湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

2019-2020 学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三(上) 期中数学试卷(理科) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，单项选择题) 1.集合 {1,2}A  ， 2{ | 3 0}B x x x   ，则 A B  （ ） A. {1,2} B. {0,1,2,3} C. [1,2] D. [0,3] 【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合 B，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：∵ {1,2}A  ， { |0 3}B x x „ „ ， ∴ {1,2}A B  ． 故选：A． 【点睛】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了 计算能力，属于基础题． 2.下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递减的是（ ） A. 1y x  B. cosy x C. 2y x= D. 1 | |y x  【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A， 1y x  ，为反比例函数，不是偶函数，不符合题意； 对于 B， cosy x ，为余弦函数，是偶函数但在区间 (0, ) 上不是减函数，不符合题意； 对于 C， 2y x= ，为二次函数，是偶函数但在区间 (0, ) 上是增函数，不符合题意； 对于 D， 1 , 01 1 , 0 xxy x xx       ，既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递减，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性， 属于基础题． 3.函数 tan(2 )4y x   的最小正周期为（ ） A. 2  B.  C. 2 D. 4  【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用正切函数的周期公式求解即可． 【详解】解：函数 tan(2 )4y x   的最小正周期为： 2  ． 故选：A． 【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，考查计算能力，属于基础题． 4.若向量 a  ，b  的夹角为 120°，| | 1a  ，若| | 3a b  r r ，则| |b  （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量数量积的运算律及法则，求出b 的模长即可得到结论． 【详解】解：设向量 a  ，b  的夹角为 ，| |b x ，∴ 120  ， ∵ 2 2 2 2 2| | ( ) ( ) ( ) 2 | | | | 2 | | | | cosa b a b a b a b a b a b                        即： 2 23 1 2 1 cos120x x       ， 从而解得： 2x  或 1x   (舍)， ∴| | 2b  ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查向量模长的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本 题的关键． 5.已知命题 :p x R  ， 2 1x x  ， 0:q x R  ， 0sin 1x  ，下列合题为真命题的是（ ） A. p q B. p q  C. p D. p q  【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式的性质以及三角函数的有界性分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系 进行判断即可． 【详解】解：∵ 2 21 31 ( ) 02 4x x x      恒成立， ∴ x R  ， 2 1x x  恒成立，即命题 p 是真命题， ∵ x R  ，sin 1x„ ， ∴ 0:q x R  ， 0sin 1x  为假命题， 则 p q  为真命题，其余为假命题， 故选：D． 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题的真假关系是解决本题 的关键．比较基础． 6.若幂函数 ( )f x x 过点 1(2, )4 ，则下列说法正确的是（ ） A. (7) ( 5)f f  B. ( 5) ( )f f   C. ( 3) ( )f f   D. ( 13) (11)f f  【答案】C 【解析】 【分析】 根据条件利用代入法求出α的值，结合幂函数的性质判断函数的奇偶性和单调性，然后进行 判断即可． 【详解】解：∵ ( )f x 过点 1(2, )4 ， ∴ 21(2) 2 24f     ， 则 2   ， 即 2 2 1( )f x x x   ， 则函数在 ( ,0) (0, )  上为偶函数， 且当 0x  时，为减函数， 则 (7) ( 5)f f  ， ( 5) ( )f f   ， ( 3) ( )f f   ， ( 13) (11)f f  ， 故只有 C 正确，其余错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数值，以及单调性比较，结合条件求出幂函数的解析式，利用幂函 数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．比较基础． 7.函数 21( ) 9lg( 1)f x xx    的定义域为（ ） A. (1,3] B. (2,3] C. (1,2) (2,3] D. (2,3) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数成立的条件进行求解即可． 【详解】解：要使函数有意义，则 29 0 1 0 lg( 1) 0 x x x         … ， 得 3 3 1 1 1 x x x       „ „ 得 3 3 1 2 x x x      „ „ 得1 2x  或 2 3x  ， 即函数的定义域为 (1,2) (2,3] ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件转化为不等式关系进行求解 是解决本题的关键． 8.若函数 , 0( ) ln , 0 xe xf x x x    „ (其中 e 为自然对数的底数)，则 2 1( ( ))f f e  （ ） A. 0 B. 1 C. 1e D. 2e 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由函数的解析式可得 f（ 2 1 e ）的值，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，函数 , 0( ) ln , 0 xe xf x x x    „ ， 2 2 2 1 1( ) ln ln( 2)f ee e     ， 2 2 1( ( ))f f ee  ， 故选：D． 【点睛】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 9.把函数 3xy  的图象向右平移 t 个单位长度，得到函数 3 5 x y  ，则 t 的值为（ ） A. 1 3 B. 3log 5 C. 5log 3 D. 1 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象变换关系，求出函数的解析式，结合指数关系进行求解即可． 【详解】解：把函数 3xy  的图象向右平移 t 个单位长度，得 33 3 x x t ty   ，此时由 3 3 3 5 x t x  得3 5t  ，得 3log 5t  ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图象变换关系以及指数幂和对数的转化，求出函数的解析式是解 决本题的关键．比较基础． 10.函数 π πln cos 2 2y x x       的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数排除 B、D, 排除 C.故选 A. 考点：函数的图象与性质． 11.关于函数 ( ) | cos | cos | 2 |f x x x  有下列四个结论： ① ( )f x 是偶函数；② ( )f x 的最小正周期为 2 ；③ ( )f x 在 3 5[ , ]4 4   上单调递增；④ ( )f x 的值 域为[ 1,2] ． 上述结论中，正确的为（ ） A. ③④ B. ②④ C. ①③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】 由二倍角的余弦公式和余弦函数的性质，化简 f（x），由 f（﹣x）＝f（x），可判断①；可令 t＝|cosx|，可得 g（t）＝2t2+t﹣1，由函数的周期性可判断②；由 y＝|cosx|的单调性，结 合复合函数的单调性可判断③；由二次函数的单调性可判断④． 【详解】解： 2( ) |cos | cos | 2 | |cos | 2cos | | 1f x x x x x     ， 由cos | | cosx x ，可得 2 2( ) |cos | 2cos 1 2 |cos | |cos | 1f x x x x x      ， 由 2( ) 2 |cos( ) | |cos( ) | 1 ( )f x x x f x       ，则 ( )f x 为偶函数，故①正确； 可令 | cos |t x ，则 [0,1]t  ， 可得 2 21 9( ) 2 1 2( )4 8g t t t t      ， ( )g t 在[0,1] 上单调递增， 由 |cos |y x 的最小正周期 ，可得 ( )f x 的最小正周期为 ，故②错误； 由 |cos |y x 在[ , ]2   递增，在 3[ , ]2  递减， 由复合函数的单调性可得， ( )f x 在 3[ , ]4   递增，在 5[ , ]4  递减，故③错误； 由 [0,1]t  ， 21 9( ) 2( )4 8g t t   ，∵ ( )g t 在[0,1] 递增，则 ( )g t 的值域为[ 1,2] ，故④正 确． 上述结论中，正确的为①④； 故选：D． 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查函数的周期性和奇偶性、值域的求法，考查 化简变形能力和运算能力，属于中档题． 12.已知函数 1 1 1( ) ( 0) x x ef x xe     与    1lnx xg x e x ae   的图象上存在关于 y 轴对称 的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 1,1 e      B. 1 ,e     C. 1,1 e      D. 11 ,e      【答案】D 【解析】 【分析】 把函数 ( )f x 与  g x 的图象上存在关于 y 轴对称的点，转化为    f x g x  在 (0, ) 有零 点，得到 1 1ln( 1) e exa x    有零点，即 y a 和 1 1( ) ln( 1) e exh x x    有交点，利用导 数求得函数 ( )h x 的单调性与最值，即可求解. 【详解】由题意，函数 1 1 1( ) ( 0) x x ef x xe     与    1lnx xg x e x ae   的图象上存在关于 y 轴 对 称 的 点 ， 可 得    f x g x  在 (0, ) 有 零 点 ， 即 1 1 1 e eln( 1) e 1e e x x x x xe x a          ， 即 1 1ln( 1) e exa x    有零点，即 y a 和 1 1( ) ln( 1) e exh x x    有交点， 因为 1 1 1( ) 1 ( 1) x x x e xh x x e e x       ，所以令   1xm x e x   ，则   1xm x e   ， 又因为 0x  ，所以   0m x  即  m x 单增， 因为  0 0m  ，所以   0m x  ，即   0h x  ，所以 h（x）在 (0, ) 单调递增， 所以 1( ) 1 eh x   ，可得 11a e   . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中 把函数 ( )f x 与  g x 的图象上存在关于 y 轴对称的点，转化为    f x g x  在 (0, ) 有零 点，分类参数转化为两个函数图象有交点是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与 运算能力，属于中档试题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.设集合 {1, 2, }A a a  ，若 3 A ，则实数 a _________． 【答案】5 【解析】 【分析】 推导出 a﹣2＝3 或 a＝3，再由集合中元素的互异性，能求出结果． 【详解】解：∵集合 {1, 2, }A a a  ，3 A ， ∴ 2 3a   或 3a  ， 当 2 3a   时， 5a  ，成立； 当 3a  时， 2 1a   ，不满足集合中元素的互异性，不成立． ∴实数 5a  故答案为：5． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 14.若函数 21( ) ln 2f x x x  ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为_________． 【答案】 32 2y x  【解析】 【分析】 求出函数的导数，求出切线的斜率切点坐标，然后求解切线方程． 【详解】解：由函数 21( ) ln 2f x x x  ，得： 1( )f x xx    ， 1(1) 2f  ， (1) 2f   ， 求得切线方程为 1 2( 1)2y x   ， 即 32 2y x  ． 故答案为： 32 2y x  ． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力，是基本知识的考查． 15.已知 ABC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 2c  ， 3 2 sina c A ，则 sin sin sin a b c A B C + + =+ + __________． 【答案】 4 3 3 【解析】 【分析】 由已知可求 4 3 3 a sinA  ，利用比例的性质即可求解． 【详解】解：∵ 2c  ， 3 2 sina c A ， ∴ 3 4sina A ， ∴ 4 3 sin 3 a A  ， ∴ 4 3 sin sin sin sin 3 a b c a A B C A      ． 故答案为： 4 3 3 ． 【点睛】本题主要考查了比例的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 16.关于以下结论： ① *n N  ， 2 2nn  ； ②函数 4 4( ) sin cosf x x x  的最小正周期为 ； ③若向量 0a b   ，则向量 a b  ； ④ 2018 2019log 2019 log 2020 ． 以上结论正确的个数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】 对命题逐一分析正误，得出结论即可． 【详解】解：对于① *n N  ， 2 2nn  ，当 3n  时， 2 9n  ，2 8n  ，∴ 2 2nn  ；故①错 误； ②函数 4 4( ) sin cos cos2f x x x x    ，所以 ( )f x 的最小正周期为T  ；故②正确； ③若向量 0a b   ，则向量 a b  ；当 0a   时或当 0b   时， 0a b   ，但 a  不垂直于b  ；故 ③错误； ④ 2018 2019log 2019 log 2020 ；④正确，证明如下： ∵ 2 2018 2019 lg2019 lg2020 (lg2019) lg2018 lg2020log 2019 log 2020 lg2018 lg2019 lg2018 lg2019       ； 而 2 2lg 2018 lg 2020lg 2018 lg 2020 ( ) (lg 2018 2020)2     2 22018 2020(lg ) (lg 2019)2   ． ∴ 2(lg2019) lg2018 lg2020 0   ； ∴ 2018 2019log 2019 log 2020 ． 故②④正确；正确的个数为 2 个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知向量 (1,2)a  ， (2,0)b  ，若 ( ) //a b c   ， ( )a b c    ，求向量 c  ． 【答案】 6 4( , )7 7c    【解析】 【分析】 设c 的坐标，结合向量垂直与平行的坐标运算，求得 c ． 【详解】解：设 ( , )c x y ， ∵ (3,2)a b   ， ( 2, )b c x y    ， 由题意得： 2 3 0 2 2 0 x y x y       ， 从而解得： 6 7 4 7 x y       ． ∴ 6 4( , )7 7c    ． 【点睛】本题考查向量垂直与平行的坐标运算，是基础题，解题时要注意向量垂直与平行的 性质的合理运用． 18.设 : 1 1p a x a    ， 2: 6 0q x x   ． (1)当 2a   时，若 p q 为假命题， p q 为真命题，求实数 x 的取值范围； (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） 3 2x    或 1 3x „ （2） 1 2a „ „ 【解析】 【分析】 （1）把 a＝﹣2 代入化简 p，求解一元二次不等式化简 q，由 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题， 得 p 与 q 一真一假，然后分类求解得答案； （2）把 p 是 q 的充分不必要条件转化为两集合端点值间的关系，列关于 a 的不等式组求解． 【详解】解：(1)当 2a   时， : 3 1p x    ， : 2 3q x   ， 由 p q 为假命题， p q 为真命题，得 p 与 q 一真一假， 若 p 真 q 假，则 3 1 2 3 x x x       或„ … ，得 3 2x  „ ； 若 p 假 q 真，则 3 1 2 3 x x x      或„ … ，得 1 3x „ ． 综上， 3 2x    或 1 3x „ ； (2)由 p 是 q 的充分不必要条件，得 1 2 1 3 a a     … „ ，解得 1 2a „ „ ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查复合命题的真假判断，考查数学转化 思想方法，是基础题． 19.已知函数 2 21( ) 3sin cos (sin cos )( )2f x x x x x x R    ． (1)求 ( )f x 的最小正周期与单调递增区间； (2)求满足 1( 2)f x   的 x 的集合． 【 答 案 】（ 1 ） 周 期 T  ， 单 调 增 区 间 为 [ , ]6 3k k     ， k Z （ 2 ） 2{ | , }3x k x k k Z     【解析】 【分析】 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调性 求函数的单调增区间； （2）直接求解三角不等式得答案． 【详解】解：(1)∵ 2 21( ) 3sin cos (sin cos )2f x x x x x   3 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 6x x x     ． ∴ 2 2T    ． 由 2 2 22 6 2k x k      „ „ ，解得 6 3k x k    „ „ ， k Z ． ∴ ( )f x 的单调增区间为[ , ]6 3k k     ， k Z ； (2)由 1sin(2 )6 2x    ，得 72 2 26 6 6k x k         ， ∴ 2 3k x k    ， k Z ． ∴满足 1( 2)f x   的 x 的集合为 2{ | , }3x k x k k Z     ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查 y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与 性质，是中档题． 20.已知函数    3 3 1f x x ax a R    . （1）当 1a  时，求函数  f x 的极值； （2）求函数  f x 在 0,1 上的最小值. 【 答 案 】（ 1 ）  f x 的 极 大 值 为    1 1,f f x  的 极 小 值 为  1 3f   ；（ 2 ）  min 1, 0 3 , 1 2 1,0 1 a f x a a a a a          . 【解析】 【分析】 （1）对  f x 求导，判断  f x 的正负，得到  f x 的单调性，然后得到  f x 的极值；（2） 对 a 进行分类，研究其导函数的正负，从而得到  f x 的单调性，求出其最值. 【详解】（1） 1a  ，所以   3 3 1f x x x   ( ) 23 3f x x¢ = - ，令   0f x  ，得 1x   所以 x 在 , 1  和  1, 上，   0f x  ，  f x 单调递增， x 在  1,1 上，   0f x  ，  f x 单调递减， 所以  f x 的极大值为  1 1f   ，极小值为  1 3f   ； （2）   23 3f x x a   ，  0,1x ①当 0a  时，   0f x  ，所以  f x 在 0,1 上单调递增，所以    min 0 1f x f   ， ②当 0a  时，令   0f x  ，得 x a  ， 所以  f x 在 0, a 上单调递减，在  ,a  上单调递增， i)当 1a  时，  f x 在 0,1 上单调递减，所以    min 1 3f x f a   ii)当 0 1a  时，  f x 在 0, a 上单调递减，在  ,1a 上单调递增，所以    min 2 1f x f a a a    综上所述：  min 1, 0 3 , 1 0 12 1, a f x a a aa a           【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和最值，分类讨论研究函数的单调性和最值，属于 中档题. 21.如图，在 ABC 中，sin sinABC DBC   ，且 D 为 AC 的中点． (1)求 BD AB 的值； (2)若 3BC  ， 8AC  ， ACB 的角平分线CE 交 BD 于 E，求 cos BCD 及 CED 的面积． 【答案】（1） 1 2 BD AB  （2） 9cos 16DCB  ， 15 7 14CDES  【解析】 【分析】 （1）由 D 为 AC 的中点，可得 S△ABC＝2S△BCD，进而利用三角形的面积公式即可求解 BD AB 的值． （2）设 BD＝x，则 AB＝2x，在△ABC，△BCD 中，利用余弦定理可得 2 264 9 4 16 9 2 8 3 2 4 3 x x       ， 解得 x2 23 2  ，可求 cos∠DCB 的值，利用角平分线的性质可求 3 4 BCE DCE S BC S DC    ，可得 S△CED 4 7  S△BCD，利用三角形的面积公式求得 S△BCD 的值，即可求解 S△CED 的值． 【详解】解：（1）∵S△ABC 1 2  AB•BC•sin∠ABC，S△BCD 1 2  BD•BC•sin∠DBC， ∵D 为 AC 的中点， ∴S△ABC＝2S△BCD，即 1 2 AB•BC•sin∠ABC＝2 1 2  BD•BC•sin∠DBC， ∵sin∠ABC＝sin∠DBC， ∴ 1 2 BD AB  ． （2）设 BD＝x，则 AB＝2x， 在△ABC 中，cos∠ACB 2 2 2 264 9 4 2 2 8 3 AC BC AB x AC BC        ， 在△BCD 中，cos∠DCB 2 2 2 216 9 2 2 4 3 DC BC BD x DC BC        ， ∴ 2 264 9 4 16 9 2 8 3 2 4 3 x x       ，解得 x2 23 2  ，则 cos∠DCB 9 16  ， ∵∠ACB 的角平分线为 CE， ∴E 到 DC，BC 的距离相等，则 3 4 BCE DCE S BC S DC    ， ∴S△CED 4 7  S△BCD， ∴S△BCD 1 2  BC•DC•sin∠DCB 1 32   4 29 15 71 ( )16 8   ， ∴S△CED 4 15 7 15 7 7 8 14    ． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，角平分线的性质在解三角形中的综 合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 22.已知函数 21( ) ln( 1)2f x x x a x    . （1）讨论  f x 的单调性； （2）对任意 [ 5, 3]a   ， (0, )x m ， *mN ，都有   0f x  恒成立，求 m 的最大值. 【答案】（1）答案见解析（2）4 【解析】 【分析】 (1)求得函数的导数 2 1( ) 1 x af x x     ，分类讨论，即可求得函数的单调区间，得到答案； (2)设 2 ( ) ln( 1) 2 xg a a x x    ，对任意 [ 5, 3]a   ，都有   0g a  恒成立，转化为函数 2 ( ) ( 3) 3ln( 1) 02max xg a g x x        对 (0, )x m ， *mN 恒成立，利用导数求得函 数 ( )h x 的单调性，即可求解. 【详解】(1)由题意，函数 21( ) ln( 1)2f x x x a x    的定义域为 ( 1, )  ，且 2 1( ) 1 1 1 a x af x x x x        ， ①当 1 0a   ，即 1a  时，   0f x  恒成立，  f x 在 ( 1, )  上单调递增； 当 1 0a   ，即 1a  时，令   0f x  得 1x a   ， ②当 0 1a  时， 1 1a    ，据此可得： 当 1 1x a     时，    ' 0,f x f x 单调递增， 当 1 1a x a     时，    ' 0,f x f x 单调递减， 当 1x a  时，    ' 0,f x f x 单调递增， ③当 0a  时， 1 1a    ，据此可得： 当 1 1x a    时，    ' 0,f x f x 单调递减， 当 1x a  时，    ' 0,f x f x 单调递增， 综上，当 1a  时，函数  f x 在 ( 1, )  上单调递增；当 0 1a  时，  f x 在区间  1, 1 a   和 1 ,a  上单调递增，在区间 1 , 1a a   上单调递减；当 0a  时，  f x 在区间 1, 1 a  上单调递增，在区间 1 ,a  上单调递减； （2）因为 (0, )x m ，所以  ln 1 0x   ， 设 2 ( ) ln( 1) 2 xg a a x x    ，对任意 [ 5, 3]a   ，都有   0g a  恒成立， 则 2 ( ) ( 3) 3ln( 1) 02max xg a g x x        对 (0, )x m ， *mN 恒成立， 设 2 ( ) 3ln( 1) 2 xh x x x     ， 由（1）知  h x 在 (0,2) 上单调递减；在 (2, ) 上单调递增； 又  0 0h  ，则  2 0h  ， 又  4 4 3ln5 0h    ， 15(5) 3ln6 02h    ，∴ 5( )4,m ， 又 *mN ，所以 4m  ，所以 m 的最大值为 4. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化 与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研 究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可 分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．