高中数学选修第2章2_3_2同步练习

高中数学选修第2章2_3_2同步练习

高中数学人教A版选2-1 同步练习 过双曲线x2－y2＝4的焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于A，B两点，则AB的长为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．4‎ C．8 D．4 解析：选B.双曲线x2－y2＝4的焦点为(±2，0)，把x＝2代入并解得y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.‎ (2012·菏泽质检)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为(　　)‎ A．x2－y2＝1 B．x2－y2＝2‎ C．x2－y2＝ D．x2－y2＝ 解析：选B.由已知c＝2，‎ ‎∴a＝b＝c＝，‎ 所以双曲线的标准方程是：－＝1.‎ 若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是__________．‎ 解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，‎ 得m＝3，c＝，且焦点在x轴上．‎ 答案：(±，0)‎ 已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．‎ 解析：椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，故c＝4，且满足＝2，故a＝2，b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.‎ 答案：(4，0)，(－4，0)　y＝±x ‎[A级　基础达标]‎ 双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　)‎ A．y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选C.把方程右边的“3”换为“0”，即得渐近线方程为y＝±x.‎ (2012·岳阳质检)等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则其标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选D.因等轴双曲线的焦点为(－6，0)，∴c＝6，‎ ‎∴‎2a2＝36，a2＝18.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)‎ A．－ B．－4‎ C．4 D. 解析：选A.由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，a＝1，‎ 又虚轴长是实轴长的2倍，‎ ‎∴b＝2，∴－＝b2＝4，‎ ‎∴m＝－，故选A.‎ 若双曲线＋＝1的离心率为2，则k＝__________．‎ 解析：∵＋＝1是双曲线，‎ ‎∴k＋4<0.∴k<－4.‎ ‎∴a2＝9，b2＝－(k＋4)．‎ ‎∴c2＝a2＋b2＝9－k－4＝5－k.‎ ‎∴＝＝2.∴5－k＝36.∴k＝－31.‎ 答案：－31‎ 双曲线以椭圆＋＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的方程为__________．‎ 解析：椭圆中a＝5，b＝3，c＝＝4，‎ ‎∴焦点为(0，－4)，(0，4)，离心率e＝＝.‎ ‎∴所求双曲线的离心率为，焦点为(0，－4)，(0，4)．‎ ‎∴c′＝4，e′＝＝.∴a′＝.‎ ‎∴(b′)2＝(c′)2－(a′)2＝16－＝.‎ ‎∴双曲线方程为－＝1.‎ 答案：－＝1‎ 根据下列条件求双曲线的标准方程：‎ ‎(1)经过点，且一条渐近线方程为4x＋3y＝0；‎ ‎(2)P(0，6)与两个焦点的连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.‎ 解：(1)因渐近线为4x＋3y＝0，‎ 故可设双曲线的方程为：‎ ‎16x2－9y2＝k，①‎ 将代入得：‎ k＝225－81＝144.‎ 代入①并整理得：‎ －＝1.‎ 故所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在x轴上，‎ ‎∵PF1⊥PF2，且|OP|＝6，‎ ‎∴‎2c＝|F‎1F2|＝2|OP|＝12，∴c＝6.‎ 又P与两顶点连线夹角为.‎ ‎∴a＝|OP|·tan＝2，‎ ‎∴b2＝c2－a2＝24.‎ 故所求双曲线的标准方程为 －＝1.‎ ‎[B级　能力提升]‎ 双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选A‎.2a＋2b＝·‎2c，即a＋b＝c，‎ ‎∴a2＋2ab＋b2＝2(a2＋b2)，‎ ‎∴(a－b)2＝0，即a＝b.‎ ‎∵一个顶点坐标为(0，2)，‎ ‎∴a2＝b2＝4，∴y2－x2＝4，即－＝1.‎ 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率e为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D. 解析：选D.依题意，‎2a＋‎2c＝2·2b，‎ ‎∴a2＋‎2ac＋c2＝4(c2－a2)，‎ 即‎3c2－‎2ac－‎5a2＝0，‎ ‎∴3e2－2e－5＝0，∴e＝或e＝－1(舍)．故选D.‎ 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为__________．‎ 解析：连接虚轴一个端点、一个焦点及原点构成三角形(图略)，由条件知，这个三角形的两直角边分别是b、c(b是虚半轴长，c是半焦距)，且一个内角是30°，即得＝tan 30°，所以c＝b.所以a＝b，离心率e＝＝＝.所以应填.‎ 答案： 双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，点P(3，4‎ ‎)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，试求双曲线方程与椭圆的方程．‎ 解：由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0，5)，‎ 可设椭圆方程为＋＝1(a2>25)；‎ 双曲线方程为－＝1(0

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