重庆市长寿中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市长寿中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 高一（上）数学半期考试试题 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求,再求得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查补集和交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.已知函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+3，则f（2）=（　　）‎ A. 2 B. 3 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+3，则f（2）=f（1+1），可求得结果．‎ ‎【详解】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=x2+2x+3， ‎ ‎∴f（2）=f（1+1）=12+2×1+3=6． ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎3.的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 函数f（x）=ex﹣是（0，+∞）上的增函数，再根据f（）=﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，可得f（）f（1）＜0，∴函数f（x）=ex﹣的零点所在的区间是（，1），故选B．‎ 点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.‎ ‎4.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.‎ ‎【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.‎ ‎5.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为，所以，故选A.‎ 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．‎ ‎6.函数f（x）=的大数图象为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；‎ 又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数的定义域为,则函数的定义域为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域得到，再计算得到答案.‎ ‎【详解】函数的定义域为，则 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了抽象函数定义域，抓住函数定义域的定义是解题的关键.‎ ‎8.已知是定义在上的偶函数，对于任意的非负实数，若，则，如果，那么不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得到函数在上是减函数，在上是增函数，由得到，解之即得解.‎ ‎【详解】对于任意的非负实数，若，则，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 因为函数是R上的偶函数，‎ 所以函数在上是减函数，在上是增函数，‎ 因为，，‎ 所以 所以，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.设函数，则（ ）‎ A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，的值，即得解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以, ‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查对数和指数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.设函数满足，且对任意都有，则为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的值，再求的值.‎ ‎【详解】令,则，‎ 令，则.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查抽象函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.已知函数是增函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，，化简得,‎ 解得,‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于中档题．‎ ‎12.函数的定义域为，若满足:①在内是单调函数；②存在区间，使在区间上的值域为，那么就称函数为“减半函数”，若函数是“减半函数”，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，是单调递增的，‎ 所以，即有两个不同的实根，则，令，则在有两个实根，则。‎ 故选D。‎ 点睛：本题考查函数单调性的应用，已知零点个数求参数题型。首先考查复合函数的单调性，复合函数具有“同增异减”的性质，所以本题函数为增函数，转化得到有两个不同的实根，通过换元、分参，求出参数范围。‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数y=（a＞0，a≠1）过定点______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的图象恒过定点（0，1），可令2x﹣1＝0，解得x，再求y，即可得到所求定点．‎ ‎【详解】可令2x﹣1＝0，解得x，‎ 则y＝a0+1＝1+1＝2，‎ 可得函数y＝a2x﹣1+1（a＞0，a≠1）过定点（，2）．‎ 故答案为：（，2）．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数的图象的特征，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知幂函数的图象经过点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数，再求出的值得到幂函数的解析式，再求.‎ ‎【详解】设幂函数,‎ 由题得.‎ 所以.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查幂函数的求法，考查幂函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎15.定义一种新运算:=,已知函数=,若方程=恰有两个根,则的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得,作出函数的图象,如图所示,‎ 因为方程=恰有两个根,所以观察图象可知,的取值范围为.‎ 点睛：研究函数零点(方程根)个数，三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 ‎16.以下命题，正确的是__________‎ ‎①函数和为同一函数 ‎②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内有零点 ‎③由实数组成的集合，至多有2个元素 ‎④函数的减区间为 ‎【答案】③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对①利用同一函数的定义判断；对②利用零点存在性定理分析判断；对③利用根式的化简判断；对④利用复合函数的单调区间的求法判断得解.‎ ‎【详解】①函数和不是同一函数，因为两个函数的定义域不同，前者的定义域是R,后者的定义域是，所以该命题是错误的；‎ ‎②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内不一定有零点，因为函数可能不连续，所以该命题是错误的；‎ ‎③由实数组成的集合，至多有2个元素，是正确的，所以该命题是正确的；‎ ‎④函数是一个复合函数，函数的定义域为，‎ 函数的减区间为，函数是增函数，所以函数减区间为，所以该命题是错误的.‎ 故答案为：③‎ ‎【点睛】本题主要考查同一函数的判定，考查零点存在性定理，考查根式的化简，考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题（17小题10分，其余小题12分，共70分）‎ ‎17.已知集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简集合A和B,再求；（2）对分两种情况讨论，根据得到不等式，解不等式即得解.‎ ‎【详解】（1）由题得，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ 当，即时，‎ 因为，所以.‎ 当，即时，,满足.‎ 综上：的取值范围为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.（1）求 ‎（2）化简求值：‎ ‎【答案】(1).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）直接利用指数幂的运算法则化简得解；（2）利用对数的运算法则化简求解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）原式=‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂和对数的运算法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.，，‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）当时，求的值域，并求函数取得最值时的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）的值域为，时，函数取最小值为，时，函数取最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式化简为，解不等式即得解；（2）先化简，再换元利用二次函数求解.‎ ‎【详解】（1）‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎(2) ,‎ 设，所以，‎ 二次函数的图象的对称轴为，‎ 所以，即时，函数取最小值；‎ ‎，即时，函数取最大值为.‎ 所以的值域为，时，函数取最小值为，时，函数取最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数型不等式的解法，考查对数函数的图象和性质，考查二次函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.若二次函数满足.且 ‎(1)求解析式；‎ ‎(2)若在区间[-1,1]上不等式恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法求解．由二次函数可设f（x）＝ax2+bx+c，由f（0）＝1得c值，由f（x+1）﹣f（x）＝2x可得a，b的值，从而问题解决；‎ ‎（2）欲使在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只须x2﹣3x+1﹣m＞0，也就是要x2﹣3x+1﹣m的最小值大于0即可，最后求出x2﹣3x+1﹣m的最小值后大于0解之即得．‎ ‎【详解】（1）设二次函数，‎ 则 又 即 解得 ‎ ‎（2）不等式化为 在区间[-1,1]上不等式恒成立 在区间[-1,1]上不等式恒成立 只需在区间[-1,1]上，函数是减函数 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎21.某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.‎ ‎（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；‎ ‎（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶.‎ ‎【答案】（1）；（2）故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，可得从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得：，利用基本不等式即可得解．‎ ‎【详解】由题意，每小时的燃料费用为，‎ 当时，，解得 从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本：‎ ‎， ‎ ‎．‎ 故所求的函数为．‎ ‎（2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号．‎ 故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎22.已知函数为上的奇函数，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断的单调性，并用定义证明；‎ ‎（3）对任意的实数，都存在一个实数，使得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）单调递增，证明见解析；‎ ‎（3）或．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）为奇函数，所以（1）进而求解；（2）根据定义法确定的单调性；‎ ‎（3）在上是增函数，当，时，即，，设在，上的值域为，则由题意可知，即，解得或，进而分类讨论求解．‎ ‎【详解】（1）为奇函数，所以（1）解得，‎ 经检验，当b=2时，函数是奇函数.‎ 所以 ‎（2）为增函数定义域为，设、是上任意两个值，且，‎ 则，‎ ‎，，，‎ 在上是增函数.‎ ‎（3）在上是增函数，‎ 当，时，，（1），‎ 即，，‎ 设在，上的值域为，则由题意可知，‎ ‎，，解得或，‎ ‎①当时，函数在，上为减函数，‎ 所以（1），，，‎ 由得解得，‎ ‎②当时，函数在，上为增函数，‎ 所以，（1），，‎ 由得 解得，‎ 综上可知，实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质和函数的单调性的证明，考查函数单调性的应用，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎