福建省晋江市养正中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题 含答案

福建省晋江市养正中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题 含答案

晋江市养正中学高68组高二（上）第二阶段测试 数学试卷 ‎(考试时间为120分钟，满分为150分)‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题纸的相应位置. ‎ ‎1．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（ ）‎ A． B． C．6 D．‎ ‎2．曲线C：在点M（）处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 已知△ABC的三边AB，BC，AC的长依次成等差数列，且|AB|>|AC|，B(－1，0)，C(1，0)，则顶点A的轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1(x>0)　　C.＋＝1(x<0) D.＋＝1(x>0，y≠0)‎ ‎4．如图D33所示，已知M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，且＝，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　)‎ A.a＋b＋c B.a＋b＋c C.a＋b＋c D.a＋b＋c ‎5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）‎ A．9 B．‎10 C．11 D．13‎ ‎6．已知、、，点在平面内，则的值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎C．10 D．11‎ ‎7．已知m，n为异面直线，α，β为平面，m⊥α，n⊥β．直线满足⊥m，⊥n，⊄α，⊄β，则（　　）‎ A． B．‎ C．α与β相交，且交线平行于 D． α与β相交，且交线垂直于 ‎8．已知数列{an}是等差数列，若Tn=na1+（n﹣1）a2+…+2an﹣1+an（n≥2），且T2=7，T3=16，则an=（　　）‎ A．n+1 B．2n﹣‎1 ‎C．3n﹣1 D．4n﹣3‎ ‎9．直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B.－‎1　‎　　　C. D．4－2 ‎10.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)‎ A．p10)的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|∶|MN|＝1∶，则a的值等于 (　　)‎ A. B. C．1 D．4 ‎ ‎12．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点分别为F1、F2，以线段F‎1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若|MF1|﹣|MF2|=2b，该双曲线的离心率为e，则e2=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ 二、填空题 ‎13．已知命题p：x满足x2﹣x﹣2＜0，命题q：x满足m≤x≤m+1，若p是q的必要条件，则m的取值范围是　 　．‎ ‎14．函数，则＝ ． ‎ ‎15．椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是__________．‎ ‎16．为激发学生的学习兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“(　　)”中的数字告诉他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数．以下是甲、乙、丙三位同学的描述：‎ 甲：此数为小于6的正整数；‎ 乙：A是B成立的充分不必要条件；‎ 丙：A是C成立的必要不充分条件．‎ 若老师评说三位同学都说得对，则“(　　)”中的数应为________．‎ 三、解答题 ‎17．（本小题满分10分）‎ 如图，正方体的棱长为，点为的中点．‎ ‎（1）求平面的法向量.‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎　‎ ‎18.(12分) 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．‎ ‎（Ⅰ）求A1被选中的概率；‎ ‎（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．‎ ‎19.已知抛物线；‎ ‎（Ⅰ）过点作抛物线的切线，求切线方程；‎ ‎（Ⅱ）设，是抛物线上异于原点的两动点，其中，以，为直径的圆恰好过抛物线的焦点，延长，分别交抛物线于，两点，若四边形的面积为32，求直线的方程.[来源 ‎20. (本题满分12分)‎ 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）试估计平均收益率；‎ ‎（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：‎ 据此计算出的回归方程为.‎ ‎（i）求参数的值；‎ ‎（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ ‎）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.‎ ‎21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90°．‎ ‎（Ⅰ） 证明：PC⊥BC；‎ ‎（Ⅱ） 若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎22.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），点P为椭圆C上一动点，且直线AP，BP的斜率之积为﹣．‎ ‎（1）求a，b及离心率e的值；‎ ‎（2）若点M、N是C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．‎ 晋江市养正中学高68组高二（上）第二阶段测试数学试卷答案 ‎ CCDBD DCABB DA 13.（﹣1，1）．14. 15. ‎12.解：由题意可知：以线段F‎1F2为直径的圆的方程x2+y2=c2，‎ 双曲线经过第一象限的渐近线方程为y=x，联立方程，解得：，‎ 则M（a，b），由|MF1|﹣|MF2|=2b，即﹣=2b，由b2=a2﹣c2，e=，化简整理得：e4﹣e2﹣1=0，由求根公式可知e2=，由e＞1，则e2=，故选A．‎ ‎16.1　[解析]集合B＝{x|－1≤x≤4}，集合C＝.由甲的描述可设括号内的数为a(a>0)，故集合A＝.根据乙、丙的描述可得集合A，B，C的关系是C⇒A⇒B，故∈，所以a∈.又a为正整数，所以a＝1.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：以顶点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ‎（2分）‎ ‎（1）设是平面的一个法向量 ‎……（4分）‎ ‎（2）设是平面的一个法向量，‎ ‎…………（6分）‎ ‎…………（8分）‎ 又与所成的大小与二面角的大小相等，‎ 故二面角的余弦值为 …………（10分）‎ ‎18.解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，‎ 其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}‎ 由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，‎ 因此这些基本事件的发生是等可能的．‎ 用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}‎ 事件M由6个基本事件组成，因而．‎ ‎（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，‎ 则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，‎ 由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，‎ 所以，由对立事件的概率公式得．‎ ‎ 19. 解：（1）过点P（2，1）的切线方程为y－１＝k（x－２）‎ 由得 ‎ ‎∴　△＝０即解得k=1‎ ‎∴ 所求的直线方程是y=x-1 …………（4分）‎ ‎(2)设直线AC的方程为y=kx+1,‎ 则直线BD的方程为y=－x+1‎ 由得 ‎∴+=４k，＝－４ …………（6分）‎ ‎∴ ｜AC|＝＝ …………（8分）‎ 同理：｜BD|＝＝ …………（9分）‎ ‎∵四边形ABCD的面积为32‎ ‎∴ ｜AC|｜BD|=32 即 解得：k=1或k=-1 …（11分）‎ ‎∴ 直线AC的方程是：y=x+1 …………（12分）‎ ‎20. (本题满分12分)解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，‎ 平均收益率为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）（i）‎ 所以 ‎ ‎（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元， ‎ 当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元. ‎ ‎21.解：（Ⅰ）取AD的中点为O，连接PO，CO，‎ ‎∵△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD．‎ 底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，‎ ‎∴CO⊥AD，…（1分）‎ ‎∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC，…（2分）‎ PC⊂平面POC，AD⊥PC．…（3分）‎ 又AD∥BC，所以BC⊥PC．…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD，…（5分）‎ OP，OD，OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30°，即∠CPO=30°‎ 由AD=2，知，得CO=1．…（6分）‎ 分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，‎ 则，，，…（7分）‎ 设平面PBC的法向量为．‎ ‎∴．则，…（8分）‎ 设平面PDC的法向量为=（x，y，z）．‎ ‎∴．则，…（9分）‎ ‎=，…（11分）‎ ‎∴由图可知二面角B﹣PC﹣D的余弦值．…（12分）‎ ‎22.【解答】解：（1）由题意可得：a=2，设P点坐标为（x，y），则kAP=，kBP=，‎ 由kAP•kBP=﹣，则×=﹣，整理得：，‎ ‎∴a=2，b=1，c=，则椭圆的离心率e==；‎ ‎（2）证明：设直线MN的方程为：y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 联立直线MN和椭圆方程：，整理得：（4k2+1）x2+8ktx+4t2﹣4=0，‎ 由韦达定理可得：x1+x2=﹣，x1x2=，…6分 因为kOM•kON=﹣，则•=﹣，整理得：4y1y2+x1x2=0，即（4k2+1）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，‎ ‎（4k2+1）（）+4kt（﹣）+4t2=0，化简得：2t2﹣4k2=1，…8分 丨MN丨==2，…10分，设O到MN距离为d，则d=，‎ ‎∴△MON的面积S=×d×丨MN丨=××2=×=1，‎ ‎∴△MON的面积为定值1．‎