江苏省震泽中学2019-2020学年高二下学期自主测试二数学试题

江苏省震泽中学2019-2020学年高二下学期自主测试二数学试题

‎2019~2020学年第二学期江苏省震泽中学 高二自主测试二 数学 ‎（满分130分 考试时间 90 分钟）‎ ‎ 命题人： 审题人： ‎ 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ 1. 已知复数是虚数单位，则的共轭复数是 A. B. C. D. ‎ 2. 已知在R上可导，，则 A. B. C. 0 D. 4‎ 3. 从1，3，5中取2个数，从0，2，4中取1个数，则组成没有重复数字的三位数的个数为 A. 24 B. 36 C. 48 D. 60‎ 4. 在的展开式中，含项的系数是 A. ‎ B. C. 5 D. 10‎ 5. 定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 6. 体育课的排球发球考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止设学生发球1次成功的概率为，记发球次数为X，若，则p的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 7. 斜三棱柱中，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，已知1,，则与平面所成角的正弦值为    ‎ A. ‎ B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎8．已知函数，则方程恰有两个不同的 ‎ 实根时，实数的取值范围是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎9. 已知复数其中i为虚数单位，复数z的共轭复数为，则   ‎ A. ‎ B. C. 复数z的虚部为 D. ‎ ‎10．的展开式中各项系数的和为2，则其中正确命题的序号是（ ）‎ A． B．展开式中含项的系数是-32‎ C．展开式中含项 D．展开式中常数项为40‎ 11. 如图，设分别是正方体的棱DC上两点，且，，其 ‎ 中正确的命题为    ‎ A. 三棱锥的体积为定值 B. 异面直线与EF所成的角为 C. 平面 D. 直线与平面所成的角为 ‎12. 已知函数，则下列结论正确的是     ‎ A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2‎ 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13. 已知函数，则的极大值为          ．‎ ‎14. 为庆祝新中国成立70周年，某班举办了歌唱比赛，共有5名学生报名参加，其中3 ‎ 名女生，2名男生如果2名男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出 ‎ 场顺序共有          种用数字作答．‎ ‎15. 直角三角形ABC的两条直角边，，平面ABC，，则点P ‎ 到斜边AB的距离是          ．‎ ‎16. 已知方程有4个不同的实数根，則实数的取值范围是________‎ 四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）‎ ‎17.某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的 ‎ 次数统计如表所示：‎ 培训次数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 参加人数 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ （1） 从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相 等的概率；‎ （2） 从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ 18. 天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概为, 已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．‎ ‎ 分别求甲、乙两地降雨的概率；‎ ‎ 在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列和数学期望与方差．‎ ‎19．如图，在四棱锥中，平面平面， ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎20．已知函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）设，求函数的单调区间；‎ ‎（3）设，求证：当时，函数恰有2个不同零点.‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1-8 BCCDD BAB ‎9.BCD 10.AD 11.AD 12.ABC ‎13.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】本题考查利用导数求函数的极值，考查用导数判断函数的单调性，属于基础题． 对求导，再把代入求得，从而得，再对函数求导，判断导函数的正负即可得到极大值． 【解答】解：，，，， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，取得极大值． 14.【答案】60 ‎ ‎【解析】【分析】本题考查计数原理和排列组合的运用，属于中档题． 女生甲不能排在第一个，则可分为两类：第一个为男生；第一个女生除女生甲以外分别进行计算再相加即可得出答案． 【解答】解：女生甲不能排在第一个，可分为两类： 当第一个为男生时，则第二个必为女生，后面任意，此时排法种数为 当第一个为女生女生甲除外时，则先排剩下的女生，再在产生的三个空中安排男生， 此时排法种数为． 因此出场顺序的种数为． 15.【答案】3 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】本题考查了向量的运算，点到直线的距离，属于基础题． 写出向量和的坐标，求出在上的投影，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则0，，3，，0，，所以3，，0， 所以在上的投影为， 所以点P到斜边AB的距离． 故答案为3．‎ ‎ 16.【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】 本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，研究函数的单调性和极值，借助数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【解答】 解：由，得， ， 方程等价为， 设， 则函数是偶函数， 当时，， 则， 由得，得，即，得，此时函数单调递增， 由得，得，即，得，此时函数单调递减， 即当，时，函数取得极大值 ， 作出函数的图象如图： 要使与有4个不同的交点，‎ 则满足， 故答案为．‎ ‎ 17.【答案】解：这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率． 由题意知，1，2， ， ， ， 则随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以X的数学期望． ‎ ‎【解析】本题主要考查了等可能事件的概率、对立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于基础题． 根据3名学生中至少有2名参加培训次数相等的反面是3名学生参加培训的次数各不相等，利用等可能事件概率及对立事件概率计算即可． 先确定随机变量X的所有可能取值并分别算出相应概率，得到X的分布列，再用数学期望公式计算即可． 18.【答案】解：设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且，． 由题意得，解得 ‎ 所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为． 在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为 ． X的可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以． 方差． ‎ ‎【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题． 利用相互独立事件同时发生的概率计算公式能求出甲、乙两地降雨的概率 先求出甲乙两地3天假期中仅有一地降雨的概率 由题意知，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出降雨量达到理想状态的地方个数的概率分布与期望． 19.（1）证明：在直角梯形中，由得 ‎，由得，即．‎ 又平面平面，从而平面，‎ 所以，又，从而平面．‎ ‎（2）解：作，与交于点，过点作，‎ 与交于点，连接，‎ 由（1）知，则．‎ 所以是二面角的平面角．‎ 在直角梯形中，由，得，‎ 又平面平面，得平面，从而，‎ 由于平面，得．‎ 在中，由，得．‎ 在中，由，得 在中，由，得，从而．‎ 在中，利用余弦定理分别可得．‎ 在中，．‎ 所以，，即二面角的大小是．‎ ‎20.（1）由，得，‎ ‎，‎ 曲线在处的切线方程为.‎ ‎（2），‎ 当时，，‎ 函数的单调增区间为.‎ 当时，，‎ ‎，‎ 令，得；‎ 令，得或，‎ 函数的单调增区间为；单调减区间为和.‎ 综上所述，函数的单调增区间为和；‎ 函数的单调减区间为和.‎ ‎（3）由题意知，，‎ 得，‎ 令，‎ 当时，，‎ 在上单调递增，‎ 又，，‎ 存在唯一的，使得，‎ 当时，，‎ 在上单调递减，‎ 当时，，‎ 在上单调递增，‎ 故是的唯一极值点，‎ 令，‎ 当时，，‎ 在上单调递减，‎ 即当时，，即，‎ ‎，‎ 又，‎ 函数在上有唯一的零点，‎ 又在上有唯一的零点，‎ 函数恰有2个不同零点.‎