高考数学精英备考专题讲座 选择题的解题策略(2)

高考数学精英备考专题讲座 选择题的解题策略(2)

选择题的解题策略（2） 【解法五】 图解法： 据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习 惯上也叫数形结合法. 例1 设函数 ( ) 4sin(2 1)f x x x   ，则在下列区间中函数 ()fx不．存在 零点的是（ ） A. 4, 2 B. 2,0 C. 0,2 D. 2,4 点拨：此题考查函数零点问题，可转化为两个 熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数 在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值 大小关系. 解：将  xf 的 零 点 转 化 为 函 数       xxhxxg  与12sin4 的交点，数形结合，答案选 A. 易错点：图像不准确，忽略关键点，易解错. 例 2 （2011 高考江西卷理）若曲线 1C ： 0222  xyx 与曲线 2C ： 0)(  mmxyy 有 4 个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（ ） A. )3 3,3 3( B. )3 3,0()0,3 3(  C. ]3 3,3 3[ D. ),3 3()3 3,(   点拨： 此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思 想进行求解. 曲线 ： 1)1( 22  yx ，图像为圆心为（1,0），半径为 1 的 圆 ； 曲 线 ： 0y ， 或 者 0 mmxy ， 直 线 0 mmxy 恒过定点 )0,1( ，即曲线 图像为 x 轴与恒过定 点 )0,1( 的两条直线。作图分析： O x y 1 1 1l 2l 3 330tan1 k ， 3 330tan2 k ，又直线 1l （或直线 2l ）、 x 轴与圆共有四个不 同的交点，结合图形可知 )3 3,0()0,3 3(  km 易错点：（1）忽略曲线方程 2C ： 0)(  mmxyy 表示的是两条直线（2）求直线与曲线相 切时 m 的值时不结合图像取值导致错误. 例 3 直线 3 23yx与圆心为 D 的圆 3 3 cos ,( [0,2 )) 1 3sin x y        交于 A、B 两点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 （ ） A. 7 6  B. 5 4  C. 4 3  D. 5 3 点拨：此题是直线与圆的综合题，考查圆的参数方程，直线的倾斜角及圆的性质，应用图解. 解：数形结合，设直线 AD 与 BD 的倾斜角分别为 ,，则 6EAD     ， 6 ABD    ， 由圆的性质可知 ABD BAD   ，故 66EAD ABD         33EAD ABD         4 3  . 所以答案选 C. 易错点：考虑代数解法，利用圆的方程和 直线方程进行求解，过程复杂，计算困难 导致错误. 点评：严格地说，图解法并非属于选 择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略. 但它在解有关选择题时非常简便有效.不 过运用图解法解题一定要对有关函数图像，方城曲线，几何图形较熟悉，否则错误的图像会 导致错误的选择. 【解法六】 分析法： （1） 特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快 速推理，迅速作出判断的方法. 例 4 已知 3 4 2sin ,cos ( )5 5 2 mm mm        ，则 tan 2  等于( ) A. 3 9 m m   B. 3 9 m m   C. 1 3 D. 5 点拨：此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为 1 求 m 的值， 再根据半角公式求 tan 2  ，运算较复杂，试根据答案数值特征分析. 解：由于受条件 22sin cos 1的制约， m 为一确定的值，进而推知 也为一确定的 值，又 2  ，因而 422   ，故 tan 12   ，所以答案选 D. 易错点：忽略 ， 为一确定的值导致结果与 有关. （2） 逻辑分析法：通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，选出正确项 的方法. 例 5 当 [ 4,0]x 时， 2 4413a x x x     恒成立，则 a 的一个可能值是（ ） A. 5 B. 5 3 C. 5 3 D.-5 点拨：此题是有关不等式恒成立的问题，可运用数形结合的思想进行求解，较复杂. 解：由 2 40xx   知 A 真 B 真 C 真 D 真，假设 A,B,C 真，则均有两个以上正确答 案，所以根据选择题答案唯一的特点，答案选 D. 也可利用数形结合思想求解. 易错点：忽略不等式的特点，平方转化为二次不等式，导致错误. （3） 定性分析法：通过题干中已知条件对结论进行定性分析，再通过与选项的对比得出结 论. 【解法七】估值法： 对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项. 例 6 若 4cos 5a  ，a 是第三象限的角， 则sin( )4a  =（ ） A. 72 10 B. 72 10 C. 2 10 D. 2 10 点拨：此题考查同角三角函数关系及两角和公式，可根据角的范围 先求出 的正弦值，再根据两角和公式求 . 解：根据单位圆估算 2sin( )42a    , 所以答案选 A. 易错点：忽略角的范围，求正弦值得出两个答案，以致思路受阻. 例 7 据 2002 年 3 月 5 日第九届全国人大五次会议《政府工作报告》：“2001 年国内生产总值达 到 95933 亿元，比上年增长 7. 3%. 如果“十五”期间（2001-2005 年）每年的国内生产 总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ） A.115000 亿元 B. 120000 亿元 C. 127000 亿元 D. 135000 亿元 点拨：此题考查等比数列在实际生活中的应用，容易列式，但结果的数值难算，应进行估算. 解： 4495933(1 7.3%) 96000(1 7.3%) 96000(1 4 7.3%) 96000 1.3        124800 且 4495933(1 7.3%) 95000(1 7%) 95000(1 4 7%) 95000 1.28 121600         所以答案选 C. 易错点：没有想清楚 2005 年生产总值是以 95933 为首项，(1 7.3%) 为公比的等比数列的第 五项，错列式 595933(1 7.3%) 导致错误. 例 8 已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且 2AB BC CA   ，则球面面积是（ ） A.16 9  B. 8 3 C. 4 D. 64 9  点拨：此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利 用勾股定理求出球半径，再求球面面积. 解：球的半径 R 不小于△ ABC 的外接圆半径 23 3r  ，则 2216=4 4 53S R r     球 ， 所以答案选 D. 点评：估值法，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷. 其应 用广泛，减少了运算量，却加强了思维的层次，是人们发现问题、研究问题、解决问题的一 种重要方法. 【解法八】逆推法： 假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论， 从而找出正确答案. 例 9 用 min{ , }ab 表示 ,ab两数中的最小值. 若函数 ( ) min{ , }f x x x t的图像关于直线 1 2x  对称，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 点拨：此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于 的值未知，图像 不容易确定，所以从选项假设出发. 解：根据图像， 2t  时，函数 ()fx的图像关于直线 1x  对称， 2t  时，函数 的图 像关于直线 1x  对称， 1t  时，函数 的图像关于直线 1 2x  对称，所以答案选 D. 例 10 在 ABC 中， ,,A B C   所对的边分别为 ,,abc，若 sin sinsin cos cos ABC AB   ，则 是（ ） A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 点拨：此题考查解三角形，条件比较难转化，考虑从选项出发. 解：等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项 B 正确.此时 60A B C   , 3sin 2C  ， 33 sin sin 22 311cos cos 22 AB AB    ，不满足题目条件，所以 A， B，C 均不满足 题意，故答案选 C. 易错点：利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和180 . 例 11 平行四边形的周长等于 26 , 120m ABC， BCD 的内切圆半径等于 3m ，已知 AD AB ，则它的边长是（ ）. A. 5 , 8AD m AB m B. 8 , 5AD m AB m C. 26 13,33AD m AB m D. 9 , 4AD m AB m 点拨：此题考查解三角形问题，条件多而复杂，考虑从选项出发. 解： ，显然 A 选项不符合. 以“周长等于 ”为条件，假设选项 B 正确，即 ，则在 BCD 中, 8 , 5 , 60BC m CD m C    ,根据余弦定理可求得 7BD  ，从而 的内切圆半径 1 5 8 sin 60 10 32 31 10(5 7 8)2 r        ，恰好符合条件，所以答案选 B. 点评：逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法， B C DA 排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得 出的答案唯一. 从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要 的，但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因. 另外，在解答一道选择题 时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自 身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确，快速. 总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想，但更应该充分挖掘题目的“个性”， 寻求简便方法，充分利用选项的暗示作用，迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确 地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间. 习题 7-2 1. 若 a0，b0，则不等式 1 xba   等价于（ ） A． 1 x0b   或 10xa B. 11xab   C. 1x a 或 1x b D. 1x b 或 1x a 2.已知以 4T  为周期的函数 21 , ( 1,1]() 1 2 , (1,3] m x xfx xx         ，其中 0m  ．若方程3 ( )f x x 恰 有 5 个实数解，则 m 的取值范围为（ ） A． 15 8( , )33 B． 15( , 7)3 C． 48( , )33 D． 4( , 7)3 3. 如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD是 边长为3 的正方形， EF ∥ AB , 3 2EF  , EF 与面 AC 的距离为 2 ，则该多面体的体积为（ ） A. 9 2 B.5 C. 6 D. 15 2 4. 已知 1sin cos 5xx，且0 x ，则 tan x 的值是 （ ） A. 4 3 B. 3 4 C. 3 4 D. 4 3 5. 如图，在Δ ABC 中，AD AB ， 3BC BD , 1AD  ，则 AC AD = （ ） A B CD A. 23 B. 3 2 C. 3 3 D. 3 6．将正奇数1,3,5,7,9,，排成 5 列，按右图的格式排下去， 1985 所在的列从左数起是（ ） A.第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 7. 如果 2log 13a  ，那么 a 的取值范围是（ ） A. 20 3a B. 2 3a  C. 2 13 a D. 2013aa  或 【答案】 习题 7-2 1. D. 提示：（特例法）可令 11, 22a b x   ， ，代入知 D 为真. 也可解不等式直接判断. 2.B. 提示：（图解法）直线 3 xy  与 ()y f x 图像要有五个交点时须保证直线与函数在[3,5] 上的 图像（半椭圆）有两个交点，与[7,9] 上的图像没有交点，相切是临界位置. 3. D. 提示：法一：(直接法)将几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥. 1 3 5 7 15 13 11 9 17 19 21 23 31 29 27 25 33 35 37 39 ... ... ... ... w w w . k s 5 u . c o m 高 考 资 源 网 ( w w w . k s 5 u . c 法二：（估值法）由已知条件可知， EF ∥平面 ABCD，则 F 到平面 的距离为 2 ，所 以 21 3 2 63F ABCDV      ，而多面体的体积必大于 6，故选择 D. 4. A. 提示：（逆推法）假设 tan x 4 3 ，且0 x ，易得 43sin ,cos55xx   ，满足题意.也 可将等式两边平方得到sin cosxx ，联立方程求出sin ,cosxx，进而求出 . 5. D. 提示：(图解法)本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化 归与转化的数学思想,有点难度.作 CE 垂直 AD 的延长线于 E，则 CE∥AB，利用平面几何知识进行求解. AC AD =| | (| | cos )AD AC DAC    | | | |AD AE , 而 | | | | 3 | | | | AE BC AD BD ，即 23 | |AD = 3 . 也可将 AC 转化. 6.C. 提示：(特征分析法)第一列数被 16 除余 15，第二列数被 16 除余 1 或 13，第三列数被 16 除余 3 或 11，第四列数被 16 除余 5 或 9，，第五列数被 16 除余 7.也可直接找规律. 7.D. 提示：(逆推法) A B C E D