四川省双流中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

四川省双流中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

四川省双流中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 直线x-y+1=0的倾斜角是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 在空间直角坐标系中，点P（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（　　）‎ A. B. C. 2, D. 2,‎ 3. 命题“对任意x∈R，都有x 2≥ln‎2”‎的否定为（　　）‎ A. 对任意,都有x  B. 不存在,都有x  C. 存在,使得x  D. 存在,使得x ‎ 4. 如果椭圆=1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（　　）‎ A. 10 B. ‎6 ‎C. 12 D. 14‎ 5. 方程x2+y2+2x-m=0表示一个圆，则m的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 6. 直线l：3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦AB的长是（　　）‎ A. 10 B. ‎5 ‎C. D. ‎ 7. 已知向量=（x-1，2），=（2，1），则⊥的充要条件是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 已知命题：p：函数y=x2-x-1有两个不同的零点：命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称．在下列四个命题中，真命题是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知椭圆的两个焦点是F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|-|PF2|=2，则△PF1F2的面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 11. 已知实数x，y满足方程x2+y2-8x+15=0．则x2+y2最大值为（　　）‎ A. 3 B. 5 C. 9 D. 25‎ 12. 焦点在x轴上的椭圆的离心率e=，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为（　　）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知椭圆C的标准方程为，则椭圆C的焦距为______．‎ 2. 若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是______ ．‎ 3. 已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥ex，命题q：“∃x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____．‎ 4. 已知F1，F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，且|+|=|-|，椭圆C的离心率为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 5. 已知椭圆C：4x2+9y2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率． ‎ 6. 已知直线l经过点P（-2，5），且斜率为- （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． ‎ 7. 已知点C（-1，-1），以C为圆心的圆与直线x-y-2=0相切． （1）求圆C的方程； （2）如果圆C上存在两点关于直线ax+by+3=0对称，求3a+3b的最小值． ‎ 8. 设函数y=lg（-x2+4x-3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B． （1）当m=2时，求A∩B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． ‎ 1. 已知A（4，0）、B（1，0），动点M满足|AM|=2|BM|． （1）求动点M的轨迹C的方程； （2）直线l：x+y=4，点N∈l，过N作轨迹C的切线，切点为T，求NT取最小时的切线方程． ‎ 2. 已知动点M到定点F1（-2，0）和F2（2，0）的距离之和为． （1）求动点M轨迹C的方程； （2）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，问k1+k2是否为定值？若是的求出这个值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：直线x-y+1=0的斜率k=1， 设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°）， ∴tanθ=1，得θ=45°． 故选：B． 由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解． 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：在空间直角坐标系中， 点P（1，2，3）关于yOz平面对称的点的坐标为（-1，2，3）． 故选：C． 在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）关于yOz平面对称的点的坐标为（-x，y，z）． 本题考查点的坐标的求法，考查空间直角坐标系中对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在x∈R，使得x 2＜ln2， 故选：D． 根据全称命题的否定是特称命题进行判断． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=20， ∵|PF1|=6，∴|PF2|=14． 故选：D． 根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，利用|PF1|=6，可求|PF2| 本题给出椭圆上一点到一个焦点的距离，求它到另一个焦点的距离．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】方程x2+y2+2x-m=0， 配方得：（x+1）2+y2=m+1， 因为方程表示一个圆，所以m+1＞0， 从而：m＞-1， 故选：A． 把方程配方成圆的标准方程，利用半径大于零，即可得到不等式． 主要考察二元二次方程表示圆的条件，一般通过配方，利用半径大于零即可解题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：将圆的方程x2+y2-2x-4y=0化为标准方程，得（x-1）2+（y-2）2=5 ∴圆心坐标为（1，2），半径r=． ∴圆心到直线的距离d==‎ ‎． 弦AB的长|AB|=2=． 故选：C． 将圆的方程化为标准方程从而确定圆心和半径．根据直线与圆截得的弦长公式求出弦AB的长． 本题考查直线与圆相交的性质，以及弦长公式的应用．属于中档题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为向量=（x-1，2），=（2，1），⊥， 所以2（x-1）+2=0，解得x=0． 故选D． 直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可． 本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设左右焦点为F1、F2，上顶点为A，正方形边长=2， ∴|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b=， 则椭圆E的标准方程为：． 故选：C． 用正方形边长为2，得|AF1|=|AF2|=a=2，|F1F2|=2，c=b即可 本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，属于基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：∵方程x2-x-1=0的判别式△=5＞0，∴函数y=x2-x-1有两个不同的零点，故p为真命题； 命题q：函数y=cosx的图象关于直线x=对称，q为假命题； 故￢p为假，￢q为真； A（￢p）∨q为假； B，p∧q为假； C，（￢p）∧（￢q）为假； D，（￢p）∨（￢q）为真； 故选：D． 由判别式法判定p为真命题，利用三角函数的图象和性质判定命题q是假命题，进一步求出复合命题的真假即可． 本题考查复合命题的真假判断，同时考查函数零点的判定及三角函数的图象与性质，是基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，考查计算能力，属于中档题． ​利用椭圆的定义，求得|PF1|=3，|PF2|=1，则△PF2F1是直角三角形，即可求得△PF1F2的面积． 【解答】 解：∵椭圆，焦点在x轴上，则a=2，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=4，丨F1F2丨=2c=2， ∵|PF1|-|PF2|=2，可得|PF1|=3，|PF2|=1， 由12+（2）2=9， ∴△PF2F1是直角三角形， △PF1F2的面积|PF2|×|F1F2|=×1×2=． 故选：D． ‎ ‎11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：x2+y2-8x+15=0，即为（x-4）2+y2=1， 可得上式方程表示以C（4，0）为圆心，1为半径的圆， x2+y2=（）2表示点（x，y）与原点的距离的平方， 由圆的性质可得圆上的点与原点的距离的最大值为|OC|+1=4+1=5， 则则x2+y2的最大值为25． 故选：D． 由配方可得原方程表示以C（4，0）为圆心，1为半径的圆，x2+y2=（）2表示点（x，y）与原点的距离的平方，由圆的性质可得所求最大值为（|OC|+1）2． 本题考查圆的方程和应用，注意运用两点的距离公式和圆的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：椭圆焦点在x轴，所以a=2，A（2，0）， 由离心率e==，c=1，所以b=，F（-1，0） 设P（x，y），则=（2-x，-y），=（-1-x，-y）， 则=（2-x）（-1-x）+y2，因为，代入化简得 ==，又x∈[-2，2]， 当x=-2时，的最大值为4． 故选：A． 由椭圆焦点在x轴，得a=2，A（2，0），由离心率公式求出c，再求出b，利用坐标法求出为二次函数，配方法，利用x的范围求出最值． 考查椭圆的定义，离心率公式，向量坐标运算，配方法求最值，属于中档题． 13.【答案】10 ‎ ‎【解析】解：已知椭圆C的标准方程为， a2=49，b2=24，所以c2=a2-b2=49-24=25，所以c=5， 所以椭圆C的焦距为2c=10， 故答案为：10 由椭圆C的标准方程为，a2=49，b2=24，求出c=5，所以椭圆C的焦距为2c=10． 考查椭圆的定义，a，b，c的关系，焦距的计算，基础题． 14.【答案】x-y+2=0 ‎ ‎【解析】解：由于两个圆的圆心分别为O（0，0）、C（-2，2）， 由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线， 求得CO的中点为（-1，1），CO的斜率为-1，故直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程为 x-y+2=0， 故答案为：x-y+2=0． 由题意可得直线l即为两个圆的圆心连接成的线段的中垂线，求得CO的中点为（-1，1），CO的斜率为-1，可得直线l的斜率为1，利用点斜式求得直线l的方程 本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，利用点斜式求直线的方程，属于中档题． 15.【答案】e≤a≤4 ‎ ‎【解析】解：对于命题p：∀x∈[0，1]，a≥ex，∴a≥（ex）max，x∈[0，1]，∵ex在x∈[0，1]上单调递增， ∴当x=1时，ex取得最大值e， ‎ ‎∴a≥e． 对于命题q：∃x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42-4a≥0，解得a≤4． 若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题， ∴e≤a≤4． 故答案为：e≤a≤4． 对于命题p：利用ex在x∈[0，1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可． 本题考查了指数函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了计算能力与推理能力，属于基础题． 16.【答案】-1 ‎ ‎【解析】解：不妨设M在第一象限，由|两边平方化简得：， Rt△MF1F2中，∠MF2F1=60°，MF1=2c，MF2=2csin30°=c， 由MF1+MF2=2a，（+1）c=2a， 所以， 故答案为：． 由|两边平方化简得：，Rt△MF1F2中，求出MF1，MF2，再利用椭圆的性质求出a，c的关系，求出离心率即可． 考查了向量的数量积，椭圆的定义，离心率的求法，属于中档题． 17.【答案】解：（1）椭圆C：4x2+9y2=36的标准方程为：， 所以a=3，b=2，c=， 所以椭圆的长轴长2a=6，焦点坐标（-，0），（，0）， 离心率e=． ‎ ‎【解析】写出椭圆的标准方程，求出a，b，c，代入求出长轴长，焦点坐标和离心率． 考查椭圆的标准方程，椭圆的定义，及其离心率公式，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由点斜式写出直线l的方程为 y-5=-（x+2），化简为  3x+4y-14=0． （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0， 由点到直线的距离公式，得，即， 解得c=1或c=-29，故所求直线方程 3x+4y+1=0，或 3x+4y-29=0． ‎ ‎【解析】（1）由点斜式写出直线l的方程为 y-5=-（x+2），化为一般式． （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c=0，由点到直线的距离公式求得待定系数c 值，即得所求直线方程． 本题考查用点斜式求直线方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键． 19.【答案】解：（1）点C（-1，-1），以C为圆心的圆的方程设为（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）， 由圆C与直线x-y-2=0相切，可得r==， 则圆C的方程为（x+1）2+（y+1）2=2； （2）如果圆C上存在两点关于直线ax+by+3=0对称， 可得直线ax+by+3=0经过C（-1，-1），即有a+b=3， 可得3a+3b≥2=2=2=6． 当且仅当a=b=时，3a+3b取得最小值6． ‎ ‎【解析】（1）以C为圆心的圆的方程设为（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），由直线和圆相切的条件：d=r，（d为圆心到直线的距离），即可得到所求圆的方程； （2）由题意可得直线ax+by+3=0经过C，再由指数函数的值域和基本不等式，即可得到所求最小值． 本题考查圆的方程和应用，考查直线和圆相切的条件和基本不等式的应用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 20.【答案】解：（1）由-x2+4x-3＞0，解得：1＜x＜3，∴A=（1，3）， 又函数y=在区间（0，m）上单调递减， ∴y∈（，2），即B=（，2）， 当m=2时，B=（，2），∴A∩B=（1，2）； （2）首先要求m＞0， 而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， ∴B⊊A，即（，2）⊊（1，3）， 从而≥1，解得：0＜m≤1． ‎ ‎【解析】（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得不等式解出即可． 本题考查了充分必要条件，是一道基础题． 21.【答案】解：（1）已知A（4，0）、B（1，0），动点M满足|AM|=2|BM|． 设点M（x，y）， 所以，整理得x2+y2=4． （2）由于NT为圆的切线，所以连接ON和OT，在直角三角形OTN中，|NT|2=|ON|2-|OT|2，又有|OT|=r=2为定值． 所以当|ON|取最小值时，|NT|取最小值． |ON|的最小值为圆心（0，0）到直线x+y=4的距离． 所以|NT|的最小值为2． 此时ON与直线x+y=4垂直，且过原点， 所以直线ON的直线方程为y=x． 联立x+y=4和y=x，解得N（2，2）． 即过点N（2，2）做圆的切线，求出切线的方程． ①当直线的斜率存在时，y-2=k（x-2）， 由圆心到直线的距离， 解得k=-，即切线的方程为x+2y-6=0． ②直线的斜率不存在时，x=2，满足题意． 故当|NT|取最小值时切线的方程为x=2或x+2y-6=0． ‎ ‎【解析】（1）直接利用两点间的距离公式的应用求出曲线的方程． （2）利用直线与圆的切线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论思想的求出直线的方程． 本题考查的知识要点：曲线的方程的求法和应用，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 22.【答案】解：（1）由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以为长轴长的椭圆． 由，得b=2． 故曲线C的方程为．  （2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1‎ ‎）， 由， 得（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0．  设A（x1，y1），B（x2，y2），，． 从而．  当直线l的斜率不存在时，得， 得k1+k2=4． 综上，恒有k1+k2=4． ‎ ‎【解析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得M的轨迹是以F1、F2为焦点，以为长轴长的椭圆，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案； （2）根据题意，分2种情况讨论：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系分析可得k1+k2的值，当直线l的斜率不存在时，求出A、B的坐标，计算可得k1+k2的值，综合即可得答案． 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，（2）中注意讨论直线的斜率是否存在． ‎