2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十四条件概率与独立事件、二项分布、正态分布理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十四条件概率与独立事件、二项分布、正态分布理北师大版

核心素养测评七十四 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,则球的颜色全相同的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.三次均为红球的概率为××=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为++=.‎ ‎2.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p= (　　)‎ A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9‎ ‎【解析】选A.由题意可得:p+p(1-p)+p(1-p)2=0.784,‎ 整理可得:p3-3p2+3p-0.784=0,即(p-0.4)(p2-2.6p+1.96)=0,‎ 该方程存在唯一的实数根p=0.4.‎ ‎3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)= (　　)‎ A.1- B.‎ C.1- D.‎ - 9 -‎ ‎【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以 P==,P=,‎ 所以P===1-.‎ ‎4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是 (　　) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)∪(AB)∪(AC),且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,‎ 所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)‎ ‎=P(A)P(B)P(C)+P(A)·P(B)P()+P(A)P()P(C)‎ ‎=××+××1-+×1-×=.‎ ‎5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为 (　　) ‎ A. B. C. D.‎ - 9 -‎ ‎【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(··)=P()·‎ P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=1-×1-×1-=.‎ 所以击中的概率P=1-P(··)=.‎ ‎6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,则n的最小值为 (　　)‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解析】选A.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,‎ 事件“至少有一次正面向上”的概率为pp≥,‎ 所以p=1-n≥,所以n≤.‎ 所以n的最小值为4.‎ ‎7.已知随机变量X服从二项分布X～B6,,则P(X=2)等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布X～B6,,所以 P(X=2)=21-4=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为________________. ‎ ‎【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A∩)‎ ‎=0.6×0.3=0.18, P(∩B)=0.4×0.7=0.28,P(∩)=0.4×0.3=0.12,所以甲、乙至多一人击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.‎ 答案:0.58‎ - 9 -‎ ‎9.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________________. ‎ ‎【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=.‎ 答案:‎ ‎10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp>,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为 ________________,设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量ξ的分布列为 ________________.  ‎ ‎【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.‎ 所以有p2+(1-p)2=.解得p=或p=.‎ 因为p>,所以p=.‎ 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6. ‎ 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.‎ 从而有P(ξ=2)=,P(ξ=4)=1-×=, ‎ P(ξ=6)=1-×1-×1=.‎ 所以随机变量ξ的分布列为:‎ ξ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ P - 9 -‎ 答案:　‎ ξ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ P ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)= (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D. 因为P==,‎ P==,所以P===.‎ ‎2.(5分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+×‎ ‎×+×××=.‎ - 9 -‎ ‎3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:‎ ‎①他第3次击中目标的概率是0.9;‎ ‎②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1;‎ ‎③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.‎ 其中正确结论的序号是________________. ‎ ‎【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,‎ 所以第3次击中目标的概率是0.9,‎ 所以①正确,‎ 因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,‎ 所以本题是一个独立重复试验,‎ 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,所以②不正确,‎ 因为至少击中目标1次的概率用对立事件,表示是1-0.14.所以③正确.‎ 答案:①③‎ ‎4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内. ‎ ‎(1)恰有一套设备能正常工作的概率;‎ ‎(2)能进行通讯的概率.‎ ‎【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,‎ ‎“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.‎ 由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,‎ P()=1-p3,P()=1-p3.‎ ‎(1)恰有一套设备能正常工作的概率为 P(A·+·B)=P(A·)+P(·B)‎ ‎=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.‎ ‎(2)两套设备都不能正常工作的概率为 P( · )=P()·P()=(1-p3)2.‎ 至少有一套设备能正常工作的概率,‎ - 9 -‎ 即能进行通讯的概率为1-P(·)=1-P()·P()=1-(1-p3)2=2p3-p6.‎ ‎【变式备选】‎ 甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;‎ ‎(2)Pn(用n表示)的值.‎ ‎【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= ×+×+×=.‎ ‎(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以Pn=(1-Pn-1), n= 2, 3, 4, …, 因此 ‎　　　 P3=(1-P2)=×= ,‎ P4=(1-P3)=×= ,‎ P5=(1-P4)=×= ,‎ P6=(1-P5)=×= , ‎ 因为Pn=(1-Pn-1) ,‎ 所以Pn-=-Pn-1-,‎ Pn-=P1-·,‎ 所以Pn=-·.‎ - 9 -‎ ‎5.(10分)(2020·太原模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入,力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:‎ ‎(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).‎ ‎(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为年平均收入,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:‎ ‎(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.15%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?‎ ‎(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了 ‎1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?‎ 附:参考数据与公式≈2.63,X～N(μ,σ2)‎ 则①P(μ-σμ-σ)=+=84.15%,所以μ-σ=17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.‎ - 9 -‎ ‎(ii)由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=0.5+≈97.7%,得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977,‎ 记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ～B(103,p),其中p=97.7%,‎ 于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(ξ=k)‎ ‎=pk(1-p,‎ 从而由=>1,得k<1 001p,‎ ‎ 而1 001p=977.977,所以,当0≤k≤977时,P(ξ=k-1)P(ξ=k+1),‎ 由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是977.‎ - 9 -‎