高考数学专题复习：反证法

高考数学专题复习：反证法

第二章2.2.2反证法 ‎ 一、选择题 ‎1、用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为(　　)‎ A．a，b，c都是偶数 B．a，b，c都不是偶数 C．a，b，c中至多一个是偶数 D．至多有两个偶数 ‎2、设x、y、z∈R*，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三个数(　　)‎ A．至少有一个不大于2 B．都小于2‎ C．至少有一个不小于2 D．都大于2‎ ‎3、如果两个数的和为正数，则这两个数(　　)‎ A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．至少有一个是正数 D．两个都是负数 ‎4、实数a、b、c不全为0的含义为(　　)‎ A．a、b、c均不为0‎ B．a、b、c中至多有一个为0‎ C．a、b、c中至少有一个为0‎ D．a、b、c中至少有一个不为0‎ ‎5、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角 C．假设没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 二、填空题 ‎6、有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．‎ ‎7、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：‎ ‎①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．‎ ‎②所以一个三角形不能有两个直角．‎ ‎③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.‎ 上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)‎ ‎8、用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为____________．‎ 三、解答题 ‎9、已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．‎ ‎10、在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A<60°.‎ ‎11、已知三个正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不可能成等差数列．‎ ‎12、若下列方程：x2＋4ax－‎4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[“存在”的反面是“任意，……都不是”．]‎ ‎2、C　[假设a<2，b<2，c<2.‎ 则a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，矛盾．‎ 故a、b、c至少有一个不小于2.]‎ ‎3、C　[两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．]‎ ‎4、D　[“不全为‎0”‎和“全为‎0”‎是对立的．]‎ ‎5、B 二、填空题 ‎6、丙 解析　若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．‎ 又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．‎ ‎7、③①②‎ 解析　考查反证法的一般步骤．‎ ‎8、x＝a或x＝b 解析　否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.‎ 三、解答题 ‎9、证明　假设方程f(x)＝0有负数根，‎ 设为x0(x0≠－1)，则有x0<0，且f(x0)＝0.‎ ‎∴ax0＋＝0⇔ax0＝－.‎ ‎∵a>1，∴0A≥60°，‎ ‎∴A＋B＋C>180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A<60°.‎ ‎11、证明　假设，，成等差数列，‎ 则＝＋＝.‎ ‎∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，‎ ‎∴＝⇒b2＝ac.‎ ‎∴2＝ac⇒(a＋c)2‎ ‎＝‎4ac⇒(a－c)2＝0⇒a＝c.‎ 又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.‎ 因此，d＝b－a＝0，这与d≠0矛盾．‎ 所以，，不可能成等差数列．‎ ‎12、解　设三个方程均无实根，则有：‎ ，‎ 解得.‎ 即－

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