甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二下学期第三学段（期末考试）数学（理）试题

甘肃省天水市第一中学2018-2019学年高二下学期第三学段（期末考试）数学（理）试题

天水一中2017级2018-2019学年度第二学期期末考试 理科数学试题 ‎（满分：150分时间：120分钟）‎ 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，集合，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求解出集合，根据并集的定义求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.‎ ‎2.设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得：，结合充分、必要条件的概念得解.‎ ‎【详解】 ‎ 解得：‎ 又“”可以推出“”‎ 但“”不能推出“”‎ 所以“”“” 充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等价转化思想及充分、必要条件的概念，属于基础题．‎ ‎3.已知命题：“，”，命题：“，””若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过判断命题p和q的真假，从而求得参数的取值范围.‎ ‎【详解】解：若命题：“，，为真命题，‎ 则，‎ 若命题：“，”为真命题，‎ 则，解得，‎ 若命题“”为真命题，‎ 则，都是真命题，‎ 则，‎ 解得：．‎ 故实数的取值范围为．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题，的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎4.方程的实根所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．‎ ‎【详解】构造函数，则该函数在上单调递增，‎ ‎，，，‎ 由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．‎ ‎5.已知，，，则下列结论正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.‎ 详解】；；且 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.‎ ‎6.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】令，则，故函数为偶函数，图像关于轴对称，排除C选项.由，解得且.，排除D选项.，故可排除B选项.所以本小题选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题.‎ ‎7.已知函数满足，且，当时，，则=‎ A. −1 B. 0‎ C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过函数关系找到函数周期，利用周期得到函数值.‎ ‎【详解】由，得，‎ 所以 ．又，‎ 所以 ，所以函数是以4为周期的周期函数 所以 ‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了函数的周期，利用函数关系找到函数周期是解题的关键.‎ ‎8.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，然后令，求得的值.‎ ‎【详解】依题意，令得，，故选D.‎ ‎【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的的个数是（ ）‎ A. 9 B. ‎10 ‎C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，转化为函数与函数图象的交点个数，然后作出两个函数的图象，观察图像即可．‎ ‎【详解】由于，所以，函数的周期为，且函数为偶函数，‎ 由，得出，问题转化为函数与函数图象的交点个数，作出函数与函数的图象如下图所示，‎ 由图象可知，，当时，，‎ 则函数与函数在上没有交点，‎ 结合图像可知，函数与函数图象共有11个交点，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点个数，有两种做法：一是代数法，解代数方程；二是图象法，转化为两个函数的公共点个数，在画函数的图象是，要注意函数的各种性质，如周期性、奇偶性、对称性等性质的体现，属于中等题．‎ ‎10.已知函数满足，与函数图象的交点为，则=（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知函数的图象和函数的图象都关于直线对称，可知它们的交点也关于直线对称，于此可得出的值．‎ ‎【详解】设，由于，则函数的图象关于直线对称，‎ 且函数的图象也关于直线对称，‎ 所以，函数与函数的交点也关于直线对称，‎ 所以，，‎ 令，则，‎ 所以，，因此，，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：‎ ‎（1），则函数的周期为；‎ ‎（2）或，则函数的对称轴为直线；‎ ‎（3），则函数的对称中心为.‎ ‎11.已知函数，若在上有解，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数单调性为增. ,将函数不等式关系转化为普通的不等式,再把不等式转换为两个函数的大小关系,利用图像得到答案.‎ ‎【详解】在定义域上单调递增，，则由，‎ 得，‎ ‎，则当时，存在的图象在的图象上方.‎ ‎，，则需满足.选D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性,解不等式,将不等式关系转化为图像关系等知识,其中当函数单调递增时,是解题的关键.‎ ‎12.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，则可判断，故是上的增函数，结合即可得出答案.‎ ‎【详解】解：设，‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴是上的增函数，‎ 又，‎ ‎∴的解集为，‎ 即不等式的解集为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.函数的单调减区间是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数型复合函数单调区间的求法，求得的单调减区间.‎ ‎【详解】由得，解得，所以的定义域为，由于的开口向下，对称轴为；在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知，的单调减区间为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数型复合函数单调区间的求法，属于基础题.‎ ‎14.函数的图像在处的切线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，把分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得切线方程．‎ ‎【详解】，函数的图像在处的切线方程为，即.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．‎ ‎15.已知函数是上的增函数，则实数的数值范围为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据在上的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】依题意可知且，所以.‎ 由于在上递增，所以即，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可 ‎【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，‎ 因为表示直线的斜率，当时，，设切点坐标为，，‎ 所以切线方程为，而切线过原点，所以，，，‎ 所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题 三、解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.在正项等比数列{}中，且成等差数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列{}满足，求数列{}的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据已知条件且可解得公比,再代入通项公式即可得到;‎ ‎(2)利用错位相减法可求得 ‎【详解】设正项等比数列{an}的公比为(,‎ ‎（1）∵∴,所以 ‎ ‎∴q＝2，(舍去)‎ 所以；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②得＝，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，、分别是、中点.‎ ‎（1）证明： ‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)要证，可证平面，利用线面垂直即可得到线线垂直.‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，计算平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可得到答案.‎ ‎【详解】(1)平面，‎ 又，为平面上相交直线，‎ 平面， ‎ 而等腰三角形中有 平面 而平面，. ‎ ‎(2)易知两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系 则 求得平面的一个法向量，‎ 平面的一个法向量 平面与平面所成锐二面角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查立体几何中线线垂直，二面角的相关计算，意在考查学生的空间想象能力，计算能力，转化能力，难度中等.‎ ‎19.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工（其中技术工、非技术工各名）的月工资，得到这名农民工月工资的中位数为百元（假设这名农民工的月工资均在（百元）内）且月工资收入在（百元）内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？‎ 参考公式及数据：，其中．‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过 的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在（百元）内的频率，利用频率总和为和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出，从而得到结论.‎ ‎【详解】（Ⅰ）月工资收入在（百元）内的人数为 月工资收入在（百元）内的频率为：；‎ 由频率分布直方图得：‎ 化简得：……①‎ 由中位数可得：‎ 化简得：……②‎ 由①②解得：，‎ ‎（Ⅱ）根据题意得到列联表：‎ 技术工 非技术工 总计 月工资不高于平均数 月工资高于平均数 总计 不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.‎ ‎20.已知椭圆：的离心率为，焦距为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．‎ ‎【答案】(1) .(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.‎ ‎【详解】（1）由题意可得 ，解得，‎ 又，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，,‎ 由，消去，得 ‎ 则，且， ‎ 故 ‎ ‎ ‎ 即直线，，的斜率依次成等比数列.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎21.设函数，．‎ ‎（1）若函数f（x）在处有极值，求函数f（x）的最大值；‎ ‎（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；‎ ‎【答案】（1）函数f（x）的最大值为（2）存在，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）函数f（x）在处有极值说明 ‎（2）对求导，并判断其单调性．‎ ‎【详解】解：（1）由已知得：，且函数f（x）在处有极值 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 当时，，f（x）单调递增；‎ 当时，，f（x）单调递减；‎ ‎∴函数f（x）的最大值为．‎ ‎（2）由已知得：‎ ‎①若，则时，‎ ‎∴在上为减函数，‎ ‎∴在上恒成立；‎ ‎②若，则时，‎ ‎∴在[0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴，‎ 不能使在上恒成立；‎ ‎③若，则时，‎ ‎，‎ 当时，，‎ ‎∴在上为增函数，‎ 此时，‎ ‎∴不能使在上恒成立；‎ 综上所述，b的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的极值，以及函数单调性的讨论，在解决此类问题时关键求导，根据导数判断单调性以及极值．属于难题．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可得曲线的直角坐标方程为；用消参法消去参数，得直线的普通方程.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，由直线的参数方程中的参数几何意义求解.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由（为参数），消去参数，得直线的普通方程.‎ 由，得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程为（为参数），‎ 代入，得.‎ 则，.‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 所以，的值为，定点到，两点的距离之积为.‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，参数方程转化为普通方程，直线的参数方程.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.‎ ‎（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得的最小值为，等价于，分类讨论，求得a的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，不等式，等价于；‎ 当时，不等式化为，即，解集为；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当时，不等式化为，‎ 即，解得；‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 等价于，‎ 若，则，∴；‎ 若，则，∴.‎ 综上，实数取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.‎