2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题22 几何体的表面积与体积的求解（测）（解析版）

专题22 几何体的表面积与体积的求解 ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ （一） 选择题(12*5=60分)‎ ‎5．一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( ) ‎ A．1 B．3 C．6 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形，直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2，一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2.四棱锥的体积是.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图求几何体的体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用技巧如：割补法和等价转化法．‎ ‎2、【2020】届四川省成都实验中学高三月考】 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】几何体如图，表面积为 ，选A.‎ ‎3．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为( )‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】三棱锥的体积等于三棱锥的体积，因此，三棱锥的体积为，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.‎ ‎4.【陕西省榆林市2020届高考模拟】一个正三棱柱的三视图如图所示，则正三棱柱的外接球的表面积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得正三棱柱的示意图如图，它的高是2，底面是边长为4的正三角形，其中上下底面的中点连线的中点O′即几何体外接球的球心，线段OC即半径由几何体的性质知，O′是三角形的中心，可求得OO′＝1，‎ 又OC，所以球的表面积为4π．‎ ‎5、【北京市海淀八校2020届高三模拟测试题】我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”其中“幂”即是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体的体积相等，已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，由三视图知几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，如图：正方体的体积为，半圆柱的体积为，从而其体积为，故选B．‎ ‎6、【河南省开封市2020届高三模拟】有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的三棱锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，AD=BC=a,此时0＜a＜2．取BC中点为E,连接AE,DE,易得：BC⊥平面ADE, ‎ ‎∴‎ ‎，当且仅当4即时，等号成立，∴此三棱锥体积的取值范围是，故选：‎ ‎7.【2020届河北省承德市联校高三上学期期末】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺 ‎【答案】C ‎【解析】将该几何体补形为长方体，外接球的直径即为长方体的对角线，即，故其表面积是.‎ ‎8. 【2020届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个球体的组合体，其中四棱锥的是以侧视图为底面，其体积为 而球体的体积为 .‎ 故组合体的体积为，故选D.‎ ‎9.【2018届广东省汕头市高三上学期期末】如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．由底面底边长为4，‎ 高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面三角形外接圆的半径为 ‎，由棱柱高为4，可得，故外接球半径为 ‎，故外接球的体积为．‎ ‎10.【2020届全国名校大联考高三第四次联考】已知底面为正方形的四棱锥，各侧棱长都为，底面面积为16，以为球心，2为半径作一个球，则这个球与四棱锥相交部分的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】构造棱长为4的正方体,四棱锥O-ABCD的顶点O为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的,所以这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是 .‎ ‎11.【2020届四川省高三“联测促改”活动】设点是半径为2的球的球面上的三个不同的点，且， ， ，则三棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作△ABC的外接圆圆，球心为，由题意可得： 平面，设△ABC外接圆半径为，由正弦定理有，取中点，由可得： ，‎ 结合可知直线平面，则，结合可得： ，等腰三角形中， ，则， ，‎ 由勾股定理可得，由三棱锥体积公式可.‎ ‎12．已知长方体的体积为6， 的正切值为，当的值最小时，长方体外接球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，不妨设，由，则，由长方体的体积为6，得，则，所以 ‎，当且仅当，即时取等号，则，所以，外接球的半径为，其表面积为，故选C.‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13. 三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知设点到平面距离为，则点到平面距离为，‎ 所以 ‎14.【2020届河北省石家庄市高三毕业班教学质量检测】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若， ， ， ，则此球的表面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设三角形ABC外接圆圆心为O1,半径为r，则 ‎ 因此球半径为 ‎ ‎15.【2020届河南省商丘市高三月考】如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，且，已知四棱锥的表面积是，则它的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】四边形是边长为的正方形，且，是正四棱锥，‎ 设中点为，与交与，则平面，‎ 连接，则是四棱锥的高，因为四棱锥的表面积是，‎ ‎，即，，，‎ 故答案为.‎ ‎16.【福建省泉州市2020届高三质检】已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．‎ ‎【答案】28π ‎【解析】如图1，取的中点，连接. 因为四边形是菱形，所以在平面上的投影为 ，所以，所以平面平面. 易得外接球的球心在平面 内，如图2，在上取点，使，过点作垂直，过点作垂直于. 设与交于点 ，连接，则 ，则为球心. 易得垂直平分 ，其中，所，所以，即外接球的表面积为，故答案为.‎ 三、解答题(6*12=72分)‎ ‎17. 【河南省郑州市2020届高三月考】35．如图，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点．‎ ‎(１)证明：平面平面；‎ ‎(２)若直线与平面所成的角为，‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】(1)如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形的边 的中点，所以，又，因此平面，而平面，所以平面平面 ‎(2)设的中点为，连结,，因为是正三角形，所以 又三棱柱是直三棱柱，所以 因此平面，于是为直线与平面所成的角，由题设，，所以，在中，，‎ 所以 故三棱锥的体积。‎ ‎18．【2020届安徽省合肥市高三质量检测】如图，在多面体中， 是正方形， 平面， 平面， ，点为棱的中点. ‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎(1)证明：设与交于点，则为的中点，∴.‎ ‎∵平面， 平面，∴平面.‎ ‎∵平面， 平面，且，∴，‎ ‎∴为平行四边形，∴.∵平面， 平面，∴平面.‎ 又∵，∴平面平面.‎ （2） 连接.在正方形中， ，‎ 又∵平面，∴.‎ ‎∵,∴AC⊥平面，且垂足为， ‎ ‎∴,‎ ‎∴三棱锥的体积为.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面 平面，，， .‎ ‎(1)证明 ‎ ‎(2)设点在线段上，且，若的面积为，‎ 求四棱锥的体积 ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】(1) 平面平面 ，平面，， ‎ 在中，，，由正弦定理可得 ，，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A,∴ 平面，.‎ (2) 取的中点，连结， ，设AD＝2a，‎ 则AB＝BC＝AP＝a，PDa,则，‎ ‎∴为等腰三角形，且底边BC上的高为 ‎，的面积为. ‎ 的面积为，解得：，‎ 四梭锥的体积为 .‎ ‎20. 【山东省德州市2020届高三期末联考】如图，四棱锥中，平面平面，，，，，为线段上一点，，是线段的中点. ‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若，求四面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】(1)证明：由已知得：，取中点，连接，由为中点知，‎ ‎，，又，所以，且，‎ 即为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面 ‎(2)取中点，连接，过作，∵，∴，‎ 又平面平面，平面，∴平面，‎ 又，且，∴平面，∴‎ 中，，，∴，‎ ‎∴中，，‎ 由，到的距离为 ‎∴，∴‎ ‎21．【黑龙江省哈尔滨市2020届高三上期末】如图，四边形是边长为的正方形，为等腰三角形，，平面平面，动点在棱上，无论点运动到何处时，总有.‎ ‎(1)试判断平面与平面是否垂直，并证明你的结论；‎ ‎(2)若点为中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)存在，证明见解析；(2)‎ ‎【解析】(1)平面与平面垂直，‎ 证明如下：四边形是边长为2的正方形，所以，‎ 因为平面平面，‎ 平面，‎ 动点在棱上，无论点运动到何处时，总有，‎ 又平面，平面平面平面.‎ ‎(2)点为中点，到平面的距离等于到平面距离的一半，‎ 而到平面的距离等于到平面距离，‎ 由平面，可得 ，由平面，可得 ，‎ 所以平面，为等腰直角三角形， ‎ 到平面的距离等于，，‎ 三棱锥的体积.‎ ‎22．如图，在直三棱柱中，，是的中点，. ‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若异面直线和所成角的余弦值为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)3‎ ‎【解析】解法一：(1)连结，交于点，连结.在直三棱柱中，‎ 四边形为平行四边形，所以为的中点，又为的中点，所以，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎(2)因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，‎ 所以由条件知，在中，，，‎ ‎，，‎ ‎.又平面，平面，‎ ‎，所以，‎ ‎， ‎ ‎，所以.‎ 解法二：(1)证明：取的中点，连结，，，‎ 在直三棱柱中，四边形为平行四边形，又是的中点，‎ 所以，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又平面，平面，‎ 所以平面，又，平面，所以平面平面，‎ 又平面，所以平面.‎ ‎(2)过作于，因为平面，平面，所以，‎ 又，平面，所以平面.‎ 因为，为锐角，所以为异面直线和所成的角，‎ 所以由条件知，在中，，，‎ ‎，，，‎ 又，，，‎ 所以.‎