陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题

陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高二上学期月考数学（文）试题

汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考 数学试题（文科） （满分：150 分； 完卷时间：120 分钟） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.已知集合 { | 2}A x N x   ， { 1,1}B   ，则 A B  ( ) .{ 1,0,1,2}A  .{ 1,1,2}B  .{1}C .{0,1,2}D 2.命题“对任意的 xR ,都有 3 22 3 1 0x x x    ”的否定是( ) A.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    B.存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    C.不存在 xR ,使 3 22 3 1 0x x x    D.对任意的 xR ,都有 3 22 3 1 0x x x    3. 已知两个随机变量 ,x y 之间的相关关系如表所示：根据上述数据得到的回归方程为 y bx a  ，则大致可以判断( ) . 0, 0A a b  . 0, 0B a b  . 0, 0C a b  . 0, 0D a b  4.已知 ,  是两个不同的平面， ,m n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若 ,m m ⫋  ，则  ； ②若 ,m n m   ，则 / /n  ； ③若 , / /m n m   ，且 n ⊈  ， n ⊈  ，则 / /n  且 / /n  ； ④若 / / ,m    ，则 m  ．其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x -4 -2 1 2 4 y -5 -3 -1 -0.5 1 5.条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常 见的条形码是“ 13EAN  ”通用代码，它是由从左到右排列的13 个数字（用 1a ， 2a ，…， 13a 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中 13a 是校验 码，用来校验前12 个数字代码的正确性．图（1）是 计算第13位校 验码的程序框图，框图中符号 m 表示不超过 m 的最 大整数（例如  365.7 365 ）．现有一条形码如图（2）所示 （ 397 7107202551a ），其中第 3 个数被污损，那么这 个被污损数字 3a 是( ) A．9 B．8 C． 7 D．6 6.将函数 xxf sin)(  的图象向右平移 10  个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是( ) A． )102sin()(  xxf B． )52sin()(  xxf C． )102sin()(  xxf D． )202sin()(  xxf 7.函数 || ||ln x xxy  的图象大致是( ) A. B. C. D. 8.设 log 2 log 2 0a b  ，则( ) .0 1A a b   .0 1B b a   . 1C a b  . 1D b a  9.已知非零向量 ,a b   满足| | 2 | |a b  ，且 ( )a b b    ，则 a  与 b  的夹角为( ) . 6A  . 3B  2. 3C  5. 6D  10.如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球 1 2,O O ，这两个球相外切，且球 1O 与正方 体共顶点 A 的三个面相切，球 2O 与正方体共顶点 1B 的三个面相切，则两球在正方体的面 1 1AAC C 上的正投影是( ) A. B． C． D． 11.已知圆 C：(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-a,1),B(a,-1),且 a>0，若圆 C 上存在点 P，使得 ∠APB=90°，则 a 的最大值为( ) A.6 B. 35 C. 2 6 D.5 12.已知函数    2 2 , 2, 2 , 2, x x f x x x       函数    2g x b f x   ，其中b R ，若函数    y f x g x  恰有 4 个零点，则b 的取值范围是( ) A. 7 ,4     B. 7, 4     C. 70, 4      D. 7 ,24      二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案写在答题卡上） 13.在不等式组       0 02 01 y yx yx ，所表示的平面区域内随机地取一点 P，则点 P 恰好落在第二象 限的概率为 . 14.已知 1x  ，求 1( ) 1f x x x    的最小值为 . 15.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝btanA，且 B 为钝角，则 sinA＋sinC 的取值范围为 . 16.作边长为 6 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内 切圆.如此下去，第 n 个内切圆的半径为 na . 于是前 n 个内切圆的面积和为 nS = . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(10 分)已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26. (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)设 cn＝ 1 2 nnaa ，n∈N*，求证：数列{cn}的前 n 项和 Tn .3 1 18.(12 分)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC 为折痕将△ACM 折 起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA. (1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝2 3 DA， 求三棱锥 Q－ABP 的体积． 19.(12 分)已知函数 f(x)＝cos2x＋ 3sin(π－x)cos(π＋x)－1 2 . (1)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间； (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，bsinC＝ asinA，求△ABC 的面积. 20.(12 分)2017 年两会继续关注了乡村教师的问题,随着城乡发展失衡,乡村教师待遇得不到 保障,流失现象严重,教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题,为此,某市今年要为某所乡村 中学招聘储备未来三年的教师,现在每招聘一名教师需要 2 万元,若三年后教师严重短缺时再 招聘,由于各种因素,则每招聘一名教师需要 5 万元,已知现在该乡村中学无多余教师,为决策 应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市 100 所乡村中学在过去三年内的教师流失数,得到如下 的柱状图：记 x 表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数,y 表示一所乡村中学未来四年 内在招聘教师上所需的费用(单位：万元)，n 表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡 村孩子教育不受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘. （1）若 19n  ，求 y 与 x 的函数解析式； （2）假设今年该市为这 100 所乡村中学的每一所都招聘了 19 个教师或 20 个教师，分别计算 该市未来四年内为这 100 所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年 该乡村中学应招聘 19 名还是 20 名教师? 21.(12 分)圆 C 的半径为 3,圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,x 轴被圆 C 截得的弦长为 52 . (1)求圆 C 的方程； (2)是否存在斜率为 1 的直线 l，使得以 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在，求 出 l 的方程；若不存在，说明理由. 22.(12 分)已知函数 2( ) 2 1g x x ax   ，其对称轴为 1x  ，设 ( )( ) g xf x x  (1)求 ( )f x 的解析式； (2)若不等式 (ln ) lnf x m x ≥0 在区间(1，e2]上恒成立，求实数 m 的取值范围. 汉中市龙岗学校 2021 届高二第一学期第二次月考 文科答案及评分细则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A D C B C B B B B B D 13. ; 14. 3 ; 15. ; 16. . 16. 解析，作边长为 a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角 形的内切圆.如此下去，第 n 个内切圆的半径为 这是一个以 为首项， 为 公 比 的 等 比 数 列 . 于 是 前 n 个 内 切 圆 的 面 积 和 为 . 三、解答题 17. 解 (1)设等差数列的公差为 d，则由题意可得 a1＋2d＝7， 2a1＋10d＝26，解得 a1＝3， d＝2。 所 以 an ＝ 3 ＋ 2(n － 1) ＝ 2n ＋ 1 。 --------------------------------------------------------------------4 分 (2) 因 为 cn ＝ ＝ ， -----------------------------7 分 所以 cn＝ 所以 Tn＝ 1 2n＋3＝ 1 2n＋3 。------------------------10 分 18. (1)证明 由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，AC∩AD＝A，AC，AD 平面 ACD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB 平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.------------------------------------5 分 (2)解 由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝AM＝3.又 BP＝DQ＝ 2 3DA， 所以 BP＝2.作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE= 1 3DC.由已知及(1)可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1.因此，三棱锥 Q－ABP 的体积为 VQ－ABP＝ 1 3×QE×S△ABP＝ 1 3×1× 1 2×3×2sin 45°＝ 1.--------------------12 分 19. 解 (1)f(x) ＝ cos2x － sinxcosx － 1 2 ＝ 1＋cos2x 2 － 3 2 sin2x － 1 2 ＝ － sin π 6 ， --------------------------------2 分 由 2kπ － π 2 ≤2x － π 6 ≤2kπ ＋ π 2 ， k ∈ Z ， 得 kπ － π 6 ≤x≤kπ ＋ π 3 ， k ∈ Z ， -------------------------------------------------4 分 又 x ∈ [0 ， π] ， 所 以 函 数 f(x) 在 [0 ， π] 上 的 单 调 递 减 区 间 为 π 3 和 5π ，π 。 --------------------------6 分 (2)由(1)知 f(x)＝－sin π 6 ，所以 f(A)＝－sin π 6 ＝－1， 因为△ABC 为锐角三角形，所以 019 时,y=38+5(x−19)=5x−57 万，所以 y 与 x 的函数解析式为 ---------5 分 （2）解:若每所乡村中学在今年都招聘 19 名教师,则未来四年内这 100 所乡村中学中有 70 所 在招聘教师上费用为 38 万元,20 所的费用为 43 万元,10 所的费用为 4 8 万元,因此这 100 所 乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为 ×(3 8×70+4 3×20+4 8×10)=4 0 万元。----------------------------------------------8 分 若每所乡村中学在今年都招聘 20 名教师,则这 100 所乡村中学中有 90 所在招聘师上的费用为 4 0 万元,10 所的费用为 4 5 万元,因此未来四年内这 100 所乡村中学在招聘教师上所需费用 的 平 均 数 为 ×(4 0×90+4 5×10)=4 0.5 万 元 。 -------------------------------------------------------------------------------- -------11 分 比 较 两 个 平 均 数 可 知 ， 今 年 应 为 该 乡 村 中 学 招 聘 19 名 教 师 。 ------------------------------------------------------12 分 21. 【解析】因为圆心 C 在直线 2x+y=0 上且在 x 轴下方,所以设 C(m,-2m),m>0, 则 已 知 可 得 (2m)2+( )2=32, 解 得 m=1 ， 故 圆 C 的 方 程 是 (x-1)2+(y+2)2=9.---------------------------------4 分 (2)设直线 l 的方程为 y=x+b, 由 得 2x2+(2b+2)x+(b2+4b-4)=0,------------------------ ---------------------------6 分 要使方程有两个相异实根,则Δ=(2+2b)2 - 4×2(b2+4b-4)>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 .----------------------------------------------- ------8 分 以 AB 为 直 径 的 圆 过 原 点 , 则 OA ⊥ OB, 即 x1x2+y1y2=0.-------------------------------------------------------------9 分 由 y1=x1+b,y2=x2+b,代入 x1x2+y1y2=0,得 2x1x2+(x1+x2)·b+b2=0, 即 有 b2+3b-4=0, 解 得 b=-4,b=1.----------------------------------------------------------------------- ------------------11 分 故 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 且 方 程 为 y=x-4 或 y=x+1.-------------------------- ---------------------------------12 分 22.解(1) 函数 的对称轴为 ， 所以 ，---------------------------------------------------------------------2 分 所以 ---------------------------------4 分 .所以 ----------------5 分 (2) 即 --------------------------------------------------------- -------------------------6 分 又 ，所以 ----------------------------------------------------------------------7 分 则 ------------------------------------------------- ---------------------10 分 因为 ， -------------------------------------------------------------------------------- --------------11 分 所以实数 的取值范围是 .-----------------------------------------------------------12 分