高考理科数学专题复习练习2.2函数的单调性与最值
第二章函数
2.2函数的单调性与最值
专题3
单调性的应用
■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,单调性的应用,填空题,理15)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是 .
解析:利用偶函数的性质求解.由题意可得不等式f(x-2)≥0即为f(|x-2|)≥f(1),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,则|x-2|≥1,解得x≤1或x≥3,故解集为(-∞,1]∪[3,+∞).
答案:(-∞,1]∪[3,+∞)
■(2015江西八所重点中学高三联考,单调性的应用,选择题,理10)定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2(x1≠x2)都有<0,且函数y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当1≤s≤4时,的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:利用数形结合思想求解.由定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2(x1≠x2)都有<0,得函数f(x)是R上的减函数,又由函数y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称,得y=f(x)的图象关于原点对称,即为奇函数.不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2)=f(t2-2t)⇔s2-2s≥t2-2t,|s-1|≥|t-1|,当1≤s≤4时,|t-1|≤s-1,1-s≤t-1≤s-1,点(s,t)对应的平面区域是以点(4,-2),(4,4)和(1,1)为顶点的三角形,则-≤u=≤1,所以=1-.故选D.
答案:D
2.3函数的奇偶性与周期性
专题2
奇偶性的应用
■(2015辽宁大连高三双基测试,奇偶性的应用,选择题,理7)已知函数f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=2x2-1,则f(1)的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:依题意得f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-1]=-1,故选B.
答案:B
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,奇偶性的应用,填空题,理14)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x∈(0,2]时,f(x)=2x+log2x,则f(2 015)= .
解析:因为f(x+4)=f(x),所以f(2015)=f(2016-1)=f(-1)=-f(1)=-(2+0)=-2.
答案:-2
■(2015银川一中高三二模,奇偶性的应用,填空题,理16)已知M=,N={b|方程3-|x-1|-b+1=0有实数解},设D=M∩N,且定义在R上的奇函数f(x)=在D内没有最小值,则m的取值范围是 .
解析:依题意,由f(x)=2sinax在上是增函数得解得0
.
答案:m>
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,奇偶性的应用,填空题,理16)若关于x的函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
解析:依题意,f(x)==t+;因为y=为奇函数,故y=最大值与最小值之和为0,故M+N=0+2t=4,解得t=2.
答案:2
■(2015东北三省三校高三二模,奇偶性的应用,选择题,理10)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+1)是偶函数,当x∈(2,4)时,f(x)=|x-3|,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=( )
A.1 B.0 C.2 D.-2
解析:由f(x+1)是偶函数,得f(-x+1)=f(x+1),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x+1)=-f(x-1),即-f(x-1)=f(x+1),f(x+2)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-f(3),即f(1)+f(3)=0,f(2)=-f(4),即f(2)+f(4)=0,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故选B.
答案:B
2.5对数与对数函数
专题3
对数函数的性质及应用
■(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,对数函数的性质及应用,选择题,理4)函数y=lg(x2-2x+a)的值域不可能是( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.[1,+∞) D.R
解析:令u=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,当a=2时,y=lgu的值域为[0,+∞);当a=11时,y=lgu的值域为[1,+∞);当a-1≤0时,y=lgu的值域为R,因为u≥a-1,所以y→+∞,故值域不可能为(-∞,0],故选A.
答案:A
■(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,对数函数的性质及应用,选择题,理4)已知log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是( )
A. B.log2(a-b)>0
C.2a-b<1 D.
解析:因为log2a>log2b,故a>b>0,故.故选D.
答案:D
2.6幂函数与二次函数
专题1
幂函数的图象与性质
■(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,幂函数的图象与性质,选择题,理9)定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数:①对任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,则下列函数不是M函数的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x-1
C.f(x)=ln(x2+1) D.f(x)=x2+1
解析:利用排除法求解.函数f(x)=x2≥0,x∈[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1时,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-=2x1x2≥0,所以f(x)=x2是M函数,A选项正确;函数f(x)=2x-1≥0,x∈[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1时,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=+1=(-1)()≥0,所以f(x)=2x-1是M函数,B选项正确;函数f(x)=ln(x2+1)≥0,x∈[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1时,x1x2≤,所以[(x1+x2)2+1]-(+1)(+1)=x1x2(2-x1x2)≥0,则f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=ln[(x1+x2)2+1]-ln(+1)-ln(+1)=ln≥0,所以f(x)=ln(x2+1)是M函数,C选项正确;对于函数f(x)=x2+1,x1=x2=满足条件,此时f(x1+x2)=f(1)=20,f(x)是增函数,结合各图象可知D正确,故选D.
答案:D
■(2015银川一中高三二模,函数图象的辨识,选择题,理8)下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图象,则f(-1)=( )
A. B.- C. D.-
解析:依题意得f'(x)=x2+2ax+(a2-1),y=f'(x)的图象的开口方向向上,因此其图象只可能是第一或第三个;又a≠0,因此y=f'(x)的图象的对称轴为x=-a≠0不是y轴,因此y=f'(x)的图象只可能是第三个,由图可知解得a=-1,f(-1)=--1+1=-,故选B.
答案:B
专题3
函数图象的应用
■(2015银川二中高三一模,函数图象的应用,选择题,理11)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1.5)=-f(x),当x∈[0,3)时,f(x)=|(x-1)2-0.5|,记集合A={n|n是函数y=f(x)(-3≤x≤5.5)的图象与直线y=m(m∈R)的交点个数},则集合A的子集个数为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
解析:因为f(x+1.5)=-f(x),f(x+3)=-f(x+1.5),故f(x+3)=f(x),故T=3,作出函数f(x)的大致图象如图所示,观察可知集合A={0,6,12,9,3,2}.故集合A的子集个数为26=64,故选D.
答案:D
2.8函数与方程
专题2
函数零点、方程根的个数
■(2015银川高中教学质量检测,函数零点、方程根的个数,选择题,理12)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当0≤x≤2时,f(x)=min{2|x|-1,2-|x|},若方程f(x)-mx=0恰有两个根,则m的取值范围是( )
A.{-1,1}∪
B.
C.{-1,1}∪
D.
解析:利用数形结合求解,由题意可知,f(x)=且函数f(x)的最小正周期为4,方程f(x)-mx=0恰有两个根,即函数y=f(x),y=mx的图象恰有两个交点.当直线y=mx经过点(3,1)时,m=;当直线y=mx在x=0处与f(x)=2|x|-1相切时,m=ln2.经过点(1,1)时,m=1.由图象可得图象恰有两个交点时m的取值范围是m=±1或
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