2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019 学年江西省南昌市第二中学高一上学期期中数学 试题 一、单选题 1．若集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】化简集合 M,N，由子集概念即可得出结论. 【详解】 ， ，所以 . 故选: C. 【点睛】 本题主要考查了解不等式，集合子集，属于容易题. 2．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵集合 ∴ ∵集合 ∴ ， 故选 A 3．若全集 ，集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简集合 A,B，根据交集补集运算即可求解. 【详解】 { }1M x x= ≤ { }2 , 1N y y x x= = ≤ ( ]0,1M N = M N⊆ N M⊆ M N= { } [ ]1 1,1M x x= ≤ = − { } [ ]2 , 1 0,1N y y x x= = ≤ = N M⊆ 3 1x < { | 0}A B x x= < A B R= { | 1}A B x x= > A B = ∅ { | 3 1}xB x= < { }| 0B x x= < { | 1}A x x= < { }| 0A B x x∩ = < { }| 1A B x x∪ = < U = R { }2020logA x y x= = { }1B y y x= = + ( )UA B =  ∅ ( )0,1 ( ]0,1 ( )1,+∞ 由 ， 得： ， ∴ ； ∴ . 故选: B. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集补集运算，集合的描述法，属于容易题. 4．已知函数 ，若 ，则实数 a 等于（ ） A． B． C．2 D．9 【答案】C 【解析】由内层开始计算，解方程即可求解. 【详解】 ， ∴ ， ∴ ，解得 . 故选: C. 【点睛】 本题主要考查了分段函数求值，属于容易题. 5．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意得出 ，解出该不等式组可得出函数 的定义 域. 【详解】 { }2020logA x y x= = { }1B y y x= = + ( )0,A = +∞ [ )1,B = +∞ ( ),1UC B = −∞ ( ) ( )0,1UA C B = ( ) 2 2 1, 1 , 1 x xf x x ax x  + <=  + > ( )( )0 4f f a= 1 2 4 5 ( )0 2f = ( )( ) ( )0 2 4 2f f f a= = + 4 2 4a a+ = 2a = ( )y f x= [ ]8,1− ( ) ( )2 1 2 f xg x x += + ( ) ( ], 2 2,3−∞ − − [ ) ( ]8, 2 2,1− − − ( ]9 , 2 2,02  − − −  9 , 22  − −   8 2 1 1 2 0 x x − ≤ + ≤  + ≠ ( )y g x= 由于函数 的定义域为 ，由题意得 ， 解得 且 ，因此，函数 的定义域是 ， 故选：C. 【点睛】 本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一 致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题. 6．已知函数 (其中欧拉常数 )，则 （ ） A．是奇函数，且在 R 上是减函数 B．是偶函数，且在 R 上是增函数 C．是奇函数，且在 R 上是增函数 D．是偶函数，且在 R 上是减函数 【答案】A 【解析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数单调性判断函数单调性即可. 【详解】 根据题意，函数 ， 则 ， 则函数 为奇函数， 又由 和 是减函数，可知函数 在 R 上为减函数， 故选: A. 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性的判定，函数的单调性，属于中档题. 7．方程 的解的个数是（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】B ( )y f x= [ ]8,1− 8 2 1 1 2 0 x x − ≤ + ≤  + ≠ 9 02 x− ≤ ≤ 2x ≠ − ( ) ( )2 1 2 f xg x x += + ( ]9 , 2 2,02  − − −  ( ) 1 x xf x γ γ  = −   0.577γ ≈ ( )f x ( ) 1 x xf x γ γ  = −   ( ) ( )1 1x x x xf x f xγ γγ γ − −     − = − = − − = −          ( )f x xy γ= 1 x y γ  = −   ( )f x 2018 1 log2019 x x  =   【解析】作出作出 和 的函数图象，利用数形结合求解. 【详解】 作出 和 的函数图象,如图所示: 由图象可知两函数图象有 2 个交点. 故方程 的解的个数也为 2 个. 故选: B. 【点睛】 本题主要考查了函数与方程，函数的图象，数形结合，属于中档题. 8．方程 一定有解的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程可化为 ，作出函数 与 的图象，判断交点 横坐标大致位置即可，或者根据零点存在性定理判断零点位置也可. 【详解】 方法一: 可化为: ，在同一平面直角坐标系中， 画出函数 与 的图象. 1 2019 x y  =    2018logy x= 1 2019 x y  =    2018logy x= 2018 1 log2019 x x  =   lg 3 0x x+ − = ( )2,3 ( )1,2 ( )0,1 ( )3,4 lg 3x x= − + lgy x= 3y x= − + lg 3 0x x+ − = lg 3x x= − + lgy x= 3y x= − + 它们的交点横坐标 .当 时， ， . ∵ ， ∴ ，从而判定 . 方法二:因为 ， ， 所以根据根的存在性定理可知，函数 在区间 内存在零点， 所以方程 的根 所在的区间为 . 故选: A. 【点睛】 本题主要考查了方程与函数，函数的零点，零点存在性定理，数形结合，属于中档题. 9．函数 在(－1，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围是(　　) A．a＝－3 B．a＜3 C．a≤－3 D．a≥－3 【答案】C 【解析】分离参数可得 ，根据反比例函数的单调性可得 ， 解不等式即可的结果. 【详解】 ，由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有 解得 a≤－3，故选 C。 【点睛】 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性 0x 2x = y lg 2= 3 1y x= − = lg 2 1 lg10< = 0 2x > ( )0 2,3x ∈ ( )2 lg 2 2 3 lg 2 1 lg 2 lg10 0f = + − = − = − < ( )3 lg3 3 3 lg3 0f = + − = > ( )f x ( )2,3 lg 3x x+ − = 0x ( )2,3 5 2 xy x a −= − − 31 2 ay x a −= + − − 3 0 2 1 a a − <  + ≤ − 5 2 xy x a −= − − 31 2 a x a −= + − − 定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上 是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围. 10．函数 在 单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的 x 取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇函数的性质由 ，可以求出 的值，再利用函数的单调性 结合已知 ，可以求出 x 取值范围. 【详解】 为奇函数， . ， . 故由 ，得 . 又 在 单调递减， ， . 故选：D 【点睛】 本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力. 11．已知定义在 R 上的偶函数 ，且 时， ，方程 恰好有 4 个实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解析式可分析函数 时的单调性，再由对称性可作出函数图象，利用数 形结合求解即可. 【详解】 [ ],a b ( )' 0f x ≤ ( )' 0f x ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞ (1) 1f = − 1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ [ 2,2]− [ 1,1]− [0,4] [1,3] (1) 1f = − ( 1)f − 1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ ( )f x ( ) ( )f x f x∴ − = − (1) 1f = − ( 1) (1) 1f f∴ − = − = 1 ( 2) 1f x− ≤ − ≤ (1) ( 2) ( 1)f f x f≤ − ≤ − ( )f x ( , )−∞ +∞ 1 2 1x∴− ≤ − ≤ 1 3x∴ ≤ ≤ ( )f x 0x ≥ ( ) 3 1,0 1 53 , 13 x x x f x x−  + ≤ ≤=  + > ( )f x m= ( )0,2 ( )1,2 5 ,23      5 ,23     0x ≥ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 时取得最大值 2. 又当 时， ， 再结合对称性可以画出函数 与 的图象, 如图所示: 由图可知，当 时，函数 与 恰好有 4 个公共点. 故选: C. 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，数形结合，属于中档题. 12．已知 是定义在 R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 ， 都有 ，记: ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ,由已知可得 ，即 ，函 数为 上为增函数，又可证函数 为偶函数，即可求出 a,b,c 的大小. 【详解】 根据题意，设 ，对任意两个不相等的正数 ， 都有 ，即 ， 则有 ， 故函数 在 上为增函数； ( )f x [ ]0,1 ( )1,+∞ 1x = 1x > ( ) 5 3f x > ( )y f x= y m= 5 23 m< < ( )y f x= y m= ( )f x 1x 2x ( ) ( )2 1 1 2 1 2 0x f x x f x x x − >− ( )0.2 0.2 4.1 4.1 f a = ( )2.1 2.1 0.4 0.4 f b = ( )0.2 4.1 0.2 log 4.1 log fc = a c b< < a b c< < c b a< < b c a< < ( ) ( )f xg x x = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0 f x f x x x x x − >− ( ) ( )1 2 0g x g x− > ( )0, ∞+ ( )g x ( ) ( )f xg x x = 1x 2x ( ) ( )2 1 1 2 1 2 0x f x x f x x x − >− ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0 f x f x x x x x − >− ( ) ( )1 2 1 2( )( ) 0x x g x g x− − > ( )g x ( )0, ∞+ 又由 ， 则函数 为偶函数； ， 又由 ， 则有 ；即 ， 故选: D. 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，利用函数性质比较大小，属于难题. 二、填空题 13．函数 ( 且 )的图象恒过的定点是______. 【答案】 【解析】根据指数函数的性质，令 ，即可求出所过定点. 【详解】 令 ，求得 ， ， 可得函数 ( 且 )的图象恒过的定点 ， 故答案为: . 【点睛】 本题主要考查了指数函数过定点问题，属于容易题. 14．幂函数 在 上为单调递增的，则 ______. 【答案】 【解析】由幂函数定义及性质可知 ，求解即可得 m 【详解】 由幂函数 在 上为单调递增的， ( ) ( ) ( ) ( )f x f xg x g xx x −− = = =− ( )g x ( ) ( ) ( ) ( )0.2 0.2 5 54.1 0.2 log 4.1 log 4.1 log 4.1 log 4.1log fc g g g= = = − = 2.1 2 0.2 5 10 0.4 0.4 log 4.1 1 4.12 < < < < < < ( ) ( ) ( )21 0.2 0.20.4 log 4.1 4.1g g g< < b c a< < 2 1xy a += + 0a > 1a ≠ ( )2,2− 2 0x + = 2 0x + = 2x = − 2y = 2 1xy a += + 0a > 1a ≠ ( )2,2− ( )2,2− ( ) ( )22 mf x m m x= + [ )0,+∞ m = 1 2 22 1 0 m m m  + =  > ( ) ( )22 mf x m m x= + [ )0,+∞ 所以 ，解得 . 故答案为: . 【点睛】 本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题. 15．若函数 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 上是单调减函数.如果实数 t 满足 时，那么 t 的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意知原不等式可化为 ，即 ，根据单调性可得 ，解不等式即可. 【详解】 原不等式等价于: ， ∵ 为偶函数 ， ∴ ， ∵ 为偶函数，且 上单减， ∴ 或 ， ∴ . 故答案为: 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，对数的运算性质，属于中档题. 16．函数 的值域是______. 【答案】 【解析】化简函数解析式可得 ，换元，利用二次函数 22 1 0 m m m  + =  > 1 2m = 1 2 ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )1ln ln 2 1f t f ft  + <   ( )10, ,ee   +∞   ( ) ( ) ( )1ln ln = ln + ( ln ) 2 1f t f f t f t ft  + − <   ( ) ( )ln = ( ln ) 1f t f t f< ln 1t > ( ) ( ) ( )ln ln 2 1f t f t f+ − < ( )f x ( ) ( )ln lnf t f t= − ( ) ( )ln 1f t f< ( )f x [ )0,+∞ ln 1 ln 1t t> ⇒ > ln 1t < − ( )10, ,t ee  ∈ +∞   ( )10, ,ee   +∞   ( ) 2 1 0 2f x x x x x x− −= + + + + [ )1,t ∈ +∞ ( ) ( ) ( )21 1 1f x x x x x− −= + + + − 求值域即可. 【详解】 由 令 ， 得 , , 对称轴为 ， 所以当 时，函数有最小值 1， 故 故答案为: . 【点睛】 本题主要考查了函数的化简变形，二次函数求最值，换元法，属于中档题. 三、解答题 17．已知 ， . （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）解不等式可得集合 A,B，求交集即可（2）分类讨论 两种情况， 当 时利用二次不等式恒成立求解，当 时，验证求解即可. 【详解】 （1） ， . 当 时，由 ，解得 ， ∴ ， ∴ . （2）∵ ， ∴ 或 ， 解得 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 1 11 1f x x x x x x x x x− − − −= + + + + = + + + − ( ] [ )1 , 2 2,t x x−= + ∈ −∞ − +∞ ( ) 2 1f t t t= + − ( ] [ ), 2 2,t ∈ −∞ − +∞ 1 2t = − 2t = − [ )( ) 1,f x ∈ +∞ [ )1,+∞ ( ){ }20 log 1 2A x x= < + < { }2 4 0B x ax ax= − − < 2a = A B B R= { }0 2x x< < ( ]16,0− 0, 0a a= ≠ 0a ≠ 0a = ( ){ } { }20 log 1 2 0 3A x x x x= < + < = < < { }2 4 0B x ax ax= − − < 2a = 22 2 4 0x x− − < 1 2x− < < { }1 2B x x= − < < { }0 2A B x x∩ = < < { }2 4 0B x ax ax R= − − < = 0a = 2 0 16 0 a a a < ∆ = + < 16 0a− < ≤ ∴实数 a 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了对数不等式，二次不等式的解法，不等式恒成立，交集，属于中档题. 18．化简与求值： （1） ； （2） ． 【答案】（1）3；（2）-11 【解析】（1）根据对数运算法则计算. （2）根据分数指数幂的运算法则计算，以及根据换底公式计算. 【详解】 （1） （2） 【点睛】 本题考查了指数和对数的运算法则，意在考查转化与计算，变形的能力，需熟练掌握对 数运算的公式. 19．求下列函数的值域 （1） ， ； （2） ， ； ( ]16,0− 21 log 3 3 1log 27 lg ln e 2100 − ++ + + ( ) 1 3 3 2 1 1log 16 log27 9 −   − + ×       21 log 3 3 1log 27 lg ln e 2100 − ++ + + 2 1 log 33 2 2 3 1log 3 lg10 ln 22e−= + + + × 2 3 1 13log 3 lg10 32 2 = − + + × 1 33 2 32 2 = − + + = ( ) 1 3 3 2 1 1log 16 log27 9 −   − + ×       13 3 1lg1 lg16 9 3 lg3 lg 2  × −   = − + ×   11 4lg 2 2lg3 3 lg3 lg 2 − − = − + ×   3 8 11= − − = − ( ) 22 3 4x xf x += − × ( ),1x∈ −∞ ( ) 2 2log log 24 xf x x= ⋅ [ ]1,4x∈ （3） ， . 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）化简函数解析式得 ，利用二次函数求值域即可 （2）化简函数 ，令 ，转化为二次函数求值域 （3）判断函数的奇偶性为偶函数，先研究 时函数的单调性，再结合偶函数 性质求值域即可. 【详解】 （1） ， 因为 ， 所以 ， 所以当 ，即 时 取得最大值 ； 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ， 所以函数 的值域为 . （2） . 令 ， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ . ( ) xf x e x= + x∈R 44, 3  −   9 ,04  −   [ )1,+∞ ( ) 22 43 2 3 3 xf x  = − − +   ( ) ( )( )2 2log 4 log 1f x x x= − + 2log x t= [ )0,x∈ +∞ ( ) 2 2 2 2 42 3 4 3 2 4 2 3 2 3 3 x x x x xf x +  = − × = − × + × = − − +   ( ),1x∈ −∞ ( )2 0,2x ∈ 22 3 x = 2 2 3logx = ( )f x 4 3 22 0, 3 x  ∈   2 2,log 3x  ∈ −∞   ( ) 0f x > 22 ,23 x  ∈   2 2log ,13x  ∈   ( ) ( )1 4f x f> = − ( )f x 44, 3  −   ( ) ( )( )2 2 2 2log log 2 log 2 log 14 xf x x x x= ⋅ = − + 2log x t= ( ) ( )( )2 1g t t t= − + [ ]1,4x∈ [ ]0,2t ∈ ( ) 21 9 2 4g t t = − −   ∴ ， ， 故函数的值域为 . （3）易知函数 为偶函数， 当 时， ， 易知函数 在 上单调递增， 结合偶函数的性质得 在 上单调递减， ， 且当 ， . 所以，函数 的值域 . 【点睛】 本题主要考查了二次函数求值域，换元法，函数的奇偶性，单调性，属于中档题. 20．已知函数 ( )为偶函数，且 . （1）求 m 的值，并确定 的解析式； （2）若 ( 且 )在 上为增函数，求实数 a 的取 值范围. 【答案】（1） ， （2） 【解析】（1）由幂函数性质可知 ，再结合函数为偶函数且 即可求解 （2）化简函数得 ，换元设 ，分 和 两种情况讨论，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 （1）根据题意，函数 为偶函数，且 ，则 ， 又 ，可得 ，1 或 2； 当 时， 为奇函数，不满足题意； 当 时， ，满足题意； 当 时， 为奇函数，不满足题意 ( )min 1 9 2 4f x g  = = −   ( ) ( )max 2 0f x g= = 9 ,04  −   ( ) xf x e x= + [ )0,x∈ +∞ ( ) xf x e x= + ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ],0−∞ ( ) ( )0 1f x f∴ ≥ = x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x [ )1,+∞ ( ) 3mf x x− += m N∈ ( ) ( )3 5f f< ( )f x ( ) ( )logag x f x ax = −  0a > 1a ≠ ( ]2,3 1m = ( ) 2f x x= ( ]1,2 3 0m− + > m N∈ 2 2 log 2 4a a ay x   = − −      2 2 2 4 a at x = − −   0 1a< < 1a > ( ) 3mf x x− += ( ) ( )3 5f f< 3 0m− + > m N∈ 0m = 0m = ( ) 3f x x= 1m = ( ) 2f x x= 2m = ( )f x x= ∴ 时， ； （2）根据题意， ， 其中 ，且 ；设 ， 则 ， 当 时， ， 函数 在 是增函数， 为减函数， 则 在 上为减函数，不符合题意； 当 时， ， 在 是增函数， 又由 ，得 ，函数 y 在 上是增函数， 此时若 ( 且 )在 上为增函数，则有 ， 可得 ，故 a 的取值范围为 . 【点睛】 本题主要考查了幂函数的单调性，复合函数的单调性，分类讨论，属于难题. 21．如果函数 在其定义域 D 内，存在实数 使得 成立，则称函数 为“可拆分函数”. （1）判断函数 ， ， ， ， 是 否为“可拆分函数”?(需说明理由) （2）设函数 为“可拆分函数”，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） ， ， 是可拆分函数； ， 不是可拆分函数， 理由见解析（2） 【解析】（1）根据“可拆分函数”的定义，确定是否存在实数 使得 1m = ( ) 2f x x= ( ) ( ) 2 2 2log log log 2 4a a a a ay f x ax x ax x   = − = − = − −          0a > 1a ≠ 2 2 2 4 a at x = − −   logay t= 0 1a< < 10 2 2 a< < 2 2 2 4 a at x = − −   ( )2,3 logay t= ( )logay f x ax= −   ( )2,3 1a > 1 2 2 a > 2 2 2 4 a at x = − −   ,2 a +∞   2 0x ax− > x a> ( ),a +∞ ( ) ( )logag x f x ax = −  0a > 1a ≠ ( ]2,3 1 2 a a >  ≤ 1 2a< ≤ ( ]1,2 ( )f x 0x D∈ ( ) ( ) ( )0 01 1f x f x f+ = + ( )f x ( ) 2 1f x x= ( )2 1f x x = ( )3f x x= ( )4 lnf x x= ( )5 2xf x = ( ) lg 2 1x af x = + ( )1f x ( )3f x ( )5f x ( )2f x ( )4f x 3 ,32      0x D∈ 成立即可（2）结合函数 为“可拆分函数”， 建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解即可. 【详解】 （1） ， ， 是“可拆分函数”， ， 不是“可拆分函数”.理 由如下: 若 ，则 ， ， ， ， ， 假设 是“可分拆函数”，则存在 ，使得 ，即 ， 而此方程的判别式 ，方程无实数解， 所以， 不是“可分拆函数”. 假设， 是“可分拆函数”，则存在 ，使得 (明显不 成立)， 不是“可分拆函数”. （2）因为函数 为“可分拆函数”， 所以存在实数 ，使得 ， 即 ，且 ， 所以 ， 令 ，则 ， 所以， ，由 得 ，即 a 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查了抽象函数的应用，结合“可拆分函数”的定义建立方程，进行转化是解决 本题的关键，属于难题. 22．已知函数 ， ． （1）若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围； （2）若存在实数 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，求 ( ) ( ) ( )0 01 1f x f x f+ = + ( ) lg 2 1x af x = + ( )1f x ( )3f x ( )5f x ( )2f x ( )4f x ( ) 2 1f x x= ( ) ( ) ( )1 1 10 1 0 1 1f f f+ = + = ( )3f x x= ( ) ( ) ( )3 3 30 1 0 1 1f f f+ = + = ( )5 2xf x = ( ) ( ) ( )5 5 51 1 1 1 4f f f+ = + = ( )2 1f x x = 0x 0 0 1 1 11x x = ++ 2 0 0 1 0x x+ + = 1 4 3 0D = - =- < ( )2 1f x x = ( )4 lnf x x= 0x ( )0 0ln 1 ln ln1x x+ = + ( )4f x ( ) lg 2 1x af x = + 0x 0 01 1lg lg lg2 1 2 3x x a a a + += ++ 0 012 1 2 1 3x x a a a + = ×+ + 0a > ( ) ( )0 0 0 01 3 2 1 3 2 1 2 1 2 2 1 x x x xa + + + = =+ × + 02xt = 0t > ( ) ( ) 3 1 3 3 2 1 2 2 2 1 ta t t += = ++ + 0t > 3 32 a< < 3 ,32      实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】试题分析：（1）把函数化简为 ，这个分段函数 是由两个二次函数构成，右边是开口向上的抛物线的一部分，对称轴是 ，左边是 开口向下的抛物线的一部分，对称轴是 ，为了使函数为增函数，因此有 ；（2）方程 有三个不相等的实数根，就是函数 的图 象与直线 有三个不同的交点，为此研究函数 的单调性，由（1）知当 时， 在 上单调递增，不合题意，当 时， ， 在 上 单调增，在 上单调减，在 上单调增，关于 的方程 有三个不 相等的实数根的条件是 ， 由此有 ，因为 ， 则有 ，由于题中是存在 ，故只要 大于 1 且小于 的 最大值；当 时同理讨论即可． 试题解析：（1） ， 当 时， 的对称轴为： ； 当 时， 的对称轴为： ； ∴当 时， 在 R 上是增函数， 即 时，函数 在 上是增函数； （2）方程 的解即为方程 的解． ①当 时，函数 在 上是增函数， ∴关于 的方程 不可能有三个不相等的实数根； ②当 时，即 ， ∴ 在 上单调增，在 上单调减，在 上单调增， ∴当 时，关于 的方程 有三个不相等的实数根；即 ， ∵ ∴ ． 设 ， ∵存在 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根， ∴ ， 又可证 在 上单调增 ∴ ∴ ； ③当 时，即 ，∴ 在 上单调增，在 上单调减， 在 上单调增， ∴当 时，关于 的方程 有三个不相等的实数根； 即 ，∵ ∴ ，设 ∵存在 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根， ∴ ，又可证 在 上单调减∴ ∴ ； 综上： ． 【考点】分段函数，函数的单调性，方程根的分布． 【名师点晴】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路: （1）直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; （3）数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求 解. 本题利用数形结合思想，可把问题转化为研究函数的单调性与最值问题，