2014年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

2014年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

‎ 数 学 ‎ ‎ K单元 概率 ‎ K1　随事件的概率 ‎13．K1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．‎ ‎13. 　[解析] 甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P＝＝.‎ ‎13．K1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．‎ ‎13.　[解析] 2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P＝＝.‎ ‎14．K1[2014·浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．‎ ‎14.　[解析] 基本事件的总数为3×2＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P＝＝.‎ ‎19．K1[2014·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；‎ ‎(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．‎ ‎19．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得 P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.‎ 由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为 P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24.由频率估计概率得P(C)＝0.24.‎ ‎16．K1、K2[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．‎ ‎16．解：(1)由题意，(a，b，c)所有的可能为：‎ ‎(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，‎ 则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，‎ 所以P(A)＝＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，‎ 则事件B包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．‎ 所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝.‎ 因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.‎ K2　古典概型 ‎20．I2，K2[2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元)‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10 000‎ ‎(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；‎ ‎(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．‎ ‎20．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为 ＝‎ ‎6400(美元)．‎ 因为6400∈[4085，12 616)，‎ 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．‎ ‎(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：‎ ‎{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．‎ 设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”，‎ 则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个．‎ 所以所求概率为P(M)＝.‎ ‎12．K2[2014·广东卷] 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为________．‎ ‎12.　[解析] 所有事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中含有字母a的基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共4个，所以所求事件的概率是P＝＝.‎ ‎5．K2[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则(　　)‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3‎ C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2‎ ‎5．C　[解析] 掷出两枚骰子，它们向上的点数的所有可能情况如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎ 则p1＝，p2＝，p3＝.故p1a的选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，所以b>a的概率是＝.‎ ‎1．[2014·长沙联考] 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．‎ 现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时．‎ ‎(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率；‎ ‎(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率．‎ ‎1．解：(1)设“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D.‎ 由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝.‎ 又事件A，B，C，D互斥，‎ 所以P(A)＝1－－＝，‎ 所以甲的停车费为6元的概率为.‎ ‎(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个，所以所求概率为.‎ ‎3．[2014·常德期末] 空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：‎ 空气质 量指数 ‎0～35‎ ‎35～75‎ ‎75～115‎ ‎115～150‎ ‎150～250‎ ‎≥250‎ 空气质 量类别 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染 对某市空气质量指数进行一个月(30天)的监测，所得的条形统计图如图J171所示：‎ 图J171‎ ‎(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染)；‎ ‎(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2个数据所对应的空气质量类别不都是轻度污染的概率．‎ ‎3．解：(1)空气受到污染的概率P＝＋＋＝＝.‎ ‎(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2，3，1.‎ 设它们的数据依次为a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取2个数据的所有基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b3，c1)，共15种．‎ 设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A，则A中的基本事件数为12，‎ 所以P(A)＝＝，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为.‎ ‎4．[2014·衡阳模拟] 某工厂有25周岁以上(含25周岁)的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．加以统计，得到如图J172所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？‎ 图J172‎ 附表：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎4．解：(1)由已知得，样本中25周岁以上的工人有60名，25周岁以下的工人有40名，‎ 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上的工人有60×0.05＝3(名)，记为A1，A2，A3；‎ ‎25周岁以下的工人有40×0.05＝2(名)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种．‎ 其中，至少抽到一名25周岁以下的工人的可能的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共7种．故所求概率P＝.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，25周岁以上的生产能手有60×0.25＝15(名)，25周岁以下的生产能手有40×0.375＝15(名)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以K2＝＝‎ ＝≈1.79.‎ 因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”．‎