河南省郑州市八校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

河南省郑州市八校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

河南省郑州市八校2019-2020学年上学期期中联考试题高二理科数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1. 已知a＜0，－1＜b＜0，则有（ ）‎ A. ab2＜ab＜a B. a＜ab＜ab2 C. ab＞b＞ab2 D. ab＞ab2＞a ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，故选D．‎ 考点：比大小．‎ ‎【方法点睛】比大小常用的方法是比较法：分为作差法和作商法．作差法是两式相减化为积的形式或者多项式和的形式，然后与零作比较，多项式的形式常用作差法；幂指对得形式常作商，作商是与零作比较，但要注意提前判定两项是同正或同负．‎ ‎2.在中，若°，°，．则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵在△ABC中,A=45∘,B=60∘，a=2，‎ ‎∴由正弦定理得：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎3.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，不是递增数列；当且时，‎ 是递增数列，但是不成立，所以选D.‎ 考点：等比数列 ‎4.下列有关命题的说法中错误的是（ ）‎ A. 若为假命题,则p、q均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“若,则“的逆否命题为：“若,则”‎ D. 对于命题p：,使得,则：,均有 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题的真假,充分与必要条件的关系以及命题之间的关系,特称命题的否定为全称命题等逐一判断即可.‎ ‎【详解】本选择题可以逐一判断,显然对于A选项为假命题可知p、q一假一真或者均为假命题,因此A的结论错误,选择A项即可．‎ 对于B项,可得,反之无法推出,所以“”是“”充分不必要条件.‎ 对于C项条件,结论否定且互换,正确.‎ 特称命题的否定是全称命题 ,可知D判断正确．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题的真假判断问题,充要条件,命题的否定,全称命题以及特称命题的概念．‎ ‎5.已知在△ABC中内角ABC的对边分别为a,b,边c上的高为,,则角C的大小（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积公式,解得即可求解C的大小；‎ ‎【详解】由题意,根据三角形的面积公式,可得： ,‎ 解得,显然所以,‎ 又,可得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用,其中在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,要抓住能够利用某个定理的信息,合理选择正、余弦定理求解,着重考查了运算与求解能力,属于基础题．‎ ‎6.若x，y满足,则的最大值是（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出x,y满足的可行域,利用z的几何意义即可解答．‎ ‎【详解】作出实数x,y满足不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：‎ 令则,由图可知当直线过点时,z最大,‎ 即取最大值为,‎ 故选：A ．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用结合数形结合是解决本题的关键．属于基础题．‎ ‎7.已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出,然后数形结合可得a的范围．‎ ‎【详解】由,正弦定理可得；‎ ‎∵这样的三角形有且只有一个,∴或；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题．‎ ‎8.在等差数列{an}中，a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0，则使Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）‎ A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵ 等差数列，，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4024，故选B.‎ ‎9.已知函数，若数列满足，且对任意的正整数都有成立，那么实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为且对任意的正整数都有成立，所以数列为递增数列，即函数为增函数，需满足：，故选择D 考点：1．分段函数；2．函数的单调性 ‎10.在中，为锐角，，则为（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由，所以且 ‎，又因为为锐角，所以，由，根据正弦定理，得，解得，所以三角形为等腰直角三角形，故选D.‎ 考点：三角形形状的判定.‎ ‎11.已知数列满足，是数列的前项和，若，且，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 当时，，所以；当时，，则，则，即，所以，故由题设得，所以，即，应选答案A。‎ 点睛：解答本题的关键是搞清楚该数列中的各项的规律，进而整明白，然后借助题设条件中的，再将巧妙变形，从而运用基本不等式求最小值，使得问题简捷、巧妙获解。‎ ‎12.若正实数满足，且不等式 恒成立，则实数的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由得，，令，则 ‎，即，解之得（舍去）或，不等式可转化为在区间是恒成立，‎ 令，所以在区间上，恒成立等价于 ‎，解之得或，故选C．‎ 考点：1．基本不等式；2．函数与不等式．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查基本不等式、不等式恒成立与函数的相互转化，首先进行拼凑，由基本不等式求出代数式的取值范围,设,换元,将不等式不等式转化为在区间是恒成立,构造关于函数，由一次函数的性质即可求参数的取值范围．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：∵数列满足，且，∴当时，．当时，上式也成立，∴．∴．∴数列的前项的和 ‎．∴数列的前项的和为．故答案为：．‎ 考点：（1）数列递推式；（2）数列求和.‎ ‎14.在中，已知是的平分线，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设中边上的高为，‎ 则有，整理得．‎ 设， ‎ 在中分别由余弦定理得，‎ 即，解得．‎ 在中由余弦定理得．‎ 又，‎ ‎∴．‎ 答案：‎ 点睛：‎ 解答本题时首先根据三角形的面积公式得到三角形角平分线的性质，即三角形的角平分线分对边所成的两条线段与该角的两边对应成比例，利用此结论并结合余弦定理可得到三角形的为止边长，然后在根据要求解题即可．‎ ‎15.设不等式组表示的平面区域为，平面区域与关于直线对称，对于任意的，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出不等式组所表示的可行域 ，如图阴影部分，由三角形ABC构成，其中 ，作出直线 ，显然点A到直线的距离最近，由其几何意义知，区域 内的点最短距离为点A到直线的距离的2倍，由点到直线的距离公式有： ，所以区域 内的点与区域 内的点之间的最近距离为 ，即 .‎ 点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键. ‎ ‎16.在中，，当△ABC的周长最短时，BC的长是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设所对的边,根据余弦定理可得,以及可得c,再利用均值不等式即可求出答案．‎ ‎【详解】设所对的边,根据余弦定理可得,‎ 所以 将代入上式,可得, ‎ 化简可得,‎ 所以△ABC的周长.‎ 设,则,‎ 可得,‎ 当且仅当,即此时,‎ 可得周长的最小值为．的长是．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理和均值不等式的应用,以及化简变形、运算能力,属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.设命题:实数满足；命题：实数满足 ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若,且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）P为真时，，q为真时，，求交集即得解；（2）先求出和，再列出不等式组，即得m的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）由得; ‎ 当时，，即P为真时，‎ 由得，即，即q为真时，‎ 因为真，则p真q真，所以 ‎ ‎（2）由得；，又，‎ 所以m＜x＜3m,‎ 由得，即；‎ 设，‎ 若的充分不必要条件 则A是B 的真子集，所以即 ‎【点睛】本题主要考查不等式的解法和复合命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎18.已知关于x的不等式 ‎（1）若不等式的解集是，求k的值；‎ ‎（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；‎ ‎（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据一元二次方程与对应的不等式的关系,结合根与系数的关系,求出k的值；‎ ‎(2)跟据题意解得即可,‎ ‎(3)根据题意,得且,由此求出k的取值范围 ‎【详解】(1)∵不等式的解集是,‎ ‎∴且-3和-2是方程的实数根,‎ 由根与系数的关系,得,所以；‎ ‎(2)不等式的解集是R,所以,解得 ‎ ‎(3)不等式的解集为,得,解得 ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,也考查了利用基本不等式求函数最值的问题,是综合性题目．‎ ‎19.在中,分别为角的对边，若成等差数列，△ABC的周长为15，且．‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎​（2）设G为的重心，求的长．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,由的周长为15,可得：,进而由,可得,解得,由余弦定理可得，结合范围可得C的值,根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎(2)延长,交于F点,则F为的中点,由,可求的值,利用重心的性质可求．‎ ‎【详解】(1) 设,由的周长为15,可得：,‎ 因为,所以 将代入到上式中,解得：,所以 ‎∴由余弦定理可得：,‎ ‎∴由,可得,‎ ‎∴‎ ‎(2) 延长,交于F点,则F为的中点,由 ‎∴‎ ‎∴,∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了数列,余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题．‎ ‎20.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，．‎ ‎（1）求,的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．‎ ‎(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出结果．‎ ‎【详解】(1)由题意．‎ 设公差为d,公比为q,‎ 则,解得．‎ 故;．‎ ‎(2)因为,‎ 所以=,‎ 故=．‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．‎ ‎21.某地棚户区改造建筑平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似为圆面，该圆面的内接四边形是原棚户区建筑用地，测量可知边界万米，万米，万米.‎ ‎（1）请计算原棚户区建筑用地的面积及的长；‎ ‎（2）因地理条件的限制，边界不能更改，而边界 可以调整，为了提高棚户区建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地的面积最大，并求出最大值.‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1) 万米. 万平方米.‎ ‎(2) 所求面积的最大值为万平方米，此时点为弧ABC的中点.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用圆内接四边形得到对角互补，再利用余弦定理求出相关边长，再利用三角形的面积公式和分割法进行求解 ；(2)利用余弦定理和基本不等式进行求解．‎ 试题解析：(1)根据题意知，四边形ABCD内接于圆，∴∠ABC＋∠ADC＝180°.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，‎ 即AC2＝42＋62－2×4×6×cos∠ABC.‎ 在△ADC中，由余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即AC2＝42＋22－2×4×2×cos∠ADC.‎ 又cos∠ABC＝－cos∠ADC，‎ ‎∴cos∠ABC＝，AC2＝28，即AC＝2万米，‎ 又∠ABC∈(0，π)，∴∠ABC＝.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×4×6×sin＋×2×4×sin＝8 (平方万米)．‎ ‎(2)由题意知，S四边形APCD＝S△ADC＋S△APC，‎ 且S△ADC＝AD·CD·sin＝2 (平方万米)．‎ 设AP＝x，CP＝y，则S△APC＝xysin＝xy.‎ 在△APC中，由余弦定理，得AC2＝x2＋y2－2xy·cos＝x2＋y2－xy＝28，‎ 又x2＋y2－xy≥2xy－xy＝xy，‎ 当且仅当x＝y时取等号，∴xy≤28.‎ ‎∴S四边形APCD＝2＋xy≤2＋×28＝9 (平方万米)，‎ 故所求面积的最大值为9平方万米，此时点P为的中点．‎ ‎22.各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．各项均为正数的等比数列满足．‎ ‎（1）求证为等差数列并求数列、的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前n项和．‎ ‎①求；‎ ‎②若对任意,均有恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,（2）①; ②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用已知条件转化求解数列是等差数列,求解首项公差,利用等比数列求数列的首项和公比．‎ ‎(2)①化简,利用错位相减法求解数列的前n项和．‎ ‎②转化求出m与n的不等式,利用最值求解m的范围即可．‎ ‎【详解】(1)∵,∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,又各项为正,‎ ‎∴,‎ ‎∴开始成等差,‎ 又, ∴‎ ‎∴ ∴为公差为3的等差数列,‎ ‎∴,,‎ ‎∴．‎ ‎(2),‎ ‎①,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎​∴．‎ ‎②恒成立,‎ ‎∴,‎ 即恒成立,‎ 设,‎ ‎,‎ 当时,;‎ 当时,‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列通项公式的求法,数列求和,以及数列与不等式的关系,考查函数思想的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎