湖南省湘潭市2019届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2019年高三第二次模拟考试试卷 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再利用交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以,故选B.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎2.已知复数，则它共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算，化简得，再根据共轭复数的概念，即可求解.‎ ‎【详解】因为，所以，对应点的坐标为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，其中解答中熟记复数的运算法则，以及共轭复数的概念是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则的离心率为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，列出方程组，求得值，再利用离心率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的两条渐近线互相垂直，焦距为8，‎ 可得，得，所以双曲线的离心率.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确列出方程组，求得的值，再利用离心率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4.高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为，它们的平均数为，方差为；其中扫码支付使用的人数分别为，，，，，它们的平均数为，方差为，则，分别为（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由样本数据的平均数和方差的公式，化简、运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由平均数的计算公式，可得数据的平均数为 - 22 -‎ 数据的平均数为：‎ ‎，‎ 数据的方差为，‎ 数据的方差为：‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了样本数据的平均数和方差的计算与应用，其中解答中熟记样本数据的平均数和方差的计算公式，合理化简与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，再结合z的几何意义，数形结合求解即可 ‎【详解】作出可行区域（如图阴影所示），化直线为,可知当直线经过点A取得最小值,此时解得A，‎ ‎∴最小值为6‎ 故选：D - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，数形结合思想，准确作图，熟练计算是关键，是基础题 ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，则，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，则，再利用三角函数的诱导公司和三角函数的基本关系式，可得，故选A.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎7.已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程．‎ ‎【详解】由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题．‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.‎ - 22 -‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ ‎9.在三棱锥中，底面，，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在三棱锥中，求得,又由底面，所以,在直角中，求得,进而得到三棱锥外接球的直径，得到，利用体积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意知，在三棱锥中，，，，所以,‎ 又由底面，所以,‎ 在直角中，，所以,‎ 根据球的性质，可得三棱锥外接球的直径为，即，‎ 所以球的体积为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了与球有关的组合体中球的体积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征和球的性质，准确求解球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎10.函数的图像向左平移 - 22 -‎ 个单位长度后得函数的图像，若的图像关于点对称，则的单调递减区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的图象变换，求得，再由函数的图像关于点对称，求得，得到函数，根据正弦型函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数 的图像向左平移个单位长度后，则，‎ 又由的图像关于点对称，所以，，解得，.因为，所以，所以，‎ 令，，得，，‎ 即函数的单调递减区间是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及合理、准确应用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.分别为锐角内角的对边，函数 - 22 -‎ 有唯一零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，所以，利用余弦定理，得，再由正弦定理，得，求得，结合锐角，求得，，根据，即可求解的取值范围.‎ ‎【详解】由题意，函数为偶函数且有唯一零点，则，所以.‎ 由余弦定理，得，整理得，‎ 即，所以，‎ 由正弦定理，得，即，‎ 所以，所以，‎ 所以或（舍），故，‎ 结合锐角，，则，，所以，‎ 由，又因为，所以，‎ 即的取值范围是，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎12.设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，转化为任意，，利用导数得到函数的单调性，求得和，由，即可求解.‎ ‎【详解】设函数，‎ 由当时，对于任意，都有，‎ 即对于任意，，‎ 由于，那么在上单调递减，‎ 而，在上单调递减，‎ 所以，‎ ‎，‎ 则，‎ 那么，或，结合，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.‎ 二、填空题（将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则______．‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数的解析式先求出，从而可得的值.‎ ‎【详解】 ，且，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎14.已知两个单位向量和夹角为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】根据向量的数量积的运算公式，‎ 可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知四棱锥的底面边长都为2，，，且，是的中点，则异面直线与所成的角为_______．‎ - 22 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为或的补角，在中，即可求解.‎ ‎【详解】如图所示，连接与相交于，则，‎ 根据异面直线所成角的定义，可得则所成的角为或的补角，‎ 由题意，在中，，，，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中熟记异面直线所成角的概念，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎16.已知定义在上的偶函数，其图像连续不间断，当时，函数是单调函数，则满足的所有之积为______．‎ ‎【答案】39‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先确定函数的对称性，然后结合题意和韦达定理整理计算，即可求得最终结果．‎ ‎【详解】因为函数是连续的偶函数，所以直线是它的对称轴，‎ 从面直线就是函数图象的对称轴．‎ - 22 -‎ 因为，所以或．‎ 由，得，设方程的两根为n，n，所以；‎ 由，得，设方程的两根为，，所以，‎ 所以．‎ 故答案为：39．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，以及对称性的应用，其中其中根据函数的奇偶性得出函数的对称性，再利用函数的单调性建立关于的一元二次方程，利用韦达定理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算、求解能力，属于中档试题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，若数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，可得，两式相减得到，得到数列为从第2项开始的等比数列，即可求解数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知，得到，利用裂项法，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，① ，可得.②‎ ‎①-②得，即，‎ 所以为从第2项开始的等比数列，且公比，‎ - 22 -‎ 又，所以，所以数列的通项公式为.‎ 当时，满足上式，所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）证明：由（1）知，‎ 所以，‎ 所以得证.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“裂项”之后求和时，弄错数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.‎ ‎18.某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.‎ 年龄 人数 ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎50‎ 已知，，三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若将年龄在内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据人数和为100及人数的等比关系列方程组求解即可；‎ - 22 -‎ ‎（2）在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，，利用列举法及古典概型的公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得，.‎ ‎（2）由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为，，，有2人是消费潜力军，分别记为，.记“这2人中至少有一人是消费潜力军”为事件.‎ 从这5人中抽取2人所有可能情况为，，，，，，，，，，共10种.‎ 符合事件的有，，，，，，，共7种.‎ 故所求概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了统计的简单应用，考查了古典概型的求解，属于基础题.‎ ‎19.在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，，，、分别为线段、上一点，且，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：平面，并求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）推导出AM⊥AD，从而AM⊥平面ABCD，由此能证明AM⊥BD；（2）推导出CE＝ND，BC∥AD，EN∥AB，FN∥AM，从而平面ENF∥平面MAB，进而EF∥平面MAB，由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，能求出三棱锥D﹣AEF的体积．‎ 详解】（1）∵AM＝AD＝3，MD＝3，‎ ‎∴AM2+AD2＝MD2，∴AM⊥AD，‎ ‎∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴AM⊥平面ABCD，‎ 又BD⊂平面ABCD，∴AM⊥BD．‎ ‎（2）在棱AD上取一点N，使得ND＝1，‎ ‎∵CE＝1，∴CE＝ND，又BC∥AD，‎ ‎∴ECND，又AB∥CD，∴EN∥AB，‎ ‎∵＝，∴FN∥AM，‎ ‎∵FN∩EN＝N，∴平面ENF∥平面MAB，又EF⊂平面ENF，‎ ‎∴EF∥平面MAB，‎ ‎∵AM⊥平面ABCD，且FD＝MD，AM＝3，‎ ‎∴F到平面ABCD的距离d＝，‎ ‎∴VD﹣AEF＝VF﹣ADE＝＝1．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆 - 22 -‎ 上运动时，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）已知点，过的直线交曲线于两点，交直线于点.判定直线的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设点，，由条件的线段比例可得，，代入圆的方程中即可得解；‎ ‎（2）设直线的方程为，与椭圆联立得得，设，，由 ，结合韦达定理代入求解即可.‎ ‎【详解】（1）设点，，因为，点在直线上，‎ 所以，.①‎ 因为点在圆：上运动，所以.②‎ 将①式代入②式，得曲线的方程为.‎ ‎（2）由题意可知的斜率存在，设直线的方程为，‎ 令，得的坐标为.‎ 由，得.‎ - 22 -‎ 设，，则有，.③‎ 记直线，，的斜率分别为，，，‎ 从而，，.‎ 因为直线的方程为，所以，，‎ 所以 ‎ ‎.④‎ 把③代入④，得.‎ 又，所以，‎ 故直线，，的斜率成等差数列.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，斜率的坐标表示，设而不求的数学思想，考查了计算能力，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明 - 22 -‎ 即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.‎ ‎【详解】(1) ，‎ 当时，，函数的单调增区间为，无减区间；‎ 当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。‎ ‎(2)解法1： ，即证，令，，，令，，‎ 在，上单调递增，，，故存在唯一的使得，)在上单调递减，在上单调递增，，，当时， ， 时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，，得证.‎ 解法2：要证： ，即证： ，令，，当时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增， ； 令，，，当 时，，时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，，，‎ - 22 -‎ ‎，得证.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，证明不等式问题，第二问证明的方法比较灵活，对不等式合理变形，转化为函数问题是解题关键，是难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），其中，.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）求曲线和曲线直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线与曲线交于两点，点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程，其中，；‎ 曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参数方程与普通方程的互化，可得曲线的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程，其中，；‎ 曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）将代入，‎ 化简得，因为，所以.‎ - 22 -‎ 设两点对应的参数分别为，，则有，，‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及合理利用直线参数方程参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，，.证明：.‎ ‎【答案】(1) 或 (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据不等式，分类讨论，即可求解不等式的解集，得到答案.‎ ‎（2）转化为证明，根据，即可得到证明.‎ ‎【详解】（1）由题意，函数 ‎ 当时，由，解得；‎ 当时，不成立；‎ 当时，由，解得.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：要证，即证.‎ - 22 -‎ 因为，，‎ 所以 ，‎ 所以.故所证不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及不等式的证明问题，其中解答中熟记含绝对值的不等式的求解方法，以及合理转化不等式的证明是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎