2017-2018学年天津市和平区高二上学期期中质量调查数学试题

2017-2018学年天津市和平区高二上学期期中质量调查数学试题

天津市和平区2017-2018学年高二上学期期中质量调查 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎2．在轴、轴上的截距分别是2、的直线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若是异面直线，，则与的位置关系是（ ）‎ A．或 B．与相交或 ‎ C．与相交或 D．与相交或或 ‎ ‎4．若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．过点与且圆心在直线上的圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与之间的距离为（ ）‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎8．已知平面平面，，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共60分）‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．若点，，三点共线，则的值等于 .‎ ‎10．一个圆锥的母线为，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为 .‎ ‎11．圆上到直线的距离等于1的点有 个. ‎ ‎12．若直线与平面相交于点，，，且，则三点的位置关系是 . ‎ ‎13．如图，正方体中，给出以下四个结论：‎ ‎①平面；②与平面相交；③平面；④平面平面，其中正确结论的序号是 ．‎ ‎14．三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则 ． ‎ 三、解答题 （本大题共5题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．已知直线经过直线与直线的交点.‎ ‎（1）若直线垂直于，求直线的方程；‎ ‎（2）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.‎ ‎16．已知方程.‎ ‎（1）若此方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（2）若（1）中的圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值.‎ ‎17．如图，直三棱柱中，，，分别是的中点，求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）平面平面.‎ ‎18．如图，在四棱锥中，底面四边形是矩形，平面，分别是的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．已知为坐标原点，设动点．‎ ‎（1）当时，若过点的直线与圆：相切，求直线的方程；‎ ‎（2）当时，求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；‎ ‎（3）当时，设，过点作的垂线，与以为直径的圆交于点，垂足为，试问：线段的长是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5：ABDCD 6-8：CA ‎ 二、填空题 ‎9．4 10． 11．3 12．在同一条直线上 13．①④ 14．‎ 三、解答题 ‎15．解：由，解得 ‎∴点的坐标为.‎ ‎（1）∵直线的斜率为，‎ ‎∴与该直线垂直的直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，即.‎ ‎（2）直线的斜率为，‎ ‎∵直线与直线平行，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为，即.‎ ‎16．（1）解：∵方程表示圆，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（2）设的坐标分别为，‎ 则由消去并整理得 ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 整理得 ‎∴，‎ 解得，即的值为.‎ ‎17．（1）证法一：由直三棱柱得 平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ 又∵，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴平面.‎ 证法二：由直三棱柱得 平面平面，且平面平面，‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面 ‎∵平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴.‎ ‎（3）证法一：由直三棱柱知，四边形是矩形，‎ ‎∵分别是的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ 连接，则四边形是矩形，‎ ‎∴，且，‎ 又∵，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面 又∵，‎ ‎∴平面平面.‎ 证法二：由（2）知，平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎18、（1）证明：取的中点，连接，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，且，‎ 又∵是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面 ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，平面 ‎∴，‎ ‎∵四边形是矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，、平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ ‎∵，‎ ‎∴为等腰直角三角形 ‎∴，即二面角的大小为.‎ ‎（3）由（2）知，为等腰直角三角形 ‎∵是斜边的中点，‎ ‎∴，‎ 由（1）知，，‎ ‎∴，‎ 又由（2）知，平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴是直线在平面上的射影，‎ ‎∴为直线与平面所成的角，‎ 在中，，，‎ ‎∴，‎ 在等腰直角中，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19、(1)解：依题意，‎ 将圆：化为标准方程为：，‎ 则圆心，半径为，‎ ‎∵直线过点，‎ ‎∴当斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；‎ 当斜率存在时，设过点的直线的方程为，即.‎ ‎∵直线与圆相切，‎ ‎∴圆心到直线的距离为4，‎ 即，解得，‎ ‎∴，即，‎ 综上可得，所求直线的方程为或.‎ ‎（2）依题意得，（），‎ ‎∴以为直径的圆圆心为，半径为，‎ ‎∴圆的方程为，‎ ‎∵以为直径的圆被直线截得的弦长为2，‎ ‎∴圆心到直线的距离为 ‎，‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴圆心为，半径为，‎ ‎∴所求圆的方程为.‎ ‎（3）的长为定值.‎ 理由如下：‎ 依题意得（）‎ 由于∽，‎ 则，即，‎ ‎∵直线的方程为，即 ‎∴由点到直线的距离公式得，‎ 又由两点间的距离公式得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴的长为定值为.‎