吉林省延边朝鲜族自治州汪清县第六中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

吉林省延边朝鲜族自治州汪清县第六中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020学年度第一学期汪清六中期末考卷 高二理科数学试题 一.选择题 ‎1.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的标准方程为，开口向上，焦点在轴的正半轴上，故焦点坐标为，故选C．‎ 考点：抛物线的标准方程及抛物线的简单性质．‎ ‎2.命题“，使是”的否定是（）‎ A. ，使得 B. ，使得.‎ C. ，使得 D. ，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与特称命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“，使是”的否定为“，使得”故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎3.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式性质证明A成立，举反例说明B,C,D错误 ‎【详解】因为，，所以，A正确 若，则，所以B错误；‎ 若，，则，所以C错误；‎ 若，，则，所以D错误 综上选A.‎ ‎【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎4.已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）‎ A. 18 B. 99 C. 198 D. 297‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质，可得，解得．再利用求和公式及其性质即可得出．则．‎ ‎【详解】解：由等差数列的性质，可得，‎ 解得．‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原方程可得，其焦点为，顶点为，据此可写出所求椭圆方程.‎ ‎【详解】由原方程可得，‎ 所以双曲线的焦点为，顶点为 椭圆的顶点为，焦点为，‎ 即，所以 所求的椭圆方程为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎6.已知等比数列前项和为，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由等比数列的前项和性质可知：成等比数列，再根据计算出结果.‎ ‎【详解】因为成等比数列，‎ 所以 代入数值所以，则.‎ ‎【点睛】（1）形如的式子，可表示为；‎ ‎（2）等比数列中前项和为，则有成等比数列，其中公比或时且不为偶数.‎ ‎7.“”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分必要条件的定义分别进行证明即可．‎ ‎【详解】由，可得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“成立”的充分不必要条件．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．‎ ‎8.不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式可得或者，由此解得x的范围.‎ ‎【详解】解：由不等式可得或者 不等式得解集为 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.‎ ‎9.若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　　)‎ A. －28 B. －26‎ C. 28 D. 26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵不等式 的解集为 是一元二次方程ax2+bx-2=0的两个实数根，且 ，解得 ‎ 故选C．‎ ‎10.关于的不等式对一切实数都成立，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特值,利用排除法求解即可.‎ ‎【详解】因为当时，满足题意，所以可排除选项B、C、A，故选D ‎【点睛】不等式恒成立问题有两个思路：‎ 求最值，说明恒成立 参变分离，再求最值．‎ ‎11.已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线与抛物线焦点相同，得出，利用离心率公式以及、、关系可求得、，进一步得到双曲线的渐近线方程 ‎【详解】双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，‎ 焦点为 又，‎ 由得，‎ 因此，渐近线方程为，故选A ‎【点睛】本题考察双曲线渐近线方程，利用共焦点求得是关键 ‎12.设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义有，即，，‎ 再结合题意运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.‎ 二.填空题（本题共4小题每题5分共20分）‎ ‎13.过抛物线的焦点作弦，点，，且，则_________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义得焦点弦计算公式，代入条件即得结果 ‎【详解】由抛物线定义得 ‎【点睛】本题考查抛物线定义以及抛物线中焦点弦弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.设满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎.‎ 试题分析：约束条件的可行域如图△ABC所示.当目标函数过点A(1，1)时，z取最大值，最大值为1+4×1=5.‎ ‎【考点】线性规划及其最优解.‎ ‎15.已知，，，则的最小值为________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意整体代入可得，由基本不等式可得．‎ ‎【详解】由，，，‎ 则．‎ 当且仅当＝，即a＝3且b＝时，取得最小值9．‎ 故答案为9．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求最值，整体法并凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎16.已知等比数列是递减数列，是的前项和，若是方程的两个根，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，于是可知，从而利用求和公式得到答案.‎ ‎【详解】∵是方程的两根，且，∴，，则公比，因此.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的相关计算，难度很小.‎ 三.解答题（本题共6小题，共70分）‎ ‎17.设是等差数列，，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）记的前项和为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出，由此能求出的通项公式．‎ ‎（2）由，，求出的表达式，然后转化求解的最小值．‎ ‎【详解】解：（1）是等差数列，，且，，成等比数列．‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ ‎（2）由，，得：‎ ‎，‎ 或时，取最小值．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式、前项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知数列的前n项和为,,．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设的前项和为,求证．‎ ‎【答案】（1）．（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列通项公式性质及其求和公式即可得出结果；（2）根据题意可得,然后利用裂项求和即可得出,进而即可证得结论．‎ ‎【详解】解：（1）,‎ 当时,, ‎ 又满足上式,‎ ‎． ‎ ‎（2）证明：,‎ ‎,‎ ‎．‎ ‎,,‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、裂项求和,考查了推理能力与计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题．‎ ‎19.已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值．‎ ‎【答案】(I) (II)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；‎ ‎（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；‎ ‎【详解】(I)∵准线方程x=-,得=1，‎ ‎∴抛物线C的方程为 ‎(II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则=‎ 要使+的最小，则P，A，B三点共线 此时+=+=4·‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点．‎ 求：（1）椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）弦AB的中点坐标及弦长．‎ ‎【答案】（1）（2）中点坐标为，弦长 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知得到，利用求得，从而得到标准方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，得到根与系数的关系，利用中点坐标公式求得中点坐标；再利用弦长公式求得所求弦长.‎ ‎【详解】（1）椭圆的焦点为和，长轴长为 椭圆的焦点在轴上，， ‎ 椭圆的标准方程为：‎ ‎（2）设，，线段的中点为 由，消去得：‎ ‎，‎ ‎ ‎ 弦的中点坐标为 ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆弦长及弦中点的求解，主要考查对于韦达定理、弦长公式的掌握，属于基础题型.‎ ‎21.如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点,点为上一点．‎ ‎（1）求证： 平面； ‎ ‎（2）求二面角 的余弦值；‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于O，连接EO，证明，推出 平面． （2）以CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）连接交于，连接，‎ 因四边形为矩形，，为对角线，所以为中点，又为中点，‎ 所以，平面，平面，‎ 所以 //平面．‎ ‎（2）因为底面，所以底面，‎ 又，所以以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ‎ 则，，，．，，‎ 设平面的法向量为,则有，即 令，则．‎ 由题意底面，所以为平面的法向量，‎ 所以，又由图可知二面角为钝二面角，‎ 所以二面角 余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的综合应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎22.在四棱锥中，底面为菱形， ，侧面为等腰直角三角形，，点为棱的中点．‎ ‎（1）求证：面面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的判定定理，先证明面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论成立；‎ ‎（2）先由题中数据，得到；再以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，进而可得出结果.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，为棱的中点，∴，‎ 又∵为菱形且，∴，‎ ‎∵，∴面，‎ ‎∵面，∴面面；‎ ‎（2）解：∵，，∴，，‎ 又，∴，则．‎ 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，，，‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为．‎ 由，取，得．‎ 设直线与平面所成角为．‎ 所以 ‎【点睛】本题主要考查证明面面垂直，以及求线面角的正弦值，熟记线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求线面角即可，属于常考题型.‎ ‎ ‎