2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二上学期中期考试数学（文）试题

2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二上学期中期考试数学（文）试题

梅河口市第五中学2017～2018学年度第一学期期中 高二年级数学（文数）试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工人，其中年龄在岁以上的有人，年龄在之间的有人，岁以下的有人，现按照分层抽样取人，则各年龄段抽取的人数分别为（ ）.‎ A．，， B．，， C．，， D．，，‎ ‎2.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别是（ ）.‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎3.已知直线：与：平行，则的值是（ ）.‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎ ‎4.．一组数据中的每一个数据都乘，再减去，得到一组新数据，若求得新数据的平均数是，方差是，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）.‎ A．， B．， C.， D．，‎ ‎5.设，则（ ）.‎ A． B． C. D．‎ ‎6.．已知两圆的圆心距，两圆的半径分别为方程的两根，则两圆的位置关系是（ ）.‎ A．相交 B．相离 C.相切 D．内含 ‎7.图中给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）.‎ A． B． C. D．‎ ‎8.对于直线，和平面，以下结论正确的是（ ）.‎ A．如果，，，是异面直线，那么 B．如果，与相交，那么，是异面直线 C．如果，，，共面，那么 D．如果，，，共面，那么 ‎9.定义行列式运算，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ）.‎ A． B． C. D．‎ ‎10.曲线与直线有两个交点,则实数的取值范围（ ）.‎ A． B． C. D．‎ ‎11.某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是（ ）.‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡相应位置上）‎ ‎13.13.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现在一月（按天计），共织尺布”，则从第天起每天比前一天多织 尺布．‎ ‎14.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 ．‎ ‎15.若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是 ．‎ ‎16.如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知，，记函数 ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）如果函数的最小值为，求的值,并求此时的最大值及图像的对称轴方程.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，底面为矩形 ，平面，是的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积，求到平面的距离.‎ ‎19. 在中，角，，对应的边分别是，，，已知 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积的最大值.‎ ‎20. 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值） ；‎ ‎（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入（单位：万元）‎ 销售收益（单位：万元）‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算 关于的回归方程.‎ 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ ‎21. 设数列的前项和为，且，为等差数列，且，.‎ ‎（1）求数列和通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎22.设平面直角坐标系中，曲线：（）．‎ ‎（1）若，曲线的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆的一般方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求圆心所在曲线的轨迹方程；‎ ‎（3）若，已知点，在轴上存在定点（异于点）满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:ABCAB 6-10:DDCBD 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解（1）‎ 所以最小正周期 ‎（2）的最小值为，所以，故 所以函数的最大值等于 由（），即（）‎ 故函数的图象的对称轴方程为（）‎ ‎18.解：（Ⅰ）设交于点，连结.‎ 因为为矩形，所以为的中点.‎ 又为的中点，所以 又平面，平面 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）‎ 由，可得.‎ 作交于.‎ 由题设易知平面，所以 故平面，‎ 又，所以到平面的距离为 法2：等体积法 由，可得.‎ 由题设易知平面，所以 假设到平面的距离为，‎ 又因为，‎ 所以 又因为（或）‎ 所以 ‎19.解：（1），得 ‎，即 解得或（舍去），‎ 因为，所以 ‎（2）由（1），，所以，‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴，（当且仅当时取等号）‎ ‎∴‎ 所以的面积的最大值为.‎ ‎20.解：（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为，‎ 可知，故；‎ ‎(Ⅱ) 由(Ⅰ)知各小组依次是，，，，，‎ ‎，其中点分别为，，，，，，‎ 对应的频率分别为，，，，，，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎(Ⅲ) 空白栏中填.由题意可知，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 根据公式，可求得，‎ 即回归直线的方程为 ‎21.解：（1）当时，‎ 当时，，‎ 此式对也成立.‎ ‎∴（）‎ 从而，‎ 又因为为等差数列，∴公差，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）可知 所以.①‎ ‎①得.②‎ ‎①②得：‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎22.解：（1）令，得曲线与轴的交点是，‎ 令，则，解得或，‎ ‎∴曲线与轴的交点是，.‎ 设圆的一般方程为，则，‎ 解得，，，‎ ‎∴圆的一般方程为；‎ ‎（2）由（1）可得 设，则，，消去，得到，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴圆心所在曲线的轨迹方程为（）;‎ ‎（3）若，圆的方程为，‎ 令，得到圆与轴交于点，‎ 由题意设轴上的点（），‎ 当点为时，，‎ 当点为时，‎ 由题意，，∴（舍去）‎ 下面证明点，对于圆上任一点，都有为一常数 设，则，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴在轴上存在定点，满足：对于圆上任一点，都有为一常数．‎