2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期期中数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知直线的方程为x+2y﹣6=0，则该直线的斜率为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎3．（5分）已知直线l1：2x+y+1=0，直线l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，则实数a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎4．（5分）已知点A的坐标为（﹣4，4），直线l的方程为x+y﹣2=0，则点A关于l的对称点A'的坐标为（　　）‎ A． B．（﹣2，6） C．（2，4） D．（1，6）‎ ‎5．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．‎ 正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎6．（5分）若l1、l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎7．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（　　）‎ A． B． C．7 D．‎ ‎8．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎9．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．12π C．8π D．4π ‎11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BB1BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）直线y=k（x﹣2）+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，点E、F分别为A'D'、DC的中点，则线段EF的长度等于　 　．‎ ‎14．（5分）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：AA′=3：4，则S△A′B′C′：S△ABC=　 　．‎ ‎15．（5分）已知直线经过点P（1，2），且与直线y=2x+3平行，则该直线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q满足条件，则|PQ|‎ 的最大值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）证明：BD⊥CE．‎ ‎18．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与圆x2+y2﹣8x﹣12y+36=0外切，求m的值．‎ ‎19．（12分）如图，已知面AA1B1B垂直于圆柱底面，AB为底面直径，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2． 求证：‎ ‎（1）平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）求几何体A1﹣ABC的最大体积V．‎ ‎20．（12分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），D为BC的中点．求：‎ ‎（1）BC所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．‎ ‎21．（12分）已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．‎ ‎（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；‎ ‎（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．‎ ‎22．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）已知直线的方程为x+2y﹣6=0，则该直线的斜率为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎【分析】把直线的方程化为直线的斜截式，求出直线的斜率．‎ ‎【解答】解：直线l方程为：x+2y﹣6=0，化为斜截式 y=﹣x﹣3，‎ ‎∴斜率为﹣，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜截式方程，斜率的求法，属于容易题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．2‎ ‎【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），‎ 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，‎ 解得：a=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知直线l1：2x+y+1=0，直线l2：x+ay+3=0，若l1⊥l2，则实数a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】当两条直线垂直时，A1A2+B1B2=0，解方程求出a的值．‎ ‎【解答】解：已知直线l1：2x+y+1=0，和l2：x+ay+3=0，‎ 若l1⊥l2，由A1A2+B1B2=0得：2+a=0，‎ ‎∴a=﹣2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查两直线垂直的条件，体现了转化的数学思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知点A的坐标为（﹣4，4），直线l的方程为x+y﹣2=0，则点A关于l的对称点A'的坐标为（　　）‎ A． B．（﹣2，6） C．（2，4） D．（1，6）‎ ‎【分析】设点A（﹣4，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点A′的坐标为（a，b），利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得答案．‎ ‎【解答】解：设点A（﹣4，4）关于直线x+y﹣2=0的对称点A′的坐标为（a，b），‎ 则由，求得a=﹣2，b=6，故点A′（﹣2，6），‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．‎ ‎①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；‎ ‎②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．‎ 正确的命题是（　　）‎ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④‎ ‎【分析】由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，由空间中的线与面、面与面的位置关系对四个选项进行判断得出正确选项，①选项由线面垂直的条件进行判断，②选项用面面平等的判定定理判断，③选项由线线平等的条件进行验证，④选项由平行于同一平面的两个平面互相平行和一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线必平行于另一个平面进行判断．‎ ‎【解答】解：由题意，m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 考察①选项，此命题正确，若m⊥α，则m垂直于α中所有直线，由n∥α，知m⊥n；‎ 考察②选项，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是平行或相交；‎ 考察③选项，此命题不正确，因为平行于同一平面的两条直线的位置关系是平行、相交或异面；‎ 考察④选项，此命题正确，因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ，再由m⊥α，得到m⊥γ．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系的判断，解题的关键是有着较强的空间想像能力，能根据线线关系，线面关系，面面关系作出判断，本题考查了空间想像能力，推理判断的能力．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若l1、l2为异面直线，直线l3∥l1，则l3与l2的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎【分析】根据空间直线的位置关系，结合题意得直线l3与l2的所成角为锐角或直角．由此可得l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵l1、l2为异面直线，‎ ‎∴直线l1、l2所成角为锐角或直角 ‎∵l3∥l1，‎ ‎∴直线l3与l2的所成角为锐角或直角 由此可得：l3与l2不平行，即直线l3与l2的位置关系为相交或异面 故选：D ‎【点评】本题给出直线l1的平行线和与l1的异面直线，求它们的位置关系，着重考查了异面直线所成角和空间直线的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0之间的距离为（　　）‎ A． B． C．7 D．‎ ‎【分析】先将两条平行直线的系数化成对应相等，再利用距离公式，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，a=6，直线3x+4y﹣12=0可化为6x+8y﹣24=0‎ ‎∴两条平行直线之间的距离为=‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查两条平行直线之间的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．‎ ‎【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，‎ 上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，‎ ‎∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，‎ ‎∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，‎ 下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，‎ ‎∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π ‎∴空间组合体的表面积是28π，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．‎ ‎【解答】解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，‎ 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，‎ 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，‎ 解得：α=，‎ ‎∴∠AOA′=，‎ 则∠1=，‎ 过C作CF⊥OA，‎ ‎∵C为OB的三等分点，BO=3，‎ ‎∴OC=1，‎ ‎∵∠1=60°，‎ ‎∴∠OCF=30°，‎ ‎∴FO=，‎ ‎∴CF2=CO2﹣OF2=，‎ ‎∵AO=3，FO=，‎ ‎∴AF=，‎ 在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，‎ 则AC=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为（　　）‎ A．12π B．12π C．8π D．4π ‎【分析】‎ 根据球心到平面的距离结合球的截面圆性质，利用勾股定理算出球半径R的值，再根据球的表面积公式，可得球的表面积．‎ ‎【解答】解：∵平面α截球O的球面所得圆的半径为1，该平面与球心的距离d=，‎ ‎∴球半径R==‎ 根据球的表面积公式，得S=4πR2=12π 故选：B．‎ ‎【点评】本题给出球小圆半径，并且已知小圆所在平面到球心距离的情况下求球表面积，着重考查了球的截面圆性质和球表面积公式等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BB1BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据正方体的性质，可以分别看出三个点在平面ADD1A1上的投影，有一个特殊点D，它的投影是它本身，另外两个点的投影是通过垂直的性质做出的，连接三个投影点，得到要求的图形．‎ ‎【解答】解：由题意知D点在投影面上，‎ 它的投影就是它本身，‎ N在平面上的投影是AD棱的中点，‎ M在平面上的投影是AA1的中点，‎ 故选A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面垂直的性质，考查正方体的特点，是一个基础题，也是一个容易得分的题目．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）直线y=k（x﹣2）+4与曲线y=1+有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，由于曲线y=1+表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点；当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：‎ 由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），‎ 又曲线y=1+图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，‎ 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，‎ 解得：k=；‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为=，‎ 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为（，]．‎ 故选A．‎ ‎【点评】‎ 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）如图，正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，点E、F分别为A'D'、DC的中点，则线段EF的长度等于　　．‎ ‎【分析】由已知可得EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=2，点E、F分别为A'D'、DC的中点，‎ 则EF的长相当于一个长，宽，高分别为1，1，2的长方体的对角线，‎ 故EF==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′：AA′=3：4，则S△A′B′C′：S△ABC=　9：49　．‎ ‎【分析】通过平面α∥平面ABC，证明A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，转化为△ABC与△‎ A′B′C′相似，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意：∵平面α∥平面ABC，‎ ‎∴A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC，‎ ‎∴三角PA′B′相似于三角形PAB，三角形PB′C′相似于三角形PBC，三角形PA′C′相似于三角形PAC，‎ ‎∴PA′：PA=PB′：PB=A′B′：AB，PB′：PB=PC′：PC=B′C′：BC，‎ PC′：PC=PA′：PA=A′C′：AC，‎ ‎∴A′B′：AB=B′C′：BC=A′C′：AC，‎ 故得：S△A′B′C′∽S△ABC．‎ ‎∴S△A′B′C′：S△ABC=A′B′2：AB2．‎ 又∵PA′：A′A=3：4，‎ ‎∴PA′：PA=3：7，‎ A′B′：AB=3：7，‎ 所以得：S△A′B′C′：S△ABC=9：49．‎ 故答案为：9：49．‎ ‎【点评】本题通过面面平行证明线面平行到线线平面的转化，利用相似于三角形的面积之比等于边长的平方之比来求解．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知直线经过点P（1，2），且与直线y=2x+3平行，则该直线方程为　y=2x　．‎ ‎【分析】设所求直线的方程为y=2x+b，将P点代入求出b值，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵所求直线与直线y=2x+3平行，‎ ‎∴设所求直线的方程为y=2x+b，‎ ‎∵直线经过点P（1，2），‎ ‎∴2=2+b，解得：b=0，‎ 故所求直线的方程为：y=2x；‎ 故答案为：y=2x ‎【点评】本题考查的知识点是待定系数法求直线方程，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设 P点在圆x2+（y﹣2）2=1上移动，点Q满足条件，则|PQ|的最大值是　1+2　．‎ ‎【分析】由题意作出圆及不等式组表示的平面区域如图，数形结合得答案．‎ ‎【解答】解：由题意作出圆及不等式组表示的平面区域如图，‎ 由图可知，当P点纵坐标为2，Q为直线y=x与x+y=4的交点时|PQ|取最大值为1+．‎ 故答案为：1+2．‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）证明：BD⊥CE．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．‎ ‎（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．‎ ‎【解答】（本小题满分13分）‎ 证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，‎ 因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．‎ 又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）‎ 因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，‎ 所以PC∥平面BDE．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）‎ 因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD．…（10分）‎ 又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）‎ 又CE⊂平面PAC，‎ 所以BD⊥CE．…（13分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）若方程C表示圆，求m的取值范围；‎ ‎（2）若圆C与圆x2+y2﹣8x﹣12y+36=0外切，求m的值．‎ ‎【分析】（1）把方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，配方得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，若方程C表示圆，则5﹣m＞0，即可求m的取值范围；‎ ‎（2）两圆的位置关系是外切，所以d=R+r，即可求m的值．‎ ‎【解答】解：（1）把方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，配方得：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ 若方程C表示圆，则5﹣m＞0，解得m＜5；‎ ‎（2）把圆x2+y2﹣8x﹣12y+36=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y﹣6）2=16，得到圆心坐标（4，6），半径为4，则两圆心间的距离d==5，‎ 因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，正确计算是关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，已知面AA1B1B垂直于圆柱底面，AB为底面直径，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2． 求证：‎ ‎（1）平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）求几何体A1﹣ABC的最大体积V．‎ ‎【分析】（1）证明AC⊥BC，推出BC⊥平面AA1C，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，设AC=x，表示出BC，求出几何体的体积的表达式，利用二次函数的最值求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，‎ ‎∵AA1∩AC=A，AA1⊂平面AA1 C，AC⊂平面AA1 C，‎ ‎∴BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，‎ ‎∴平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）设AC=x，在Rt△ABC中，BC=（0＜x＜2），…（5分）‎ ‎∵AA1⊥平面ABC，∴AA1是三棱锥A1﹣ABC的高 因此，三棱锥A1﹣ABC的体积为V==，‎ ‎∴当x2=2，即x=时，三棱锥A1﹣ABC的体积的最大值为．‎ ‎【点评】本题以圆柱为载体，求锥体体积的最大值并求此时直线与平面所成角的正弦，着重考查了线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），D为BC的中点．求：‎ ‎（1）BC所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【分析】（1）直接利用已知条件求出点D的坐标，进一步求出直线的方程．‎ ‎（2）直接利用点斜式求出直线的方程．‎ ‎（3）首先利用直线垂直的充要条件，进一步利用点斜式求出直线的方程．‎ ‎【解答】解：（1）已知△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），D为BC的中点．‎ 则：D（0，2）‎ ‎（1）BC所在直线的方程为：y﹣1=（x﹣2）‎ 整理得：x+2y﹣4=0；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程为：y=，‎ 整理得：2x﹣3y+6=0．‎ ‎（3）与直线BC垂直的直线DE的斜率为k=2．‎ 则：直线DE的直线方程为：y﹣2=2x，‎ 整理得：2x﹣y+2=0．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：直线方程的求法，直线垂直的充要条件的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．‎ ‎（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；‎ ‎（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．‎ ‎【分析】（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直⇒‎ 线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；‎ ‎（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，‎ ‎∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH⊂平面AEFD，‎ ‎∴DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH． ‎ ‎∵，EF∥BC，∠ABC=90°．‎ ‎∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH． ‎ 又BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．‎ 又BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD． ‎ ‎（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE⊂平面AEFD．‎ ‎∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，‎ ‎∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三 棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x． ‎ 又，（0≤x≤4）． ‎ ‎∴三棱锥D﹣BCF的体积f（x）===，（0≤x≤4）．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．‎ ‎（1）求圆C1的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 ‎ C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；‎ ‎（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，‎ 整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，‎ ‎∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；‎ ‎（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），‎ 联立方程组，‎ 消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，‎ 由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜‎ 由韦达定理，可得x1+x2=，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；‎ ‎（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．‎ 理由如下：‎ 联立方程组，‎ 消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，‎ 令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，‎ 又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，‎ ‎∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，‎ k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．‎ ‎【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．‎ ‎　‎