重庆市第一中学校2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题

重庆市第一中学校2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题

‎2019-2020学年重庆一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）（9月份）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.两条直线3x+4y+1=0和6x+8y+3=0之间的距离为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把两直线方程中的系数化为相同，然后用距离公式计算．‎ ‎【详解】两条直线方程为：和，‎ 其距离为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属于基础题，两直线方程分别为和，则它们间的距离为．‎ ‎2.抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】化为，‎ 由抛物线方程得,‎ 准线方程，故选D.‎ ‎3.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 各项都是正数的数列是等比数列，，所以，进而得到数列的通项公式，即可求出．‎ ‎【详解】依题意，各项都是正数的数列是等比数列，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，对数运算等，注意认真计算，仔细检查，属基础题．‎ ‎4.已知点在圆外，则实数m的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆，配方为：，解得m的范围并可得圆心，半径，由于点在圆外，可得，即可得出结果．‎ ‎【详解】圆，配方为：，‎ 解得．由圆方程可得圆心，半径．‎ 点在圆外，‎ ‎，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、不等式的解法、配方法，考查了推理能力与计算能力，属中档题．‎ ‎5.直线与椭圆的位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 随着m的取值变化而变化 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线系方程求出直线所过定点，判断定点在椭圆内部，可得直线与椭圆相交．‎ ‎【详解】由，得，‎ 联立，解得．‎ 直线过定点，‎ 代入，有．‎ 点在椭圆的内部，‎ 则直线与椭圆的位置关系是相交．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查求含参直线的过定点问题和直线与椭圆的位置关系的判定，注意仔细审题，认真计算，属中档题．‎ ‎6.方程表示的曲线是（ ）‎ A. 一个点 B. 两个点 C. 两条直线 D. 两条射线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程等价变形，化为或，即可得出结论．‎ ‎【详解】由题意，方程可化为或，‎ 即或．‎ 则方程表示的曲线是两条射线．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，将方程等价变形是解题的关键，属基础题．‎ ‎7.若双曲线渐近线与圆没有公共点，则C的离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．‎ ‎【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，‎ 圆心到渐近线的距离大于半径，即，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．着重考查了学生数形结合的思想的运用，属中档题．‎ ‎8.直线与椭圆相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出A，B坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．‎ ‎【详解】由，得：，‎ 设，，‎ 可得，‎ 可得．‎ 设弦AB的中点为，‎ 可得，‎ 可得，，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，考查计算能力，其中利用韦达定理消去参数m是解题的关键，属中档题．‎ ‎9.已知，，从点射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（ ）‎ A. B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，设点关于直线AB的对称点，可得，，‎ 联立解得a，可得光线所经过的路程.‎ ‎【详解】直线AB的方程为：，‎ 点关于x轴的对称点，‎ 设点关于直线AB的对称点，如图，‎ 则，，联立解得，．‎ ‎，光线所经过的路程为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线的方程、两点之间的距离公式、光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．‎ ‎10.设椭圆与双曲线有公共的焦点，，点P是与的一个公共点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出的边长，利用余弦定理计算的值即可．‎ ‎【详解】由椭圆方程可知：，，‎ 由双曲线性质可得：，故，则，‎ 不妨设P在第一象限，‎ 由椭圆定义可知：，‎ 由双曲线的定义可知：，‎ ‎，，又，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题．‎ ‎11.已知为奇函数，当时，，为偶函数，当时，，若对任意实数a，不等式恒成立，则实数b的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求函数，的解析式，并画出图象，对任意实数a，不等式恒成立，则，由此结合图象和奇偶性可得b的范围．‎ ‎【详解】为奇函数，当时，，‎ 由奇函数的性质易得，当时，，‎ 为偶函数，当时，，‎ 由偶函数的性质易得，当时，，‎ 分别画出的图象和的图象如下图，‎ 对任意实数a，不等式恒成立，则，‎ 结合图象可得，则，‎ 即或，‎ 解不等式可得b的范围为.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和函数图象的画法和函数图象的应用，注意恒成立问题可转化为最值问题，属中档题．‎ ‎12.已知F为椭圆C：的左焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算直线斜率为0时或直线斜率为0时对应的四边形的面积，再设斜率为k，利用弦长公式计算，，得出四边形的面积关于k的函数，利用换元法求出面积的最小值从而得出结论．‎ ‎【详解】椭圆的左焦点为．‎ ‎（1）当直线斜率为0时，直线的方程为，‎ 或当直线斜率为0时，直线的方程为，‎ 把代入椭圆方程得，‎ 四边形ADBE的面积为．‎ ‎（2）当直线有斜率且斜率不为0时，设直线的方程为，直线的方程为．‎ 联立方程组，消元得：，‎ 设，，则，，‎ ‎，‎ 用替换k可得，‎ 四边形ADBE的面积为，‎ 令，则，‎ 当即时，S取得最小值．‎ 综上，四边形ABDE的面积的最小值为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，面积公式的应用，考查换元法与设而不求法的运用，计算较难，注意认真检查，同时注意讨论直线方程的特殊情况，属难题．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，设所求直线的一般式方程为，把点P坐标代入求解即可求得m，从而求出一般式方程．‎ ‎【详解】设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为，‎ 把点P坐标代入可得：，解得．‎ 所求的直线方程为：，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属基础题．‎ ‎14.已知点是抛物线C：上一点，F是C焦点，则______．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出P的坐标，利用抛物线的定义，转化求解即可．‎ ‎【详解】点是抛物线C：上一点，‎ 可得，解得，‎ 由抛物线的定义可得：．‎ 所以．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，是基本知识的考查，要求学生熟练掌握抛物线的基本知识，属基础题．‎ ‎15.设为锐角，若，则的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的范围和同角三角函数关系求出，再利用二倍角公式得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数值求解、二倍角公式的应用，属于基础题.‎ ‎16.在中，角A为钝角，，，AD为BC边上的高，已知，则y的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，结合向量加法的几何意义可表示，从而可得，然后结合，及向量数量积的运算可得，由A为钝角，可知，解不等式即可求出结果.‎ ‎【详解】设，‎ 由题意可知，，‎ 由，可得，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，为钝角，，‎ ‎，解得，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面向量加法，减法的几何意义，共线定理及向量数量积的运算性质，数量积的运算公式及分离常数求解变量范围，考查知识的综合应用，属中档题．‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ ‎17.设的三个内角分别为.向量共线.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设角的对边分别是，且满足，试判断的形状．‎ ‎【答案】（Ⅰ）C=；（Ⅱ）△为等边三角形 ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）∵与共线，‎ ‎∴‎ ‎∴C=‎ ‎（Ⅱ）由已知根据余弦定理可得：‎ 联立解得：‎ ‎，所以△为等边三角形，‎ ‎18.已知圆和圆相交于两点．‎ ‎⑴求直线的方程，并求出；‎ ‎⑵在直线上取点，过作圆的切线（为切点），使得，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将两圆方程相减即可得直线AB 的方程，利用点到弦的距离，半径即可求出弦长即 的长.‎ ‎（2）点P在直线上，设出P点坐标，利用圆的切线长公式：切线长的平方等于点到圆心距离的平方与半径的平方的差，即可求得.‎ ‎【详解】两圆方程相减得 即 ,此即为直线AB 的方程,由题意知:圆 圆心到直线的距离是,.‎ ‎(2)设 ,整理得,解得 从而 ‎【点睛】本题考查圆的弦长与切线长的求解，了解相关公式即可求得，是基础题．‎ ‎19.已知双曲线的离心率为2，左右焦点分别为，，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，且的周长为．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）已知直线，点P是双曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得，，根据周长可得，结合，求解可得，，所以曲线C的方程为：；‎ ‎（2）求出与l平行且与C相切的直线，利用平行直线间距离公式可得最小值．‎ ‎【详解】（1）由题得，所以，，‎ 又，所以，，，‎ 因为的周长为，‎ 所以①，‎ 又因为②，‎ ‎①－②，得，‎ 即，解得，，‎ 所以曲线C方程为：；‎ ‎（2）设与直线平行且与C相切的直线方程为，‎ 由得，‎ 则，解得．‎ 设点P到直线l的距离为d，则根据平行线间的距离公式可得，，‎ 所以当时，d取最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，曲线上的点到直线距离的最值问题等，求椭圆上的点到一条直线的距离的最值一般转化为求平行直线间的距离，属中档题．‎ ‎20.设椭圆的左右焦点分别为，，在椭圆L上的点满足，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆L的方程；‎ ‎（2）过点A作两条倾斜角互补的直线，，它们与椭圆L的另一个交点分别为B，C，试问直线BC的斜率是否是定值？若是，求出该斜率；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）斜率为，是定值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知，，成等差数列，，由 结合焦半径公式可得，进一步求得，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；‎ ‎（2）由（1）求得A点坐标，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立求得B的坐标，同理求得C的坐标，再由斜率公式可得直线BC的斜率为，是定值．‎ ‎【详解】（1）由，，成等差数列，得，即，‎ 又，，即，‎ 联立①②，解得，，．‎ 椭圆L的方程为；‎ ‎（2）取，得，，‎ 直线，的倾斜角互补，直线，的斜率互为相反数．‎ 可设直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得，‎ 设，，点在椭圆上，‎ ‎，，，‎ 又直线AC的斜率与AB的斜率互为相反数，在上式中以代替k，可得，，‎ 直线BC的斜率．‎ 故直线BC的斜率为，是定值．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线经过定点问题、椭圆的标准方程及其性质、考查了推理能力与计算能力，属中档题．‎ ‎21.已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的一个动点，点Q在直线AB上，满足(为坐标原点)‎ ‎（1）求点Q的轨迹方程；‎ ‎（2）求四边形OAPB的面积S的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2） 最大值12．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件用Q点坐标表示出P点坐标，再代入椭圆方程即可得到Q点的轨迹方程；‎ ‎（2）由Q的轨迹与直线l有交点，求出k，m的不等关系，由有，求出的表达式，然后换元，利用k，m的不等关系求出新的自变量的范围，从而可求面积的最大值．‎ ‎【详解】（1）设，；‎ 由有：，‎ 又点P在椭圆C上，则，即，‎ 所以点Q的轨迹方程：；‎ ‎（2）设，，由有，‎ 则消去y可得：，‎ 则，，‎ 又直线l与椭圆 有公共点；‎ 所以  有：，‎ ‎，即，‎ 原点到直线l的距离为，又，则，‎ 设，则，‎ 当时，即 时，有最大值4，‎ 故S有最大值12．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法，多边形的面积，直线与椭圆的位置关系，考查了利用相关点法求轨迹方程和转化的思想应用，由有是本题的关键，属难题．‎ ‎ ‎