2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省长治市潞州区长治市第二中学校高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．椭圆的离心率是（    ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由椭圆方程知，求出c，代入椭圆离心率公式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，则.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率，属于基础题.‎ ‎2．一物体按规律运动，则在时的瞬时速度是（ ）‎ A．4 B．12 C．16 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】物体在时的瞬时速度为，计算上式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 此物体在时的瞬时速度为 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查导数的变化率，属于基础题.‎ ‎3．双曲线的焦点到渐近线的距离是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由方程知，，‎ 双曲线的焦点为，，渐进线为，，‎ 到直线的距离为：，‎ 由对称性知双曲线的焦点到渐近线的距离为2.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质，涉及点到直线的距离公式，属于基础题.‎ ‎4．是“直线与直线互相垂直”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，解出即可判断.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与直线互相垂直，‎ 所以，解得，‎ 是“”的充分而不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查两直垂直的充要条件，属于基础题.‎ ‎5．已知为函数的极小值点，则=（ ）‎ A． B．3 C． D．9‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出导数，判断函数的单调性从而找出极小值点.‎ ‎【详解】‎ ‎，令，解得或，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，3为函数的极小值点，所以 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的应用，属于基础题.‎ ‎6．已知命题，命题在区间上单调递增．则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角函数的值域知p为真命题，由二次函数的单调性知q为假命题，根据带有简单逻辑连接词的命题真假判断规则判断各选项的真假.‎ ‎【详解】‎ P为真命题，函数在上单调递减，在上单调递增，q为假命题.‎ 所以为真命题，其余选项均为假命题.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查简单的逻辑连接词，判断命题的真假，属于基础题.‎ ‎7．某几何体的三视图如图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（    ）‎ A．6 B．9 C．18 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三视图知几何体为底面是正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，结合三视图中的数据求出四棱锥的体积.‎ ‎【详解】‎ 观察三视图可得几何体的图形如下：‎ 底面为正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，‎ 所以该几何体的体积为：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查三视图还原几何体，锥体的体积，属于基础题.‎ ‎8．已知上可导函数的图象如图，则不等式的解集是（  ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】则函数单调递增，所以从图中确定单调递增区间即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由图可知在上单调递增，所以的解集为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查导数的符号与函数单调性的关系，属于基础题.‎ ‎9．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积是（     ）‎ A． B．4 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出抛物线的焦点与准线，由抛物线的定义求出点P的坐标，从而求出的面积.‎ ‎【详解】‎ 焦点为，准线为，由抛物线的定义知，，‎ 因为点P在抛物线上，所以，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的图像与性质，属于基础题.‎ ‎10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出函数的导数，利用即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的导数为，若函数在上单调递增，则等价于 恒成立，‎ 若，则，满足条件；‎ 若，要使恒成立，则，解得，‎ 综上.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的作用，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.‎ ‎11．已知双曲线的左、右焦点分别是， 正三角形的一边与双曲线左支交于点B，且， 则双曲线C的离心率的值是（   ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角形为正三角形可得 的坐标，过点B作x轴的垂线，由三角形相似可得点B的坐标，代入双曲线方程化解求离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 过点B作x轴垂线，垂足是C，如图所示： ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点B的坐标 ‎ 点B在双曲线上 则 ‎ 化解得 ‎ 解得 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，属于中档题，解题的关键是利用题目中的几何关系得到关于a、b、c的齐次式，再将b消去后通过化解得到关于e的方程.‎ ‎12．已知定义在上的函数的导函数为，恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据，求导，判断函数单调性，比较的大小.‎ ‎【详解】‎ 设，则，‎ 所以函数在R上单调递减，所以，即.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数判断函数单调性，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】全称命题的否定是特称命题，易得到答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“”的否定是 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.‎ ‎【详解】‎ 依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于，‎ 所以函数在点处的切线方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎15．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，若线段的中点在轴上，则的值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据方程求出焦点坐标，由线段的中点在y轴上求出，代入双曲线方程得，分别求出，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线方程知，，，‎ 设，，线段的中点在y轴上，‎ 则，解得，‎ 因为点P在双曲线上，满足双曲线方程，即， ，‎ 设，则，，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的综合应用，属于中档题.‎ ‎16．已知三棱锥的各顶点都在以为球心的球面上，且两两垂直，，则球心到平面的距离是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设过A，B，C的截面圆的圆心为，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用两两垂直，为的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径、截面圆的半径、球心与截面的距离之间的关系求出球的半径，即可求出球心O带平面ABC的距离.‎ ‎【详解】‎ 如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为，半径为r，球心O到该截面的距离为d，‎ 因为两两垂直，且，所以,且为的中心，，解得，‎ 又，，解得，‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查多面体与球内接外切问题，侧棱两两垂直且相等的三棱锥的几何特征，考查空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设函数．‎ ‎（1）写出函数的递减区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）34‎ ‎【解析】(1)求出导数，由导数的符号判断函数单调性从而求得单调递减区间；(2)由函数在上的单调性判断出最大值有可能在或处取到，求出比较即可得到最大值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）.‎ 令..‎ 当单调递增；单调递减，‎ 单调递增.‎ 因此，函数的递减区间为 ‎（2）由（1）知，函数上的最大值有可能在处取到，‎ ‎.‎ 因此函数上的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题考查导数在研究函数中的作用，通过导数判断函数单调性与求函数最值，属于基础题.‎ ‎18．设命题实数x满足，命题．‎ ‎（1）若是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，为假命题，为真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)分别求出能使命题p，q为真的x的取值范围的集合A，B，由p是q的充分而不必要条件知，从而求出的取值范围；(2)由题意知命题p，q一真一假，对两命题的真假进行分类讨论即可求得x的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）使命题为真的的范围为集合 使命题q为真的的范围为集合 由题知,即，解得 ‎（2）当时，集合，由题知，命题p，q一真一假 若p真q假，则，解得 若p假q真，则，解得 综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查简单逻辑的判定，一元二次不等式、分式不等式的解法，由集合的包含关系求参数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知抛物线过点，直线与交于两点．‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）若线段中点为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)点的坐标代入抛物线方程即可求出p；(2) 设点，由A，B在抛物线上知，则，利用Q为中点解得，即可列出直线的点斜式方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将点，得 因此，抛物线方程为 ‎（2）设点，则 得， ③‎ 由 代入③得 因此直线的方程为，整理得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，中点坐标公式，直线点斜式方程，属于基础题.‎ ‎20．在多面体中，四边形与是边长均为4正方形，平面，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结，由题意推出，即可证明平面；（2）因为平面平面，∴，又∵，∴，∴平面，则，即可求解三棱锥的体积．‎ 试题解析：（1）连接，由题意，知，∴平面．‎ 又∵平面，∴． ‎ 又∵，∴‎ 由题意，得，∴，‎ ‎，‎ 则，∴，‎ 又∵平面 ‎∵平面，∴平面平面 ‎（2）因为平面平面，∴‎ 又∵，∴，‎ ‎∴平面，则 又，∴平面，‎ 而，所以平面，‎ ‎∴‎ ‎【考点】线面位置关系的判定与证明；三棱锥体积的计算．‎ ‎21．设椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点 在椭圆上，且的面积的最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)根据题意列出方程组，解出a，b，c即可得到椭圆的方程；(2) 设的中点为，联立直线与椭圆的方程从而求出点E的坐标，又，则，m表示成关于k的函数，再由k的范围求出m的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当P点位于上下定点时的面积取最大值，由已知得 解得 ‎ 因此，椭圆的方程为 ‎（2）设的中点为，‎ 由 ‎，，‎ ‎， ‎ ‎，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆位置关系的应用，涉及均值不等式，两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题.‎ ‎22．设函数在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求的值，并求的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）先利用导数的几何意义求出a,b的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为，再构造函数证明其最大值小于1即得证.‎ ‎【详解】‎ ‎⑴，由已知，，故a=-2,b=-2.‎ ‎，当时，，‎ 当时，，故f(x)在单调递减，在单调递减； ‎ ‎⑵，即，设，‎ ‎，所以g(x)在递增，在递减，‎ 当x≥0时，.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为证明.‎