【数学】2018届一轮复习人教A版指数函数问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版指数函数问题学案

‎3.3　指数函数 问题导学 一、指数函数的概念 活动与探究1‎ 下列函数中一定是指数函数的是__________．(只填序号)‎ ‎(1)y＝10x；(2)y＝10x＋1；(3)y＝－4x；(4)y＝xx；(5)y＝xα(α是常数)；(6)y＝(‎2a－1)x.‎ 迁移与应用 ‎(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为__________；‎ ‎(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝__________.‎ ‎1．判断一个函数是否是指数函数，关键是分析该函数解析式是否完全符合指数函数解析式y＝ax(a＞0，且a≠1)，其特征是：‎ ‎①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；‎ ‎②指数位置是自变量x，且x的系数是1；‎ ‎③ax的系数是1.‎ ‎2．已知某函数是指数函数求参数值时，可采用待定系数法，先通过一个条件确定解析式中a的值，再解决其他问题．‎ 二、求指数型函数的定义域、值域(最值)‎ 活动与探究2‎ 求下列函数的定义域与值域：‎ ‎(1)；‎ ‎(2)y＝－|x|.‎ 迁移与应用 ‎1．函数y＝4的定义域是__________，值域是__________． ‎ ‎2．求y＝的定义域和值域．‎ ‎1．对于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)，其定义域就是函数f (x)的定义域，可按照求函数定义域的一般方法进行求解．‎ ‎2．求指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的值域时，通常采用逐步推的办法，先确定f(x)的取值范围，再结合指数函数的单调性求得原函数的值域．‎ 三、指数函数单调性的应用 活动与探究3‎ ‎(1)比较下列各组数的大小：‎ ‎①1.72.5与1.73；‎ ‎②－1.8与－2.6；‎ ‎③2.3－0.28与0.67－3.1.‎ ‎(2)求函数f(x)＝2x－1的单调区间．‎ 迁移与应用 ‎1．比较下列各题中两个值的大小：‎ ‎(1)0.8－0.1,0.8－0.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a＞0，a≠1)．‎ ‎2．函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值．‎ ‎1．在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的单调性得出结果；若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的单调性得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果．总之，比较时要尽量转化成同底的形式，根据指数函数的单调性进行判断．‎ ‎2．函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性与单调区间可按如下规则确定：‎ ‎(1)当a＞1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相同；‎ ‎(2)当0＜a＜1时，函数y＝af(x)的单调性、单调区间与f(x)的单调性、单调区间相反；‎ ‎(3)当底数a不确定时，要对其分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．‎ 四、指数型函数的图像及图像变换问题 ‎ 活动与探究4‎ 画出函数y＝|x|的图像，并根据图像写出函数的值域及单调区间．‎ 迁移与应用 ‎1．为了得到函数y＝2x－3－1的图像，只需把函数y＝2x的图像上所有的点(　　)．‎ A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 ‎2．若函数f(x)＝ax－1＋3(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点P，试求点P的坐标．‎ 函数图像变换问题的处理方法：‎ ‎(1)抓住图像上的特殊点．如指数函数的图像过定点(0,1)；‎ ‎(2)利用图像变换．如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)；‎ ‎(3)利用函数的奇偶性与单调性．‎ 当堂检测 ‎1．若指数函数y＝ax经过点(－1,3)，则a等于(　　)．‎ A．3 B． C．2 D． ‎2．若，，，则a，b，c的大小顺序是(　　)．‎ A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a ‎3．函数的值域是(　　)．‎ A．(－∞，0) B．(0,1]‎ C．[1，＋∞) D．(－∞，1]‎ ‎4．为了得到y＝|x－1|的图像，可以把y＝x的图像向______平移______个单位长度．‎ ‎5．试求函数f(x)＝2|x－1|的单调区间．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．y＝ax　R 预习交流1　提示：因为当a＝0时，ax总为0或没有意义；‎ 当a＜0时，如a＝－2，x＝，ax＝＝显然没意义；当a＝1时，ax恒等于1，没有研究必要．‎ 因此规定a＞0，且a≠1.‎ 预习交流2　提示：从形式上看，指数函数与幂函数的解析式都是幂的形式，但自变量x的位置不同．指数函数中幂的底数为常数，自变量出现在指数位置上，而幂函数中幂的指数是常数，自变量出现在底数位置上．‎ 预习交流3　提示：确定函数y＝ax(a＞0，a≠1，x∈R)的解析式的关键是确定底数a的值．[ ‎ ‎2．上方　(0,1)　y＞1　0＜y＜1　0＜y＜1　y＞1　增函数　减函数　y轴 预习交流4　提示：在指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)中，不论a取何值，总有f(0)＝a0＝1，所以其图像经过定点(0,1)．在指数型函数y＝k·af(x)＋b中，令f(x)＝0若得x＝x0，则其图像经过定点(x0，k＋b)．‎ 预习交流5 ‎ 提示：‎ a＞1‎ ‎0＜a＜1‎ 定义域 R 值域[ ]‎ ‎[1，＋∞)‎ ‎(0,1]‎ 奇偶性 偶函数 单调性 在(0，＋∞)上是增加的 ‎ 在(－∞，0)上是减少的 在(0，＋∞)上是减少的 在(－∞，0)上是增加的 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　(1)　解析：(1)y＝10x符合定义，是指数函数；‎ ‎(2)y＝10x＋1指数是x＋1而非x，不是指数函数；‎ ‎(3)y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；‎ ‎(4)y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数的定义，不是指数函数．‎ ‎(5)y＝xα中底数是自变量，不是指数函数．‎ ‎(6)y＝(‎2a－1)x中由于底数可能不大于0或可能为1，故不一定是指数函数．‎ 迁移与应用　(1)2　(2)　解析：(1)依题意应有解得a＝2(a＝－1舍去)．‎ ‎(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则有a－1＝4，所以a＝，即f(x)＝x.‎ 于是f(2)＝.‎ 活动与探究2　思路分析：求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x 的不等式或不等式组，解此不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，借助换元思想与指数函数的单调性求解．‎ 解：(1)∵令x－4≠0，得x≠4，‎ ‎∴定义域为{x|x∈R，且x≠4}．‎ ‎∵≠0，∴≠1.‎ ‎∴y＝的值域为{y|y＞0，且y≠1}．‎ ‎(2)由题意可知定义域为R.∵|x|≥0，‎ ‎∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1.‎ 故y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．‎ 迁移与应用　1.[1，＋∞)　[1，＋∞)　解析：要使函数有意义，则有x－1≥0，即x≥1，所以定义域是[1，＋∞)；当≥0时，y＝≥40＝1，即值域是[1，＋∞)．‎ ‎2．解：∵1－x≥0，‎ ‎∴x≤1，即x≥0.‎ ‎∴函数y＝的定义域为[0，＋∞)． ‎ 令t＝x，∴0＜t≤1.‎ ‎∴0≤1－t＜1.∴0≤＜1.‎ ‎∴y＝的值域为[0,1)．‎ 活动与探究3　思路分析：(1)由于①②中的底数相同，因此可直接应用指数函数的单调性进行比较，而③中的底数不同、指数也不同，可借助中间值来比较大小；(2)先分析函数u＝2x－1的单调性，再结合增减函数定义分析y＝u的增减性，确定单调区间．‎ 解：(1)①∵y＝1.7x在R上是增函数，且2.5＜3，‎ ‎∴1.72.5＜1.73.‎ ‎②∵y＝x在定义域R上是减函数，‎ 且－1.8＞－2.6，∴－1.8＜－2.6.‎ ‎③(中间量法)由指数函数的性质，知 ‎2．3－0.28＜2.30＝1,0.67－3.1＞0.670＝1，‎ ‎∴2.3－0.28＜0.67－3.1.‎ ‎(2)设u＝2x－1，[ ]‎ 当x∈(－∞，＋∞)时，u是增加的，‎ 而在函数y＝u中，由于0＜＜1，所以y＝u是减少的，因此当x∈(－∞，＋∞)时，f(x)＝2x－1是减少的．‎ 即函数的递减区间是(－∞，＋∞)，无递增区间．‎ 迁移与应用　1.解：(1)由于0＜0.8＜1，所以指数函数y＝0.8x在R 上为减函数．又因为－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.‎ ‎(2)1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.‎ ‎(3)当a＞1时，函数y＝ax在R上是增函数，此时a1.3＜a2.5；‎ 当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上是减函数，此时a1.3＞a2.5.‎ 综上，当a＞1时，a1.3＜a2.5；‎ 当0＜a＜1时，a1.3＞a2.5.‎ ‎2．解：若a＞1，则f(x)在[1,2]上递增，[ ]‎ ‎∴a2＋a＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．‎ 若0＜a＜1，则f(x)在[1,2]上递减，‎ ‎∴a2＋a＝6，解得a＝2(舍去)或a＝－3(舍去)．‎ 综上，a＝2.‎ 活动与探究4　思路分析：因为y＝|x|＝所以分段画出函数的图像即可．‎ 解：∵y＝|x|＝ ‎ ‎∴在平面直角坐标系内画出函数y＝x(x≥0)及y＝2x(x＜0)的图像．这两段图像合起来就是所求函数的图像，如下图．‎ 由图像可知所求函数的值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．‎ 迁移与应用　1．A　解析：由图像平移知识，可知y＝2x－3可由y＝2x向右平移3个单位长度得到，而y＝2x－3－1可由y＝2x－3向下平移1个单位长度得到，这两个步骤可交换顺序．‎ ‎2．解：由x－1＝0，ax－1＝1知，当x＝1时，f(1)＝4.‎ 故点P的坐标为(1,4)．‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1．B　解析：依题意有a－1＝3，‎ 即＝3.所以a＝.‎ ‎2．B　解析：因为y＝0.5x在R上是减函数，‎ 又＞＞，‎ 所以，即a＜b＜c.‎ ‎3．B　解析：∵≥0，‎ ‎∴≤0＝1，且＞0.‎ ‎∴所求值域为(0,1]．‎ ‎4．右　1‎ ‎5．解：设u＝|x－1|，当x∈(－∞，1]时，u是减少的．y＝2u在R上是增函数，因此 f(x)在(－∞，1]上是减少的；当x∈[1，＋∞)时，u是增加的．y＝2u在R上是增函数，因此f(x)在[1，＋∞)上是增加的，故f(x)的递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(－∞，1]．‎