2019-2020学年重庆市北碚区高二11月联合性测试数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市北碚区高二11月联合性测试数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市北碚区高二11月联合性测试数学试题 一、单选题 ‎1．设P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若|PF1|＝4，则|PF2|等于(　　)‎ A．22 B．21 C．20 D．13‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：用定义法，由|PF1|+|PF2|=26，且|PF1|=4，易得|PF2|‎ 解答：解：椭圆方程为＋＝1，所以，∵|PF1|+|PF2|=2a=26，‎ ‎∴|PF2|=26-|PF1|=22．‎ 故答案为A 点评：本题主要考查椭圆定义的应用 ‎2．双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：双曲线方程变形为焦点为 ‎【考点】双曲线方程及性质 ‎3．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的一条渐近线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线虚轴长是实轴长的2倍，得到，即可求解双曲线的一条渐近线方程，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，‎ 所以，所以双曲线的一条渐近线方程为，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎4． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则Δ的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题意得，由椭圆的定义可以得到，利用余弦定理，求出，故三角形面积 ‎【考点】1.椭圆的定义、标准方程；2.椭圆的性质；3.余弦定理的应用.‎ ‎5．双曲线的渐近线与圆（）相切，则r的值为（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆心到直线的距离等于半径，列方程，即可解出．‎ ‎【详解】‎ 因为双曲线的渐近线为，即，‎ 已知圆的圆心为，由直线与圆相切，‎ 得到，所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用以及利用直线与圆的位置关系求参数，属于基础题．‎ ‎6．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则p的值为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求出抛物线的焦点与椭圆的下焦点，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 椭圆的下焦点为，抛物线的焦点为，‎ ‎，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线与椭圆的简单几何性质的应用，属于基础题．‎ ‎7．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知，，所以==，解得，故选A.‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.‎ ‎8．过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对直线的斜率情况分类考虑，再利用弦长为4，求出直线的斜率，‎ 从而判断直线的条数。‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 当直线与轴垂直时，，满足题意 当直线与轴不垂直时，设直线：，‎ 联立直线与双曲线方程得：，整理得：，‎ 所以， ，又 ‎=，解得：，‎ 综上：满足这样的直线l的条数为3条 ‎【点睛】‎ 对直线斜率情况讨论。当斜率不为0时，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理 表示出，，利用弦长可得关于直线的斜率的方程，求解方程，从而判断直线条数。‎ ‎9．已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出双曲线的渐近线方程，解方程可得，再由的关系求得，然后根据离心率公式计算即可 ‎【详解】‎ 渐近线方程为，所以 则 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求双曲线离心率，根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到的关系求得 ‎10．已知椭圆=1(a>b>0)与双曲线=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知2n2=2m2+c2．‎ 又m2+n2=c2，‎ ‎∴m=．‎ ‎∵c是a，m的等比中项，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选D．‎ ‎11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为 A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋‎ ‎∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.‎ ‎∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x0≤2.‎ ‎∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.‎ ‎12．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.‎ 二、填空题 ‎13．已知过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，，则=_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：焦点坐标，准线方程，由|AF|＝2可知点A到准线的距离为2，‎ 所以轴，‎ ‎【考点】抛物线定义及直线与抛物线相交的弦长问题 点评：抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，依据定义可实现两个距离的转化 ‎14．已知双曲线（a，）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，焦点到渐近线的距离为，再结合，即可求出，得到该双曲线的方程．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，则，设其一焦点为，渐近线方程为，‎ 那么，而，解得，‎ 那么所求的双曲线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单几何性质的应用以及双曲线方程的求法，属于基础题．‎ ‎15．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】：由 得 设 则 又直线经过抛物线的焦点 ‎ 解得 ‎ 又| ‎ 即答案为.‎ ‎16．已知点是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），‎ ‎∵A（1，1）为EF中点，‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，‎ 可得，‎ 两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴=﹣‎ ‎∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 整理，得x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ 三、解答题 ‎17．中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点、，且，椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3∶7，求这两条曲线的方程.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为，则可得，，，再结合，，即可解出，得到这两条曲线的方程．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的方程为，双曲线的方程为，半焦距，‎ 由已知得：，，解得：，，‎ 所以：，，所以两条曲线的方程分别为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质的应用，以及椭圆和双曲线的方程的求法，属于基础题．‎ ‎18．已知直线被抛物线（）截得的弦长为，求抛物线的标准方程.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】联立直线与抛物线方程，由弦长公式即可求出，即得到抛物线的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 设直线与抛物线的交点为，．‎ 由 得，‎ 所以，，‎ 所以弦长为 ‎．‎ 由，解得或．‎ 经检验，或均符合题意．‎ 所以所求抛物线的标准方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，利用弦长公式求抛物线的方程，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎19．（12分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；‎ ‎【答案】‎ ‎（1）‎ ‎（2）（0，）‎ ‎【解析】（1）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 ……5分 ‎（2）由题意知 由 得 所以圆P的半径为 解得 所以点P的坐标是（0，） ……共12分 ‎20．如图，线段AB过x轴正半轴上一定点，端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线.‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若，求m的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设抛物线方程为：，直线：，联立方程，可得，即有，又，即可解出，得到抛物线方程；‎ ‎（2）由可得，，而由（1）知，，‎ ‎，代入即可解出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设抛物线方程为：，直线：，‎ ‎ 联立方程，可得，．‎ 设，所以，又因为，所以，‎ 故抛物线方程为：．‎ ‎（2）由（1）知，，所以，，又，‎ 所以，由可得，，即，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎21．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：‎ ‎（1）动点P的轨迹方程；‎ ‎（2）的最小值与最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，最小值为；当时，最大值为.‎ ‎【解析】（1）设出直线的方程和点A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程，即可求出，然后根据求出点P的坐标，消去参数，即可得到动点P的轨迹方程，再检验当k不存在时，是否也满足方程即可；‎ ‎（2）根据点P的轨迹方程求得的取值范围，再根据两点间的距离公式求出，消元，由二次函数的性质即可求出的最小值与最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线l过点，设其斜率为k，则l的方程为．‎ 设，，由题设可得点A、B的坐标是方程组的解．‎ 将①代入②并化简得，所以 于是，，‎ 设点P的坐标为，‎ 则消去参数k得，③‎ 当k不存在时，A、B中点为坐标原点，也满足方程③，‎ 所以点P的轨迹方程为．‎ ‎（2）点P的轨迹方变形为，‎ 知，即．‎ 所以 ‎，‎ 故当时，取得最小值，最小值为．‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式的应用，利用参数法求轨迹，以及二次函数的性质应用，意在考查学生的数学运算能力，综合性较强，属于中档题．‎ ‎22．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于 ‎，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．‎ 求椭圆的标准方程；‎ 点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】设椭圆C的标准方程为，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，可得，解得又，，联立解得即可；设，，由，则PA，PB的斜率互为相互数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，直线PA的方程为：，与椭圆的方程联立化为，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设椭圆C的标准方程为，‎ 椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，‎ ‎，解得．‎ 又，，‎ ‎，，‎ 可得椭圆C的标准方程为．‎ 设，，‎ ‎，则PA，PB的斜率互为相互数，‎ 可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为，‎ 直线PA的方程为：，‎ 联立，‎ 化为，‎ ‎，‎ 同理可得：，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 直线AB的斜率为定值．‎ ‎【点睛】‎ 考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎