2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（理）试题 word版

2018-2019学年安徽省黄山市高二上学期期末考试数学（理）试题 word版

黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测 高二（理科）数学试题 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1. 若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是 A．直线a上的点到平面α的距离相等 ‎ B．直线a平行于平面α内的所有直线 C．平面α内有无数条直线与直线a平行 ‎ D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角 ‎2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则 A． B． C． D． ‎ ‎3. 已知，则“直线与直线垂直”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4. 设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是 A． B． C． D．不确定 ‎5. 若从集合中随机取一个数，从集合中随机取一个数，则直线一定经过第四象限的概率为 A． B． C． D．‎ ‎6. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点 A． B． C． D．‎ ‎7. 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，它的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．或 ‎8. 一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积是 ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 主视图 左视图 俯视图 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．若直线将圆平分，且不 通过第四象限，则直线斜率的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎10.设实数对满足，则该实数 对满足的概率为 A． B． C． D．‎ ‎11.两圆与只有一条公切线，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，点是它们的一个公共点，且，‎ 设椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为 A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13.命题“,使得”的否定是 ．‎ ‎14.如图，圆与圆 ‎ 交于、‎ 两点，则公共弦的长是 ．‎ ‎15.长方体中，‎ ‎，则异面直线所成角的 余弦值为 ．‎ ‎16.已知抛物线，斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，‎ 若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则点到直线的距离为 ．‎ 三、解答题（本大题共小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 设命题在矩形中，，线段上存在一点，使得；命题，函数图象与轴没有交点．如果命题“”是真命题，且“”是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径，．分别为上的动点，且．‎ ‎（Ⅰ）若该圆柱有一个内切球，求圆柱的侧面积和内切球的体积．‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，求异面直线与所成角的余弦值．‎ C C ‎1‎ B ‎1‎ A ‎1‎ B O A O ‎1‎ E F ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示，在平面直角坐标系中，平行于轴且过点的入射光线被直线反射，反射光线交轴于点，圆过点，且与、相切．‎ ‎（Ⅰ）求所在直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求圆的方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，点是棱的中点，点是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：（1）直线；（2）平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若底面为正方形，,求二面角大小．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，森林的边界是直线，图中阴影部分是与垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点和点处，其中，现兔子随机的沿直线，以速度准备越过森林边界逃入森林，同时，狼沿线段以速度进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点处，狼就会吃掉兔子．某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系（如图），并假设点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积；‎ 森 林 ‎（Ⅱ）若兔子随机沿与成锐角）的路线越过向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知点和圆，过的动直线与圆交于、两点，过作直线，交于点．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若不经过的直线与轨迹交于两点，且.求证：直线 ‎ 恒过定点．‎ 黄山市2018～2019学年度第一学期期末质量检测 高二（理科）数学试题参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B C D B D D B C C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. )‎ ‎13.,都有 14. 15. 16.‎ 三、解答题（本大题共小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：若命题为真：如图,由于，则点在以为 直径的圆上，所以直线与圆有公共点，‎ 因此，，解得 …………5分 若命题为真： ……8分 由题可知，命题一真一假，则或 解得. ………………………………………………………10分 ‎18.（本小题满分分）‎ 解：（Ⅰ）由题可知，由于圆柱有一个内切球，‎ 所以． ‎ 因此，圆柱的底面半径为，高为，‎ 所以圆柱的侧面积为 …3分 由题可知，圆柱的内切球的半径为，‎ 所以该内切球的体积 ……………6分 ‎（Ⅱ）由于，，所以分别为AC、BC的中点．由题可知两两垂直，所以可以以C为坐标原点， 所在方向分别为的正方向建立空间直角坐标系（如图）．由（Ⅰ）的条件可得：‎ 即异面直线与所成角的余弦值为． ……………………12分 ‎19.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图，直线：，设与交于点D， 则D（，2）. …………2分 的倾斜角为30°的倾斜角为60°，即 ………4分 所以反射光线所在直线方程为，‎ 即. ……………………………6分 ‎（Ⅱ）设圆心，由题意可知：圆心在过点且与垂直的 直线上，且点在点的下方，则，‎ ‎ …………………………7分 又圆心C在过点A且与垂直的直线上， ………………………9分 故圆C的半径，所以圆C的方程为. ……12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：（1）设菱形的对角线相交于点，连接． 由题可得点、分别为线段、的中点， ，又， ‎ ‎ ………………3分 ‎（2）由于，，‎ 所以，由可得，‎ 又是平面内两相交直线，‎ ‎，因为，‎ 故平面平面. ………………7分 ‎（Ⅱ）由题可知、、两两垂直，则分别以的方向为坐标轴方向，建立空间直角坐标系.由可得，于是可令，‎ 则 ………8分 设平面的一个法向量为．由于，‎ 所以，解得，所以 …9分 因为轴平面，所以可设平面的一个法向量为 ……10分 由于，所以，解得，所以 故．所以二面角的大小为． ………12分 ‎21.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）如图所示，狼要想吃掉兔子，就必须先到达M点或与兔子同时到达M点，‎ 即有：. …………2分 化简得，即 两边平方并整理得：‎ 即 …………4分 所以，兔子的所有不幸点构成的区域为半圆及其内部.‎ 所以，兔子的所有不幸点组成的区域的面积S为. ……6分 ‎（Ⅱ）如图，过点作半圆的切线，切点为，‎ 在中，，所以 ……10分 兔子要想不被狼吃掉，则不能沿的以内方向跑，则，又.‎ 故兔子能逃脱的概率是. ……………………12分 ‎22.（本小题满分12分）‎ 解：（I）由，知是等腰三角形，即.‎ ‎ ……3分 点轨迹是以 为焦点的椭圆，‎ ‎，故，‎ 因此点的轨迹 ……………5分 ‎（II）设，则 联立 …7分 则①，又由知：‎ ‎，‎ 将①式代入并化简得： ，解得. ‎ 当时，直线恒过，不满足题意；‎ 当时，直线恒过定点. ……………………10分 当直线与横轴垂直时，令，，‎ ‎，化简得，‎ 解得或（舍去），，即此时也有直线过定点. ………11分 综上可知，当，直线过定点. …………………12分