2019届二轮复习第11练　数　列[小题提速练]课件（50张）（全国通用）

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第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 11 练　数　列 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和 . 2 . 题目难度：选择题中等偏下，填空题中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　等差数列与等比数列 要点重组 　 (1) 在等差数列中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q . 核心考点突破练 (3) 在等差数列 { a n } 中， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 也成等差数列 . (4) 在等比数列中，若 m ＋ n ＝ p ＋ q ( m ， n ， p ， q ∈ N * ) ，则 a m · a n ＝ a p · a q . (5) 在等比数列中， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n 也成等比数列 ( n 为偶数且 q ＝－ 1 除外 ). 解析　 设等差数列 { a n } 的公差为 d ，由 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， 1.(2018· 全国 Ⅰ ) 记 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 3 S 3 ＝ S 2 ＋ S 4 ， a 1 ＝ 2 ，则 a 5 等于 A. － 12 B . － 10 C.10 D.12 √ 将 a 1 ＝ 2 代入上式，解得 d ＝－ 3 ， 故 a 5 ＝ a 1 ＋ (5 － 1) d ＝ 2 ＋ 4 × ( － 3) ＝－ 10. 故选 B. 答案 解析 2. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， a 9 ＝ 1 ， S 18 ＝ 0 ，当 S n 取最大值时 n 的值为 A.7 　　　　 B.8 　　　　 C.9 　　　　 D.10 √ 答案 解析 解析　 方法一　设公差为 d ， 解得 a 1 ＝ 17 ， d ＝－ 2 ， 所以 S n ＝ 17 n － n ( n － 1) ＝－ n 2 ＋ 18 n ， 当 n ＝ 9 时， S n 取最大值，故选 C. 所以 a 1 ＋ a 18 ＝ a 9 ＋ a 10 ＝ 0 ，所以 a 10 ＝－ 1 ， 即数列 { a n } 中前 9 项为正值，从第 10 项开始为负值， 故其前 9 项之和最大 . 故选 C. 3. 在数列 { a n } 中，若 a 1 ＝ 2 ，且对任意正整数 m ， k ，总有 a m ＋ k ＝ a m ＋ a k ，则 { a n } 的前 n 项和 S n 等于 解析　 依题意得 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ a 1 ，即有 a n ＋ 1 － a n ＝ a 1 ＝ 2 ， 所以数列 { a n } 是以 2 为首项、 2 为公差的等差数列， √ 答案 解析 4. 设 { a n } 是公比为 q 的等比数列， | q |>1 ，令 b n ＝ a n ＋ 1( n ＝ 1 ， 2 ， … ) ，若数列 { b n } 有连续四项在集合 { － 53 ，－ 23 ， 19 ， 37 ， 82} 中，则 6 q ＝ _____. 解析　 由题意知 ， 数列 { b n } 有连续四项在集合 { － 53 ， － 23 ， 19 ， 37 ， 82} 中 ， 说明 { a n } 有连续四项在集合 { － 54 ，－ 24 ， 18 ， 36 ， 81} 中， 由于 { a n } 中连续四项至少有一项为负， ∴ q <0 ， 又 ∵ | q |>1 ， ∴ { a n } 的连续四项为－ 24 ， 36 ，－ 54 ， 81 ， 答案 解析 － 9 考点二　数列的通项与求和 方法技巧 　 (1) 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解 . √ 答案 解析 答案 解析 √ 解析　 ∵ 数列 { a n } 满足 a 1 a 2 a 3 … a n ＝ ( n ∈ N * ) ， ∴ 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 ； 当 n ≥ 2 时， a 1 a 2 a 3 … a n － 1 ＝ 2 ( n － 1)2 ，可得 a n ＝ 2 2 n － 1 ， n ≥ 2 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 2 满足上式， 7.(2018· 全国 Ⅰ ) 记 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 . 若 S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，则 S 6 ＝ ___ _ _. 解析　 ∵ S n ＝ 2 a n ＋ 1 ，当 n ≥ 2 时， S n － 1 ＝ 2 a n － 1 ＋ 1 ， ∴ a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 a n － 2 a n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 a n ＝ 2 a n － 1 ( n ≥ 2). 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 a 1 ＋ 1 ，得 a 1 ＝－ 1. ∴ 数列 { a n } 是首项 a 1 ＝－ 1 ，公比 q ＝ 2 的等比数列， － 63 ∴ S 6 ＝ 1 － 2 6 ＝－ 63. 答案 解析 答案 解析 考点三　数列的综合应用 方法技巧 　 (1) 以函数为背景的数列问题、可以利用函数的性质等确定数列的通项 a n 、前 n 项和 S n 的关系 . (2) 和不等式有关的数列问题，可以利用不等式的性质、基本不等式、函数的单调性等求最值来解决 . √ 答案 解析 解析　 因为 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax ， 所以 f ′ ( x ) ＝ 2 x ＋ a ， 又函 数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ ax 的图象在点 A (0 ， f (0) ) 处的切线 l 与直线 2 x － y ＋ 2 ＝ 0 平行 ， 所以 f ′ (0) ＝ a ＝ 2 ，所以 f ( x ) ＝ x 2 ＋ 2 x ， 10. 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ bn ＋ c ，等比数列 { b n } 的前 n 项和 T n ＝ 3 n ＋ d ，则向量 a ＝ ( c ， d ) 的模为 A.1 B . C. D . 无法确定 解析　 由等差数列与等比数列的前 n 项和公式知， c ＝ 0 ， d ＝－ 1 ， 所以向量 a ＝ ( c ， d ) 的模为 1. 答案 解析 √ 答案 解析 11. 设等比数列 { a n } 满足 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ 5 ，则 a 1 a 2 … a n 的最大值为 ____. 64 解析　 由已知 a 1 ＋ a 3 ＝ 10 ， a 2 ＋ a 4 ＝ a 1 q ＋ a 3 q ＝ 5 ， 方法一　 ∴ a 2 ＝ 4 ， a 3 ＝ 2 ， a 4 ＝ 1 ， ∴ a 1 a 2 a 3 ＝ a 1 a 2 a 3 a 4 ， ∴ a 1 a 2 … a n 的最大值为 64. 又 n ∈ N * ，所以当 n ＝ 3 或 4 时， a 1 a 2 … a n 取最大值 2 6 ＝ 64. 12. 已知函数 f ( x ) ＝ 3| x ＋ 5| － 2| x ＋ 2| ，数列 { a n } 满足 a 1 < － 2 ， a n ＋ 1 ＝ f ( a n ) ， n ∈ N * . 若要使数列 { a n } 成等差数列， 则 a 1 的取值集合为 ___________ _ _______. 答案 解析 所以若数列 { a n } 成等差数列， 则当 a 1 为直线 y ＝ x ＋ 11 与直线 y ＝－ x － 11 的交点的横坐标， 即 a 1 ＝－ 11 时，数列 { a n } 是以－ 11 为首项， 11 为公差的等差数列； 当 f ( a 1 ) ＝ a 1 ，即 5 a 1 ＋ 19 ＝ a 1 或－ a 1 － 11 ＝ a 1 ， 1. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ 2 ，当整数 n ＞ 1 时， S n ＋ 1 ＋ S n － 1 ＝ 2( S n ＋ S 1 ) 都成立，则 S 15 等于 A.210 　　　 B.211 　　　 C.224 　　　 D.225 易错易混专项练 √ 解析　 当 n ＞ 1 时， S n ＋ 1 － S n ＝ S n － S n － 1 ＋ 2 ， ∴ a n ＋ 1 ＝ a n ＋ 2 ， n ≥ 2 ， ∴ a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， n ≥ 2. ∴ 数列 { a n } 从第二项开始组成公差为 2 的等差数列， 答案 解析 2. 已知数列 { a n } 满足： a n ＋ 1 ＝ a n (1 － 2 a n ＋ 1 ) ， a 1 ＝ 1 ，数列 { b n } 满足： b n ＝ a n · a n ＋ 1 ，则数列 { b n } 的前 2 017 项的和 S 2 017 ＝ _______. 答案 解析 答案 解析 解析　 由题意，得 a 2 － a 1 ＝ 2 ， a 3 － a 2 ＝ 4 ， … ， a n － a n － 1 ＝ 2( n － 1) ， n ≥ 2 ， 累加整理可得 a n ＝ n 2 － n ＋ 33 ， n ≥ 2 ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 33 也满足， 解题秘籍 　 (1) 利用 a n ＝ S n － S n － 1 寻找数列的关系，一定要注意 n ≥ 2 这个条件 . (2) 数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件 . 高考押题冲刺练 1. 等差数列 { a n } 的首项为 1 ，公差不为 0. 若 a 2 ， a 3 ， a 6 成等比数列，则 { a n } 的前 6 项和为 A. － 24 　　　 B . － 3 　　　 C.3 　　　 D.8 √ 解得 d ＝－ 2. 解析　 由已知条件可得 a 1 ＝ 1 ， d ≠ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 A. － 2 　　　 B.8 　　　 C.10 　　　 D.14 √ 解析　 依题意得 a 1 ＋ a 3 ＝ 2 － a 2 ， 即 S 3 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＝ 2 ， 数列 S 3 ， S 6 － S 3 ， S 9 － S 6 成等比数列 ， 即 数列 2 ， 4 ， S 9 － S 6 成等比数列， 于是有 S 9 － S 6 ＝ 8 ，即 a 7 ＋ a 8 ＋ a 9 ＝ 8 ，故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 3. 已知数列 { a n } 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ， a 1 ＝－ 5 ，则 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ … ＋ | a 6 | 等于 A.9 　　　　 B.15 　　　　 C.18 　　　　 D.30 √ 解析　 由 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 可得数列 { a n } 是等差数列，公差 d ＝ 2 ， 又 a 1 ＝－ 5 ， 所以 a n ＝ 2 n － 7 ， 所以 | a 1 | ＋ | a 2 | ＋ | a 3 | ＋ | a 4 | ＋ | a 5 | ＋ | a 6 | ＝ 5 ＋ 3 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 18. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A.2 　　　　 B.3 　　　　 C.4 　　　　 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 5. 在等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2 ，前 n 项和为 S n ，若数列 { a n ＋ 1} 也是等比数列，则 S n 等于 A.2 n ＋ 1 － 2 B.3 n C.2 n D.3 n － 1 √ 解析　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 由于 { a n ＋ 1} 也是等比数列，所以 ( a 2 ＋ 1) 2 ＝ ( a 1 ＋ 1)( a 3 ＋ 1) ， 即 ＋ 2 a 2 ＋ 1 ＝ a 1 a 3 ＋ a 1 ＋ a 3 ＋ 1 ，即 2 a 2 ＝ a 1 ＋ a 3 ， 即 2 q ＝ 1 ＋ q 2 ，解得 q ＝ 1 ， 所以数列 { a n } 是常数列，所以 S n ＝ 2 n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 解析　 设 S 2 ＝ k ，则 S 4 ＝ 3 k ， 由数列 { a n } 为等比数列 ( 易知数列 { a n } 的公比 q ≠ － 1) ， 得 S 2 ， S 4 － S 2 ， S 6 － S 4 为等比数列， 又 S 2 ＝ k ， S 4 － S 2 ＝ 2 k ， ∴ S 6 － S 4 ＝ 4 k ， ∴ S 6 ＝ 7 k ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 7.(2018· 唐山模拟 ) 设 { a n } 是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2 n 项和与前 4 n 项和分别为 X ， Y ， Z ，则下列等式中恒成立的是 A.2 X ＋ Z ＝ 3 Y B.4 X ＋ Z ＝ 4 Y C.2 X ＋ 3 Z ＝ 7 Y D.8 X ＋ Z ＝ 6 Y 解析　 根据等差数列的性质 X ， Y － X ， S 3 n － Y ， Z － S 3 n 成等差数列， ∴ S 3 n ＝ 3 Y － 3 X ， 又 2( S 3 n － Y ) ＝ ( Y － X ) ＋ ( Z － S 3 n ) ， ∴ 4 Y － 6 X ＝ Y － X ＋ Z － 3 Y ＋ 3 X ， ∴ 8 X ＋ Z ＝ 6 Y . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 由 a n ＋ 1 ＝ a n ＋ n ＋ 1 ，得 a n ＋ 1 － a n ＝ n ＋ 1 ， 则 a 2 － a 1 ＝ 1 ＋ 1 ， a 3 － a 2 ＝ 2 ＋ 1 ， a 4 － a 3 ＝ 3 ＋ 1 ， … ， a n － a n － 1 ＝ ( n － 1) ＋ 1 ， n ≥ 2. 以上等式相加，得 a n － a 1 ＝ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ … ＋ ( n － 1) ＋ n － 1 ， n ≥ 2 ， 把 a 1 ＝ 1 代入上式得， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1 也满足， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 公差不为 0 的等差数列 { a n } 的部分 项 构成 等比数列，且 k 1 ＝ 1 ， k 2 ＝ 2 ， k 3 ＝ 6 ，则 k 4 ＝ ____. 解析　 根据题意可知，等差数列的 a 1 ， a 2 ， a 6 项成等比数列， 设等差数列的公差为 d ，则有 ( a 1 ＋ d ) 2 ＝ a 1 ( a 1 ＋ 5 d ) ， 解得 d ＝ 3 a 1 ，故 a 2 ＝ 4 a 1 ， a 6 ＝ 16 a 1 ， 所以 ＝ a 1 ＋ ( k 4 － 1)·(3 a 1 ) ＝ 64 a 1 ，解得 k 4 ＝ 22. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 22 10. 若 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，且 2 S n ＝ a n ＋ 1 a n ， a 1 ＝ 4 ，则数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ _____________ __ _. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 因为 2 S n ＝ a n ＋ 1 a n ， a 1 ＝ 4 ， 所以 n ＝ 1 时， 2 × 4 ＝ 4 a 2 ，解得 a 2 ＝ 2. n ≥ 2 时， 2 S n － 1 ＝ a n a n － 1 ， 可得 2 a n ＝ a n ＋ 1 a n － a n a n － 1 ， 所以 a n ＝ 0( 舍去 ) 或 a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 2. n ≥ 2 时， a n ＋ 1 － a n － 1 ＝ 2 ， 可得数列 { a n } 的奇数项与偶数项分别为等差数列 . 所以 a 2 k － 1 ＝ 4 ＋ 2( k － 1) ＝ 2 k ＋ 2 ， k ∈ N * ， a 2 k ＝ 2 ＋ 2( k － 1) ＝ 2 k ， k ∈ N * . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 古代数学著作《九章算术》有如下问题： “ 今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？ ” 意思是： “ 一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍 ， 已知她 5 天共织布 5 尺 ， 问这个女子每天分别织布多少 ？ ” 根 据 上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的 尺数为 ____. 解析　 设这个女子每天分别织布 a n 尺， 则数列 { a n } 是等比数列，公比 q ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 12. 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S n ＝ n 2 ＋ 2 n ， b n ＝ a n a n ＋ 1 cos[( n ＋ 1)π] ，数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ，若 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立，则实数 t 的取值范围是 ____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 ( － ∞ ，－ 5] 解析　 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3. n ≥ 2 ， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ n 2 ＋ 2 n － [( n － 1) 2 ＋ 2( n － 1)] ＝ 2 n ＋ 1. n ＝ 1 时也成立 ，所以 a n ＝ 2 n ＋ 1. 所以 b n ＝ a n a n ＋ 1 cos[( n ＋ 1)π] ＝ (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3)cos[( n ＋ 1)π] ， n 为奇数时， cos[( n ＋ 1)π] ＝ 1 ， n 为偶数时， cos[( n ＋ 1)π] ＝－ 1. 因此当 n 为奇数时， T n ＝ 3 × 5 － 5 × 7 ＋ 7 × 9 － 9 × 11 ＋ … ＋ (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立， 当 n 为偶数时， T n ＝ 3 × 5 － 5 × 7 ＋ 7 × 9 － 9 × 11 ＋ … － (2 n ＋ 1)(2 n ＋ 3) ＝－ 4 × (5 ＋ 9 ＋ 13 ＋ … ＋ 2 n ＋ 1) ＝－ 2 n 2 － 6 n . 因为 T n ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立， 所以 t ≤ － 5. 综上可得 t ≤ － 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 更多精彩内容请登录： www.91taoke.com