2017-2018学年甘肃省天水市一中高二下学期第二学段考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 甘肃省天水市一中2017-2018学年高二下学期第二学段考试数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式的解集是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据绝对值几何意义解不等式.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此解集为，‎ 选B.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．‎ ‎2．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：令，可得，；对B，当时不成立，由此得出结论.‎ 解析：令，可得，，故C正确；对B，当时不成立.‎ 故选：C.‎ 点睛：判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质或者利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项.‎ ‎3．圆心在且过极点的圆的极坐标方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据圆心与半径写出圆标准方程，再化为极坐标方程.‎ 详解：因为圆心在且过极点，所以半径为1，圆方程为 所以 因此选C.‎ 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎4．从名同学（其中男女）中选出名参加环保知识竞赛，若这人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】从名同学选出名同学共有种情况，‎ 其中，选出的人都是男生时，有种情况，‎ 因女生有人，故不会全是女生，‎ 所以人中，即有男生又有女生的选法种数为．‎ 故选．‎ ‎5．若随机变量的分布列如表所示，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据所有概率和为1得a+b=0.8，再根据数学期望公式得a+2b=1.3,解方程组得a，b，即得值.‎ 详解：因为分布列中所有概率和为1，所以a+b=0.8，‎ 因为，所以a+2b+0.3=1.6, a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2,‎ 因此选B.‎ 点睛：分布列中 ‎6．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据随机变量服从正态分布，得，计算得结果.‎ 详解：因为随机变量服从正态分布，所以 因此选B.‎ 点睛：正态分布下两类常见的概率计算 ‎(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.‎ ‎7．设曲线的参数方程为(为参数)，直线的方程为，则曲线上到直线的距离为的点的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将参数方程化为普通方程，求出圆心和半径，再求圆心到直线的距离，判断直线和圆的位置关系，观察即可得到点的个数.‎ 解析：曲线的参数方程为(为参数)，‎ 化为普通方程为圆C：.‎ 圆心为，半径为2.‎ 则圆心到直线的距离，‎ 则直线与圆相交，‎ 则通过观察，曲线上到直线的距离为的点的个数为3个.‎ 故选C.‎ 点睛：‎ 本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查判断和运算能力.‎ ‎8．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组关系数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 变量之间呈现负相关关系 B. 可以预测，当时，‎ C. D. 由表格数据知，该回归直线必过点 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，由，得变量，之间呈负相关，故A正确；当时，则，故B正确；由数据表格可知，，则，解得，故C错；由数据表易知，数据中心为，故D正确.故选C.‎ ‎9．若动点在曲线上运动，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ，选A.‎ 点睛：利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.椭圆参数方程：， 圆参数方程：，直线参数方程：‎ ‎10．将一个底面半径为，高为的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆柱的半径为，高为，体积为，则由题意可得 ‎ ‎∴圆柱的体积为 则 ‎ ‎∴圆柱的最大体积为，此时 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．设是不相等的正数，，则的大小关系是___．(用“”连接）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于为不相等的正数,,,所以.‎ ‎12．在的二项展开式中常数项是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得，再根据次数为零确定r,代入即得结果.‎ 详解：因为，所以由得常数项是 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎13．设随机变量，随机变量，则的方差__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先根据二项分布方差公式得，再由，得4得结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因为，所以4.‎ 点睛：二项分布)，则 ‎ 若)，则.‎ ‎14．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序和实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有__________种(用数字作答).‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：先排程序有两种方法，再将和捆在一起后排，有种方法,因此共有种方法.‎ 考点：排列组合 ‎【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎15．某公司为庆祝成立二十周年，特举办《快乐大闯关》竞技类有奖活动，该活动共有四关，由两名男职员与两名女职员组成四人小组，设男职员闯过一至四关概率依次是，女职员闯过一至四关的概率依次是 ‎(1)求女职员闯过四关的概率；‎ ‎(2)设表示四人小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)分布列见解析; .‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出． （2）记女生四关都闯过为事件B，则P(B)= ，ɛ的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎(1)记事件A为“女职员闯过四关”，则P(A)＝×××＝.‎ ‎(2)记“男职员闯过四关”为事件B，则P(B)＝×××＝，易知P()＝1－＝，P()＝1－＝，‎ 易知X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝22＝，‎ P(X＝1)＝C×××2＋C×××2＝，‎ P(X＝2)＝C×22＋C×22＋C×××C××＝，‎ P(X＝3)＝C×××2＋C×××2＝，‎ P(X＝4)＝22＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.‎ ‎16．已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：第一问首先应用绝对值的意义，利用零点分段法去掉绝对值符号，，写出分段函数，即可解出不等式的解集，第二问将不等式恒成立转化为其最小值满足条件即可，此时需要用到绝对值不等式的性质.‎ 详解：（1）不等式等价于 或或，解得或 则不等式的解集为 . ‎ ‎（2）‎ ‎∵关于的不等式恒成立，∴，‎ 故实数的取值范围为.‎ 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，一是利用零点分短法解绝对值不等式，将其转化为分段函数或者若干个不等式组来完成，二是利用绝对值不等式的性质，也可以利用绝对值的几何意义，将恒成立问题转化为其最值考虑即可.‎ ‎17．在直角坐标系中，以为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），过点的直线交曲线于两点，且直线的倾斜角为 ‎（Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值.‎ ‎【答案】(1) ;.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)依题意，直线的极坐标方程为= (). 参数方程化为普通方程，然后化为极坐标方程可得曲线的极坐标方程为. ‎ ‎(Ⅱ)将=代入，得，结合韦达定理可得.‎ 详解：(Ⅰ)依题意，直线的极坐标方程为= (). ‎ 由消去,得. ‎ 将， 代入上式，‎ 得： .‎ 故曲线的极坐标方程为. ‎ ‎(Ⅱ)依题意可设, , 且， 均为正数.‎ 将=代入，得，‎ 所以， ‎ 所以.‎ 点睛：本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．在十九大“建设美丽中国”的号召下，某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案，对某种农产品的生产方式分别进行了甲、乙两种方案的改良。为了检查甲、乙两种方案的改良效果，随机在这两种方案中各任意抽取了件产品作为样本逐件称出它们的重量（单位：克），重量值落在之间的产品为合格品，否则为不合格品。下表是甲、乙两种方案样本频数分布表。‎ 产品重量 甲方案频数 乙方案频数 ‎（1）求出甲(同组中的重量值用组中点值代替)方案样本中件产品的平均数；‎ ‎（2）若以频率作为概率，试估计从两种方案分别任取件产品，恰好两件产品都是合格品的概率分别是多少；‎ ‎（3）由以上统计数据完成下面列联表，并回答有多大把握认为“产品是否为合格品与改良方案的选择有关”.‎ 甲方案 ‎ 乙方案 ‎ 合计 合格品 不合格品 合计 参考公式： ，其中.‎ 临界值表：‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎ (2) .‎ ‎(3)列联表见解析; 有的把握认为“产品质量与改良方案的选择有关”.‎ ‎【解析】分析：（1）由频率分布表求出甲方案样本中40件产品的平均数和中位数；‎ ‎（2）列出列联表，计算，根据临界值表格，作出判断.‎ 详解：‎ ‎（1）‎ 甲的中位数为 ‎（2）设从甲方案任取1件产品为合格品为事件A，则 设从乙方案任取1件产品为合格品为事件B，则 所以两件产品恰好都是合格品的概率为 ‎（3）列联表 甲方案 乙方案 合计 合格品 ‎30‎ ‎36‎ ‎66‎ 不合格品 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 合计 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ 因为 故有90%的把握认为“产品质量与改良方案的选择有关”.‎ 点睛：独立性检验的一般步骤：（I）根据样本数据制成列联表；（II）根据公式计算的值；（III） 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断．（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．）‎