2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

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2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)

‎2017-2018学年河北省张家口市高二下学期期末考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合中的不等式的解集确定出,找出,的交集后直接取补集计算 ‎【详解】‎ 则或 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的解法及集合的交集,补集的运算,属于基础题。‎ ‎2.已知命题:,使得,则为( )‎ A. ,总有 B. ,使得 C. ,总有 D. ,使得 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题为特称命题,则其否定为全称命题,即可得到答案 ‎【详解】‎ 命题:,使得 ‎:,总有 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是命题及其关系,命题的否定是对命题结论的否定,属于基础题。‎ ‎3.同学聚会时,某宿舍的4位同学和班主任老师排队合影留念,其中宿舍长必须和班主任相邻,则5人不同的排法种数为( )‎ A. 48 B. 56 C. 60 D. 120‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用捆绑法,然后全排列 ‎【详解】‎ 宿舍长必须和班主任相邻则有种可能,‎ 然后运用捆绑法,将其看成一个整体,然后全排列,故一共有种不同的排法 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了排列中的位置问题,运用捆绑法来解答即可,较为基础 ‎4.从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球,每次取一个球,在第一次取出的球是白球的条件下,第二次取出的球是红球的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用条件概率计算公式即可求出结果 ‎【详解】‎ 令事件为第一次取出的球是白球,事件为第二次取出的球是红球 ‎,则根据题目要求得,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了条件概率,只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可,较为基础。‎ ‎5.若曲线在点处的切线与直线垂直,则( )‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数,根据题意列出关于的方程组,计算即可得到结果 ‎【详解】‎ ‎,则,‎ 在点处的切线与直线垂直则,,‎ 将点代入曲线中有,即 ‎,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程,两条直线垂直与斜率的关系,同时要求学生掌握求导法以及两直线垂直时斜率满足的条件。‎ ‎6.已知命题:,命题:,且是的必要不充分条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先对两个命题进行化简,解出其解集,由是的必要不充分条件,可以得到关于的不等式,解不等式即可求出的取值范围 ‎【详解】‎ 由命题:解得或,‎ 则,命题:,,‎ 由是的必要不充分条件,所以 故选 ‎【点睛】‎ 结合“非”引导的命题考查了必要不充分条件,由小范围推出大范围,列出不等式即可得到结果,较为基础。‎ ‎7.( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用积分的运算公式和定积分的几何意义即可求得结果 ‎【详解】‎ 为奇函数 又表示半圆的面积 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了积分的基本运算,以及定积分的几何意义,只要根据计算法则即可求出结果,注意几何意义。‎ ‎8.下面推理过程中使用了类比推理方法,其中推理正确的是( )‎ A. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条直线,若,则 B. 平面内的三条直线,若,则.类比推出:空间中的三条向量,若,则 C. 在平面内,若两个正三角形的边长的比为,则它们的面积比为.类比推出:在空间中,若两个正四面体的棱长的比为,则它们的体积比为 D. 若,则复数.类比推理:“若,则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断,即可得到答案 ‎【详解】‎ 对于,空间中,三条直线,若,则与不一定平行,故错误 对于,若,则若,则不正确,故错误 对于,‎ 在平面上,正三角形的面积比是边长比的平方,类比推出在空间中,正四面体的体积是棱长比的立方,棱长比为,则它们的体积比为,故错误 对于,在有理数中,由可得,,解得 ‎,故正确 综上所述,故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是类比推理,解题的关键是逐一判断命题的真假,属于基础题。‎ ‎9.设,若,则展开式中二项式系数最大的项为( )‎ A. 第4项 B. 第5项 C. 第4项和第5项 D. 第7项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用二项展开式的基本定理确定的数值,再求展开式中系数最大的项 ‎【详解】‎ 令,可得,令,则,‎ 由题意得,代入得,所以,‎ 又因为,所以展开式中二项式系数最大的项为第4项和第项,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题,属于基础题。‎ ‎10.已知,则中( )‎ A. 至少有一个不小于1 B. 至少有一个不大于1‎ C. 都不大于1 D. 都不小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法证明,假设同时大于,推出矛盾得出结果 ‎【详解】‎ 假设,,,‎ 三式相乘得,‎ 由,所以,同理,,则与矛盾,即假设不成立,所以不能同时大于,所以至少有一个不大于,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查的是用反证法证明数学命题,把要证的结论进行否定,在此基础上推出矛盾,是解题的关键,同时还运用了基本不等式,本题较为综合 ‎11.且,可进行如下“分解”:‎ 若的“分解”中有一个数是2019,则( )‎ A. 44 B. 45 C. 46 D. 47‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 探寻规律,利用等差数列求和进行判断 ‎【详解】‎ 由题意得底数是的数分裂成个奇数,底数是的数分裂成个奇数,底数是的数分裂成个奇数,则底数是数分裂成个奇数,则共有个奇数,‎ 是从开始的第个奇数,‎ ‎,‎ 第个奇数是底数为的数的立方分裂的奇数的其中一个,即,‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查了数字的变化,找出其中的规律,运用等差数列求出奇数的个数,然后进行匹配,最终还是考查了数列的相关知识。‎ ‎12.已知若存在,使得,则称与互为“1度零点函数”,若 与互为“1度零点函数”,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过题意先求出函数的零点,根据计算出函数的零点范围,继而求出实数的取值范围 ‎【详解】‎ 令,当时,或 ‎,‎ 当时,解得,‎ ‎,‎ 若存在为 “度零点函数”,不妨令 由题意可得:或 即或 设,‎ 当时,,是减函数 当时,,是增函数 ‎,当时,,由题意满足存在性 实数的取值范围为 故选 ‎【点睛】‎ 本题给出了新定义,按照新定义内容考查了函数零点问题,结合零点运用导数分离参量,求出函数的单调性,给出参量的取值范围,本题较为综合,需要转化思想和函数思想,有一定难度。‎ 二、填空题 ‎13.已知随机变量,且,,则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用随机变量,关于对称,结合已知求出结果 ‎【详解】‎ 随机变量满足,‎ 图象关于对称 ‎,‎ 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了正态分布,由正态分布的对称性即可计算出结果 ‎14.对具有线性相关关系的变量,有一组观测数据(),其回归直线方程是,且,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求得样本中心点,代入回归直线方程即可求出的值 ‎【详解】‎ 由已知,‎ 代入回归直线方程可得:‎ 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程,求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,将其代入线性回归方程即可求出结果 ‎15.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字,且至少有一个数字是奇数的三位偶数,这样的三位数一共有______个.‎ ‎【答案】54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用排列组合,先求出偶数的可能一共有多少个,然后减去三个数字都是偶数的情况 ‎【详解】‎ 当个位是偶数的时候共有种可能 三个数字都是偶数时,有种可能 则满足题意的三位数共有种 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合的数字的排序问题,只要按照题目要求进行分类求出一共的情况,然后减去不符合情况即可得出结果 ‎16.已知函数(),若对,都有恒成立,记的最小值为,则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用转化思想将题目转化为,求出的表达式,运用导数求出结果 ‎【详解】‎ 由题意可得,恒成立 ‎,解得,即 为满足题意,当直线与曲线相切时成立 不妨设切点,‎ 切线方程为 ‎,,‎ 令,,‎ 当时,,是增函数 当时,,是减函数 则 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数综合,化归转化思想,消元思想,根据题意将其转化为问题,由相切求出,将二元问题转化为一元问题,然后利用导数求出最值,有一定难度,需要仔细缜密审题,理清题意 三、解答题 ‎17.已知复数,是的共轭复数,且为纯虚数,在复平面内所对应的点在第二象限,求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,根据题意列出关于的方程组求解,再结合所对应的点在第二象限,即可求出 ‎【详解】‎ 设,则,∴‎ 又,.‎ ‎∴,联立,解得 又在第二象限,∴,即 ‎∴ ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的相关定义,设出复数的表示形式,根据题意列出方程组即可,本题较为基础,注意计算。‎ ‎18.电子商务公司对某市50000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计,发现消费金额都在5000元到10000元之间,其频率分布直方图如下:‎ ‎(1)求图中的值,并求出消费金额不低于8000元的购物者共多少人;‎ ‎(2)若将频率视为概率,从购物者中随机抽取50人,记消费金额在7000元到9000元的人数为,求的数学期望和方差.‎ ‎【答案】(1) 人(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图计算出频率,然后用样本估计总体 计算出消费金额在到的概率,然后计算的数学期望和方差 ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 消费金额不低于8000元的频率为,‎ 所以共人.‎ ‎(2)从购物者中任意抽取1人,消费金额在7000到9000的概率为,‎ 所以,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题结合频率分布直方图用样本估计总体,并计算相应值得数学期望和方差,只要运用公式即可得到结果,较为基础。‎ ‎19.某种子培育基地新研发了两种型号的种子,从中选出90粒进行发芽试验,并根据结果对种子进行改良.将试验结果汇总整理绘制成如下列联表:‎ ‎(1)将列联表补充完整,并判断是否有99%的把握认为发芽和种子型号有关;‎ ‎(2)若按照分层抽样的方式,从不发芽的种子中任意抽取20粒作为研究小样本,并从这20粒研究小样本中任意取出3粒种子,设取出的型号的种子数为,求的分布列与期望.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎,其中.‎ ‎【答案】(1) 有99%的把握认为发芽和种子型号有关(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据表格完成表格的填空并计算出做出判断 的可能值为0,1,2,3分别计算出概率,然后计算期望 ‎【详解】‎ ‎(1)‎ 所以有99%的把握认为发芽和种子型号有关.‎ ‎(2)按分层抽样的方式抽到的20粒种子中,型号的种子共4粒,型号的种子共16粒,所以的可能值为0,1,2,3,‎ ‎,,,‎ 所以的分布列为 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了的计算和分布列与期望,只要将联表补充完整,按照计算方法即可求出 ‎,继而可以求出分布列与期望,较为基础。‎ ‎20.设函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若存在两个极值点,且,,证明:.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导后对参量进行分类讨论,得到函数的单调性 由极值点求出两根之和与两根之积,将二元转化为一元来求证不等式 ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得,的定义域为,,‎ ‎①当时,,又由于,,故,所以在上单调递减;‎ ‎②当时,,,故,所以在上单调递增;‎ ‎③当时,由,解得,因此在上单调递减,在和上单调递增;‎ 综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在和上单调递增.‎ ‎(2)由(1)知,当时,有两个极值点,‎ 由,知,‎ 则 ‎,‎ 设,,‎ ‎,则在单调递增,即,‎ 则,即.‎ ‎【点睛】‎ 求含有参量的函数的单调区间,运用导数进行分类讨论,得到在定义域内不同的单调性,在证明不等式时结合的根与系数之间的关系,进行消元转化为一元问题,从而证明出结果,本题综合性较强,有一定难度。‎ ‎21.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点.‎ ‎(1)当时,求两点的极坐标;‎ ‎(2)设,求的值.‎ ‎【答案】(1) , (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将曲线化为极坐标方程,联立求出两点的极坐标 联立直线参数方程与曲线的普通方程,运用根与系数之间关系求出结果 ‎【详解】‎ ‎(1)曲线的普通方程,化为极坐标方程为 与联立,得,‎ 又∵,∴或 ‎∴两点的极坐标分别为,‎ ‎(2)直线的普通方程为化为参数方程为(为参数)①‎ 曲线的普通方程为②‎ 把①代入②,得 整理得,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎【点睛】‎ 需要运用公式将普通方程与极坐标方程和参数方程之间的转化,在求解长度问题时,运用参数方程来解答会降低计算量。‎ ‎22.已知函数.‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)若不等式的解集包含,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 或 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用分类讨论去绝对值, 然后求出不等式结果 由题意得,结合解集得出不等式组求出结果 ‎【详解】‎ ‎(1)即 ‎①当时,原不等式化为,即,解得,∴;‎ ‎②当时,原不等式化为,即,解得,∴.‎ ‎③当时,原不等式化为,即,解得,∴‎ ‎∴不等式的解集为或.‎ ‎(2)不等式可化为 问题转化为在上恒成立,又,得 ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有绝对值问题的不等式,首先需要进行分类讨论去掉绝对值,然后求出不等式结果,在第问中需要进行转化,继而只有一个绝对值问题求解。‎ ‎23.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),将圆上每一个点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线.‎ ‎(1)求直线的普通方程及曲线的参数方程;‎ ‎(2)设点在直线上,点在曲线上,求的最小值及此时点的直角坐标.‎ ‎【答案】(1) (为参数)(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用消参求出直线的普通方程,解出曲线的普通方程,然后转化为参数方程 转化为点到直线的距离,运用参数方程进行求解 ‎【详解】‎ ‎(1)由得,消元得 设为圆上的点,在已知变换下变为上的点,依题意得 由,得 ‎∴化为参数方程为(为参数)‎ ‎(2)由题意,最小值即椭圆上点到直线距离的最小值 设,(其中,)‎ ‎∴,此时,即()‎ ‎∴,∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了普通方程与参数方程之间的转化,需要运用公式熟练求解,在求最值问题时运用参量来求解,转化为三角函数的最值问题。‎ ‎24.已知函数 ‎(1)设的最大值为,求的最小值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若,且,求的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用不等式性质求出最小值 根据不等式求最大值 ‎【详解】‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴(当且仅当时取“=”号)‎ ‎∴‎ ‎(2)∵(当且仅当时取“=”号),‎ ‎(当且仅当时取“=”号),‎ ‎(当且仅当时取“=”号),‎ ‎∴(当且仅当时取“=”号)‎ ‎∴(当且仅当时取“=”号)‎ ‎∴的最大值为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据绝对值的应用求出不等式的解集,运用不等式性质求解是本题关键,注意题目中的转化。‎
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