河北省唐山市玉田县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

河北省唐山市玉田县2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

玉田县2019—2020学年度第一学期期中考试高二数学 一、选择题 ‎1.直线经过点和，则直线的倾斜角为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出直线的斜率后可得其倾斜角.‎ ‎【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，‎ 根据，而，故，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.‎ ‎2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.若直线：与直线：互相垂直，则的值是（ ）‎ A. -3 B. ‎1 ‎C. 0或 D. 1或-3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入两直线垂直的公式得，求.‎ ‎【详解】若两直线垂直，则，‎ 即，‎ 解得：或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查根据两直线垂直求参数的取值范围，属于简单题型，若给出两直线的斜率，则，若直线是一般式表示，则代入公式.‎ ‎4.直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1与AC1所成的角为（ ）‎ A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 延长到，使得，则为平行四边形，可得出∠就是异面直线与所成的角，再判断出的形状，可求出的大小.‎ ‎【详解】延长到，使得，则为平行四边形，‎ ‎∠就是异面直线与所成的角，‎ 又，则三角形为等边三角形，，‎ 因此，异面直线与所成的角为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角，一般利用平移直线的方法，构造出异面直线所成的角，并选择合适的三角形进行计算，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎5.圆和圆的位置关系是( )‎ A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．‎ ‎【详解】把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，‎ 故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，‎ ‎∵圆心之间的距离，则R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，‎ ‎∴两圆的位置关系是相交．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.‎ ‎6.一平面四边形直观图如图所示，其中，，，则四边形的面积为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式直观图的面积等于实际图形的面积，求解四边形的面积.‎ ‎【详解】，，‎ ‎ ,‎ ‎ 四边形,‎ ‎,‎ 解得：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查直观图和实际图形的面积的关系，属于简单题型.‎ ‎7.已知互不重合的直线,互不重合的平面,给出下列四个命题，正确命题的个数是 ‎①若，，，则 ‎ ‎②若，，则 ‎③若，，，则 ‎ ‎④若，，则//‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由线线平行的性质定理能判定A是正确的；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判定C的正误，在D中，可得或，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，已知互不重合的直线和互不重合的平面，‎ 在A中，由于，‎ 过直线平面都相交的平面，记，‎ 则且，所以，‎ 又，所以，故A是正确的；‎ 在B中，若，则由面面垂直和线面垂直的性质得，所以是正确；‎ 在C中，若，则由线面垂直的判定定理得，所以是正确；‎ 在D中，若，则或，，所以是不正确的，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理作出证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.‎ ‎8.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得圆心（0,0）到直线的距离为d＝，求出k，即可求出直线的倾斜角．‎ ‎【详解】因为圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，∵直线l：y＝k（x+2）被圆O：x2+y2＝4截得弦长为，∴圆心到直线的距离d＝＝1，∴圆心到直线的距离d=，∴k＝±，所以直线的倾斜角为或.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系和直线的倾斜角，以及点到直线的距离公式，属于中档题．‎ ‎9.过圆外一点向该圆引两条切线，，为切点，则的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求四边形的外接圆，然后两圆相减得到公共弦所在直线方程，即直线的方程.‎ ‎【详解】由已知可知，，‎ 四边形存在以为直径的外接圆，‎ 圆心是，直径是，‎ 四边形的外接圆是，‎ 即 ，‎ 直线是两圆公共弦所在的直线方程，‎ 直线方程是，‎ 即.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查求两圆公共弦所在直线方程，意在考查转化与化归和变形计算能力，属于中档题型.‎ ‎10.设入射线光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据入射关线和反射光线所在直线关于直线对称，可以在入射光线上任找两个点，求两点关于直线的对称点，根据两点求直线方程.‎ ‎【详解】入射光线关于的对称点都在反射光线上，‎ 所以在入射光线上任取点，，这两个点关于直线的对称点是，，则都在反射光线上，,‎ 直线方程是 ，‎ 整理为.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查根据入射光线求反射光线，意在考查点关于直线的对称点的求法，属于基础题型.‎ ‎11.直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离d和半径，则d减去半径即为所求．‎ ‎【详解】圆在处的切线的斜率为-=，所以切线方程为y-1=(x+),‎ 方程为：，圆的圆心到直线的距离为 ‎，所以点到直线的距离最小值等于，‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎12.已知的三个顶点在以为球心的球面上，且，，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得三角形为直角三角形，斜边的中点就是的外接圆圆心，利用三棱锥的体积，求出到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表面积公式求解．‎ ‎【详解】在中，∵，，得，‎ 则斜边的中点就是的外接圆的圆心，‎ ‎∵三棱锥的体积为，‎ ‎，解得，，‎ 球的表面积为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积的求法，考查锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13.如图，已知是正方体的棱的中点，设为二面角的平面角，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先过点作，连接，可证明是二面角的平面角，然后求解.‎ ‎【详解】如图，过点作，连接 ‎ ‎， ‎ 平面， ‎ 是二面角的平面角，‎ 设棱长为2，则正方形的面积是4，‎ 是的中点，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ,‎ ‎.‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，意在考查空间想象和计算能力，属于基础题型.‎ ‎14.一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为 ,表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：试题分析：从三视图可以看出原几何体为三棱锥，不妨设为，从侧视图可以看出侧面底面，从正视图看三角形的边上的高为就是三棱锥的高，从俯视图可以看出底面是等腰三角形，从侧试图可以看出边上的高位1，所以三棱锥的体积；‎ 考点：三视图 ‎15.经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线方程是_____‎ ‎【答案】3x＋19y＝0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立方程可解交点，进而可得直线的斜率，可得方程，化为一般式即可．‎ ‎【详解】联立方程，解得，‎ ‎∴两直线交点为（，），‎ ‎∴直线的斜率为=﹣，‎ ‎∴直线的方程为y=﹣x，即3x+19y=0‎ 故答案为：3x＋19y＝0．‎ ‎【点睛】本题考查过两点的直线的方程，涉及直线的交点问题，属基础题．‎ ‎16.已知点在圆：上，则的最小值是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据表示的几何意义画出图象，可知过点的直线与圆相切时，最小，求最小值.‎ ‎【详解】表示圆上的点和点连线的斜率，‎ 设直线，即，‎ 如图，当直线与圆相切时，此时直线的斜率最小，‎ ‎ ，解得：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，意在考查转化与化归，数形结合求最值，属于中档题型.‎ 三、解答题 ‎17.如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，.‎ 求证：（1）平面；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中位线的性质可得 可得 根据线面平行的判定定理即可得 平面。‎ ‎（2）由 可得 再由等腰三角形三线合一可得 根据线面垂直的判定定理即可得 再根据线面垂直的性质可得.‎ ‎【详解】解：（1）因为，分别为，的中点，‎ 所以.在直三棱柱中，，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，为的中点，所以.‎ 因为三棱柱是直棱柱，所以平面.‎ 又因为平面，所以.‎ 因为平面，平面，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查点、直线、平面的位置关系。‎ ‎18.已知直线：.‎ ‎（1）若直线的倾斜角是倾斜角的两倍，且与的交点在直线上，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与直线平行，且与的距离为3，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的斜率是，所以的倾斜角是，所以直线的倾斜角就是，再根据交点，利用点斜式方程求直线；‎ ‎（2）设直线的方程为，再根据平行线的距离求.‎ ‎【详解】解：（1）因为直线的斜率为，所以倾斜角为.‎ 又因为直线的倾斜角是倾斜角的两倍，故的倾斜角是.‎ 因为直线与直线的交点为，所以直线的方程是，‎ 即.‎ ‎（2）因为直线与直线平行，故可设直线的方程为.‎ 因为与的距离为3，则有，解得或，所以直线的方程或.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求法，意在考查直线方程的每种形式需要的条件，但比较重要的还是已知两点求直线，或者已知直线过一个定点和直线的斜率．‎ ‎19.如图，在菱形中，，平面，，且.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面垂直的判定定理即可得出；‎ ‎（2）取的中点，设，连接，证明四边形为平行四边形，所以，得到直线与平面所成角即为直线与平面所成的角，即即为直线与平面所成的角。并求其正弦值。‎ ‎【详解】解：（1）证明：如图，‎ 在菱形中，有，‎ 又平面，‎ ‎，‎ 又，‎ 平面，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）取的中点，设，连接.‎ 为中点，，，‎ ‎，则四边形为平行四边形，‎ ‎，‎ 即直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，‎ 又由（1）知平面，‎ 所以即为直线与平面所成的角。‎ 因为，‎ 所以，又，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了面面垂直和直线与平面的夹角，在证明面面垂直时关键是在其中一个平面内找一条线与另外一个平面垂直。属于中档题。‎ ‎20.已知圆C过点且圆心在直线上 ‎（1）求圆C的方程 ‎（2）设直线与圆C交于A、B两点，是否存在实数a使得过点P（2，0）的直线垂直平分AB？若存在，求出a值，若不存在，说明理由。‎ ‎【答案】（1）x2+y2-6x+4y+4=0（2）不存在实数 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0‎ 则有 解得 ‎∴圆C的方程为：x2+y2-6x+4y+4=0 ‎ ‎（2）设符合条件的实数存在，‎ 由于l垂直平分弦，故圆心必在l上．‎ 所以l的斜率，‎ 而， 所以． ‎ 把直线ax-y+1=0 即y=ax +1．代入圆的方程，‎ 消去，整理得．‎ 由于直线交圆于两点，‎ 故，‎ 即，解得．‎ 则实数的取值范围是． ‎ 由于，‎ 故不存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦．‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，是棱上的一点.‎ ‎（1）证明：平面； ‎ ‎（2）若平面，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，三棱锥的体积是18，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析 ；（2） ；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BC⊥PD，BD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD．（2）连结AC，交BD于O，连结OE，由PA∥平面BDE，得OE∥PA，由此能求出 ．（3）B到平面PCD的距离d＝‎ ‎3，设PD＝a，则 ＝ ，由三棱锥P﹣BDE的体积是18，求出PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，由VP﹣ABD＝VD﹣PAB，能求出D点到平面PAB的距离．‎ ‎【详解】（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，‎ ‎∴BC⊥PD，∵AD＝BD＝6，AB＝6，BC＝AD，∴BD2+BC2＝CD2，∴BD⊥BC，‎ ‎∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD．‎ ‎（2）连结AC交BD于O，连结OE，则O是AC的中点，‎ ‎∵PA∥平面BDE，∴OE∥PA，∴E是PC的中点，∴＝．‎ ‎（3）B到平面PCD的距离d＝＝3，设PD＝a，则＝＝，∵三棱锥P﹣BDE的体积是18，∴VP﹣BDE＝VB﹣PDE＝＝＝18，解得PD＝a＝6，设点D到平面PAB的距离为h，‎ ‎∵PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6，‎ ‎∴PA＝PB＝＝6，‎ ‎∴＝18，‎ ‎＝＝18，‎ ‎∵VP﹣ABD＝VD﹣PAB，∴，‎ ‎∴h＝＝＝2．∴D点到平面PAB的距离为2．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．‎ ‎22.已知圆和直线，直线，都经过圆外定点．‎ ‎（1）若直线与圆相切，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，与交于点，且线段的中点为，‎ 求证:为定值．‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①当直线的斜率不存在，即直线是成立，②若直线斜率存在，设直线为，由圆心到直线的距离等于半径求解；（2）直线与曲线联立可得，根据韦达定理，弦长公式将 用 表示，消去 即可得结果.‎ 试题解析：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意． ‎ ‎②若直线斜率存在，设直线为，即．‎ 由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，‎ 即： ,解之得 ． ‎ 所求直线方程是，．‎ ‎（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,‎ 可设直线方程为 由 得． ‎ 再由 得．‎ ‎∴ 得． ‎ ‎∴ ‎ 为定值． ‎ 解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为 由 得． 8分 ‎ 又直线CM与垂直，‎ 由 得． ‎ ‎∴ ‎ ‎，为定值．‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.本题（2）是利用方法②进行解答的.‎