得，从而在中，，即得，从而平面.‎ 详解：（Ⅰ）证明：∵折叠前, ‎ ‎∴折叠后， ‎ 又∵‎ ‎∴平面，而平面 ‎∴． ‎ ‎（Ⅱ）平面，证明如下：‎ 连接交于，连接，在正方形中，连接交于，‎ 则，所以， ‎ 又，即，在中，，所以. ‎ 平面，平面，所以平面.‎ 点睛：本题主要考查线面之间的平行与垂直关系，注意证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．‎ ‎20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD关于y轴对称？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得，求解即可；‎ ‎（2）假设存在点满足条件，则，设，，，联立方程，从而可得，又由，得，从而求得答案.‎ 详解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为，‎ 则有，解得，所以椭圆C的方程为． ‎ ‎（Ⅱ）假设存在点满足条件，则．‎ 设，，，联立方程，得，‎ ‎，， ‎ 由，得，即，‎ 综上所述，存在点，使直线AD与BD关于y轴对称．‎ 点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得结果．‎ ‎21．如图，在三棱柱中，侧面底面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，且与平面所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）余弦值为.‎ ‎【解析】分析：（1）由四边形为菱形，得对角线,由侧面底面，, 得到侧面，从而，由此能证明平面；‎ ‎（2）由题意易知为等边三角形，以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的平面角的余弦值．‎ 详解：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,‎ 得到侧面，‎ 又因为 侧面,所以,‎ 又由已知，侧面为菱形，所以对角线,‎ 即，，,‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线 ,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角， ,,, ,得到;‎ 以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，‎ ‎,,,,,,，‎ 由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，,‎ 解得,,‎ 二面角为钝二面角，故余弦值为.‎ 点睛：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，涉及到线线、线面、面面平行与垂直的性质、向量法等知识点的合理运用，是中档题.‎ ‎22．已知函数（其中 ，为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）若函数无极值，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）实数的取值范围是；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）因为函数无极值，所以在上单调递增或单调递减.即或在时恒成立，求导分析整理即可得到答案；‎ ‎（2）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.欲证 ，只需证即可，构造函数= （），求导分析整理即可.‎ 详解：（Ⅰ）函数无极值， 在上单调递增或单调递减.‎ 即或在时恒成立；‎ 又，‎ 令，则；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎，‎ 当时，，即，‎ 当时，显然不成立；‎ 所以实数的取值范围是. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，当时，，即.‎ 欲证 ，只需证即可.‎ 构造函数= （），‎ 则恒成立，故在单调递增，‎ 从而.即，亦即.‎ 得证.‎ 点睛：可以从所证不等式的结构和特点出发，结合已有的知识利用转化与化归思想，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明，其一般步骤是：构造可导函数→研究单调性或最值→得出不等关系→整理得出结论．‎