安徽省肥东县高级中学2020届高三5月调研考试数学（理）试题

安徽省肥东县高级中学2020届高三5月调研考试数学（理）试题

‎2020届高三下学期5月调研 ‎ 理科数学 本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.复数,是虚数单位.若，则 ‎ ‎（A）1 （B）-1 （C）0 （D）‎ ‎3.已知实数， ， ，则的最小值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是 ‎ A. -20 B. 20 C. D. 60‎ ‎6.已知椭圆的左、右焦点分别为，．也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎7.函数的图象大致是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8.下列说法中正确的是 ‎ ‎①“，都有”的否定是“，使”.‎ ‎②已知是等比数列，是其前项和，则，，也成等比数列.‎ ‎③“事件与事件对立”是“事件与事件互斥”的充分不必要条件.‎ ‎④已知变量，的回归方程是，则变量，具有负线性相关关系.‎ A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎9.已知的三个内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数，图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，则的最小值是 ‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎11.已知直三棱柱中， ， ， ，则异面直线与所成角的余弦值为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知 ，当 时，的大小关系为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎14.已知实数满足不等式组，则是最小值为 _____.‎ ‎15.已知双曲线的离心率为，左焦点为，点（为半焦距）. 是双曲线的右支上的动点，且的最小值为.则双曲线的方程为_____.‎ ‎16.边长为2的等边的三个顶点， ， 都在以为球心的球面上，若球的表面积为，则三棱锥的体积为__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. （本题满分12分）已知数列{}、{}满足＋＝，数列{}的前n项和为．‎ ‎（1）若＝，且数列{}为等比数列，求a1的值；‎ ‎（2）若＝，且S71＝2088，S2018＝1880，求a1，a2的值．‎ ‎18. （本题满分12分）如图所示，正三棱柱的底面边长为2， 是侧棱的中点.‎ ‎（1）证明:平面平面；‎ ‎（2）若平面与平面所成锐角的大小为，求四棱锥的体积.‎ ‎19. （本题满分12分）某省高考改革方案指出：该省高考考生总成绩将由语文数学英语3门统一高考成绩和学生从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门等级性考试科目中自主选择3个，按获得该次考试有效成绩的考生(缺考考生或未得分的考生除外)总人数的相应比例的基础上划分等级，位次由高到低分为A、B、C、D、E五等21级，该省的某市为了解本市万名学生的某次选考化学成绩水平，统计在全市范围内选考化学的原始成绩，发现其成绩服从正态分布 ，现从某校随机抽取了名学生，将所得成绩整理后，绘制出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）估算该校名学生成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）现从该校名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名（从高到低）在全市前名的人数记为，求随机变量 的分布列和数学期望.参考数据：若，则，，.‎ ‎20. （本题满分12分）如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.‎ ‎（1）若,求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.‎ ‎21. （本题满分12分）已知，函数在点处与轴相切 ‎（1）求的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）当时，，求实数的取值范围。‎ ‎22. （本题满分10分）在极坐标系中，曲线C1：ρsin2θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C2的参数方程为： ，（θ∈[﹣ ， ]），曲线C： （t为参数）． （Ⅰ）求C1的直角坐标方程； （Ⅱ）C与C1相交于A，B，与C2相切于点Q，求|AQ|﹣|BQ|的值．‎ ‎23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的一个零点为2.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.B ‎【解析】求解函数的定义域可得： ，则 求解指数不等式可得： ，‎ 结合交集的定义可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.D.‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，，故选D．‎ ‎3.B ‎【解析】∵， ， ‎ ‎∴ ‎ 当且仅当，即， 时取等号.故选B ‎4.B ‎【解析】因，故，因，故，则，所以，应选答案B。‎ ‎5.A ‎【解析】模拟程序框图的运行过程，如下： ，是， ； ，是， ； ，是， ； ，否，退出循环，输出的值为二项式 的展开式中的通项是，令，得常数项是，故选A.‎ ‎6.B ‎【解析】由题意可得：c==．直线AF1的方程为：y=x+c．联立，解得A（c，2c），代入椭圆方程可得：，即，化为：e2+ ‎ ‎=1，解出即可得出．‎ 详解：由题意可得：c==‎ 直线AF1的方程为y=x+c．‎ 联立，解得x=c，y=2c．‎ ‎∴A（c，2c），‎ 代入椭圆方程可得：，‎ ‎∴，化为：e2+=1，‎ 化为：e4﹣6e2+1=0，解得e2=3，解得e=﹣1．‎ 故答案为：B ‎7.A ‎【解析】由题意，所以函数为偶函数，‎ 图象关于轴对称，排除B、C；‎ 又由，排除D，故选A.‎ ‎8.D ‎【解析】①“，都有”的否定是“，使”，该说法错误；‎ ‎②当数列的公比为-1时，可能是0，该说法错误.‎ ‎③对立一定互斥，互斥不一定对立，故“事件与事件对立”是“事件与事件 互斥”的充分不必要条件，该说法正确.‎ ‎④ 则变量，具有负线性相关关系，该说法正确.‎ 综合可得：正确的说法是③④.本题选择D选项.‎ ‎9.B ‎【解析】，由于为定值，由余弦定理得 ，即.根据基本不等式得，即，当且仅当时，等号成立. ，故选.‎ ‎10.C ‎【解析】令对数的真数等于1，求得的值，可得函数的图象恒过定点A的坐标，根据点A在一次函数的图象上，可得，再利用基本不等式求得的最小值．‎ 解：对于函数，令，求得，，可得函数的图象恒过定点，‎ 若点A在一次函数的图象上，其中，则有，‎ 则，‎ 当且仅当时，取等号，‎ 故的最小值是8，故选：C．‎ ‎11.C ‎【解析】‎ 如图所示,设分别为和的中点，‎ 则夹角为和夹角或其补角 ‎(因异面直线所成角为，‎ 可知，‎ ‎；‎ 作中点Q，则为直角三角形；‎ ‎∵，‎ 中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 在中, ；‎ 在中，由余弦定理得 又异面直线所成角的范围是，‎ ‎∴与所成角的余弦值为。故选C.‎ ‎12.B ‎【解析】取，则.所以 .故选B.‎ ‎13.‎ ‎14.-13‎ ‎【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+y对应的直线进行平移，可得当x＝y＝1时，z＝2x+y取得最小值．‎ 作出不等式组表示的平面区域：‎ 得到如图的阴影部分，由 解得B（﹣11，﹣2）设z＝F（x，y）＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最小值，‎ ‎∴z最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．故答案为：﹣13‎ ‎15.‎ ‎【解析】由，可知，而的最小值为，结合离心率为2，联立计算即可。‎ 设双曲线右焦点为，则，所以，而 的最小值为，所以最小值为，‎ 又，解得，于是，故双曲线方程为.‎ ‎16.‎ ‎【解析】设球半径为，则，解得．‎ 设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．‎ 故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案： ‎ ‎17.（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）依题意，，即；‎ 故当时，，，……，，‎ 将以上各式累加得，‎ 故，因为为等比数列，故；‎ ‎（2）依题意，，故 ①， ②，‎ ‎①+②得， ，‎ 数列是一个周期为6的周期数列，‎ 设，，则，，，，，，……‎ ‎ ，即数列的任意连续6项之和为0， ‎ 因为，故；‎ 因为，故；‎ 解得，， 即.‎ ‎18.解析：（1）如图①，取的中点， 的中点，连接，易知 又，∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又三棱柱是正三棱柱，‎ ‎∴为正三角形，∴.‎ 又平面，‎ ‎,而，‎ ‎∴平面.‎ 又，‎ ‎∴平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面 ‎（2）（方法一）建立如图①所示的空间直角坐标系，‎ 设，则，得 即.‎ 所以.‎ ‎（方法二）如图②，延长与交于点,连接.‎ ‎∵, 为的中点，∴也是的中点, ‎ 又∵是的中点,∴.‎ ‎∵平面,∴平面.‎ ‎∴为平面与平面所成二面角的平面角.‎ 所以,∴. ‎ ‎19. 【解析】（1）‎ ‎（2）该校名考生成绩在的人数为 而,则，‎ 所以，所以全市前名的成绩在分以上，上述名考生成绩中分以上的有人.‎ 随机变量,于是,,‎ 的分布列：‎ 所以数学期望.‎ ‎20.解析：（1）,设抛物线的焦点为,,即轴,, 即,得,所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）设,直线的方程为,‎ 将直线的方程代入,消去得,‎ 由得.所以.‎ ‎,‎ 又,所以,‎ 所以,即直线的斜率的平方为定值.‎ ‎21.【解析】（Ⅰ）函数在点处与轴相切．，‎ 依题意，解得，所以．‎ 当时，；当时，．‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（2）令，．则，‎ 令，则，‎ ‎（ⅰ）若，因为当时，，，所以，‎ 所以即在上单调递增．又因为，‎ 所以当时，，从而在上单调递增，‎ 而，所以，即成立．‎ ‎（ⅱ）若，可得在上单调递增．‎ 因为，，所以存在，使得，且当时，，所以即在上单调递减，‎ 又因为，所以当时，，从而在上单调递减，‎ 而，所以当时，，即不成立．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎22.解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ， 由ρsin2θ=4cosθ，得ρ2sin2θ=4ρcosθ， ∴曲线C1的直角坐标方程为：y2=4x． （Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[﹣ ， ]），由题意知直线C的斜率k= ‎ ‎ ， 所以 ，即 =tanθ=﹣ ， 所以 ，故Q（ ，﹣ ）． 取 ， ，不妨设A，B对应的参数分别为t1 ， t2 ． 把 ，代入y2=4x， 化简得 ，即3t2﹣（8+2 ）t﹣8 =0， ∵C与C1相交于A，B，∴△＞0，t1+t2= ． ∴|AQ|﹣|BQ|=|t1+t2|= ‎ ‎23.（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由， ，得，‎ ‎∴，∴或或，‎ 解得，故不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 作出函数的图象，如图所示，‎ 直线过定点，‎ 当此直线经过点时， ；‎ 当此直线与直线平行时， .‎ 故由图可知， .‎