2018年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

2018年高考真题——理科数学（天津卷）解析版

绝密★启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时，考 生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么 . 如果事件 A，B 相互独立，那么 . 棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高. 棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集为 R，集合 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得 ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得： ， 结合交集的定义可得： . 本题选择 B 选项. 点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A. 6 B. 19 C. 21 D. 45 【答案】C 【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解 最大值即可. 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为： ， 据此可知目标函数的最大值为： . 本题选择 C 选项. 点睛：求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最 大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上 截距最小时，z 值最大. 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据： ， ，结果为整数，执行 ， ，此时不满足 ； ，结果不为整数，执行 ，此时不满足 ； ，结果为整数，执行 ， ，此时满足 ； 跳出循环，输出 . 本题选择 B 选项. 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 4. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式 ， 由 . 据此可知 是 的充分而不必要条件. 本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. 5. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知： ， ， ， 据此可得： . 本题选择 D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数 不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时， 若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指 数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减 C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减 【答案】A 【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知： 将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递增区间为： . 函数的单调递减区间满足： ， 即 ， 令 可得一个单调递减区间为： . 本题选择 A 选项. 点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力. 7. 已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点. 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由题意首先求得 A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得 b 的值，之后求解 a 的值即 可确定双曲线方程. 详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ， 由 可得： ， 不妨设： ， 双曲线的一条渐近线方程为： ， 据此可得： ， ， 则 ，则 ， 双曲线的离心率： ， 据此可得： ，则双曲线的方程为 . 本题选择 C 选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准 方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程， 求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 λ 的值即可. 8. 如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的 动点，则 的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函 数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ， 点 在 上，则 ，设 ，则： ，即 ， 据此可得： ，且： ， ， 由数量积的坐标运算法则可得： ， 整理可得： ， 结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 . 本题选择 A 选项. 点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体 应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项： 1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2. 本卷共 12 小题，共 110 分。 二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9. i 是虚数单位，复数 ___________. 【答案】4–i 【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 详解：由复数的运算法则得： . 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10. 在 的展开式中， 的系数为____________. 【答案】 【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到 r 的值，然后求解 的系数即可. 详解：结合二项式定理的通项公式有： ， 令 可得： ，则 的系数为： . 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项) 和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数， 且 n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 11. 已知正方体 的棱长为 1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G， H，M(如图)，则四棱锥 的体积为__________. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 详解：由题意可得，底面四边形 为边长为 的正方形，其面积 ， 顶点 到底面四边形 的距离为 ， 由四棱锥的体积公式可得： . 点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12. 已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则 的面 积为___________. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积 即可. 详解：由题意可得圆的标准方程为： ， 直线的直角坐标方程为： ，即 ， 则圆心到直线的距离： ， 由弦长公式可得： ， 则 . 点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含 有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____________. 【答案】 【解析】分析：由题意首先求得 a-3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意 等号成立的条件. 详解：由 可知 ， 且： ，因为对于任意 x， 恒成立， 结合均值不等式的结论可得： . 当且仅当 ，即 时等号成立. 综上可得 的最小值为 . 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定—— 积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 已知 ，函数 若关于 的方程 恰有 2 个互异的实数解，则 的取值范 围是______________. 【答案】 【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当 时，方程 即 ， 整理可得： ， 很明显 不是方程的实数解，则 ， 当 时，方程 即 ， 整理可得： ， 很明显 不是方程的实数解，则 ， 令 ， 其中 ， 原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象， 同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件， 结合 观察可得，实数 的取值范围是 . 点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函 数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同 的值，就有几个不同的零点． 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （I）求角 B 的大小； （II）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 b= ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， 即 ，可得 ． 又因为 ，可得 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ， 有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a= ，于是 sin= ． 所以，二面角 E–BC–F 的正弦值为 ． （Ⅲ）设线段 DP 的长为 h（h∈［0，2］），则点 P 的坐标为（0，0，h）， 可得 ． 易知， =（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量， 故 ， 由题意，可得 =sin60°= ，解得 h= ∈［0，2］． 所以线段 的长为 . 点睛：本题主要考查空间向量的应用，线面平行的证明，二面角问题等知识，意在考查学生的转化能力和 计算求解能力. 18. 设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列.已知 ， ， ， . （I）求 和 的通项公式； （II）设数列 的前 n 项和为 ， （i）求 ； （ii）证明 . 【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)（i） .（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项公式可得 （II）（i）由（I），有 ，则 . （ii）因为 ，裂项求和可得 . 详解：（I）设等比数列 的公比为 q.由 可得 .因为 ，可得 ，故 . 设等差数列 的公差为 d，由 ，可得 由 ，可得 从而 故 所以数列 的通项公式为 ， 数列 的通项公式为 （II）（i）由（I），有 ， 故 . （ii）因为 ， 所以 . 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学 生的转化能力和计算求解能力. 19. 设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点 A 的坐标为 ，且 . （I）求椭圆的方程； （II）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若 (O 为原点) ，求 k 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或 【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合椭圆的性质可得 a=3，b=2．则椭圆的方程为 ． （Ⅱ）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）．由题意可得 5y1=9y2．由方程组 可得 ．由方程组 可得 ．据此得到关于 k 的方程，解方程可得 k 的 值为 或 详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2c，由已知知 ， 又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b．由已知可得， ， ， 由 ，可得 ab=6，从而 a=3，b=2． 所以，椭圆的方程为 ． （Ⅱ）设点 P 的坐标为（x1，y1），点 Q 的坐标为（x2，y2）． 由已知有 y1>y2>0，故 ． 又因为 ，而∠OAB= ，故 ． 由 ，可得 5y1=9y2． 由方程组 消去 x，可得 ． 易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0， 由方程组 消去 x，可得 ． 由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= ， 两边平方，整理得 ， 解得 ，或 ． 所以，k 的值为 或 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题． 20. 已知函数 ， ，其中 a>1. （I）求函数 的单调区间； （II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证明 ； （III）证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间 ，单调递增区间为 ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意可得 .令 ，解得 x=0.据此可得函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 . （II）曲线 在点 处的切线斜率为 .曲线 在点 处的切线斜率为 .原问题 等价于 .两边取对数可得 . （III）由题意可得两条切线方程分别为 l1： .l2： .则原问题等价 于当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合.转化为当 时，关于 x1 的方程 存在实数解，构造函数，令 ，结合函数的性 质可知存在唯一的 x0，且 x0>0，使得 ，据此可证得存在实数 t，使得 ，则题中的结论成立. 详解：（I）由已知， ，有 . 令 ，解得 x=0. 由 a>1，可知当 x 变化时， ， 的变化情况如下表： x 0 0 + 极小值 所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 . （II）由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 . 因为这两条切线平行，故有 ，即 . 两边取以 a 为底的对数，得 ，所以 . （III）曲线 在点 处的切线 l1： . 曲线 在点 处的切线 l2： . 要证明当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线， 只需证明当 时，存在 ， ，使得 l1 和 l2 重合. 即只需证明当 时，方程组 有解， 由①得 ，代入②，得 . ③ 因此，只需证明当 时，关于 x1 的方程③存在实数解. 设函数 ， 即要证明当 时，函数 存在零点. ，可知 时， ； 时， 单调递减， 又 ， ， 故存在唯一的 x0，且 x0>0，使得 ，即 . 由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 在 处取得极大值 . 因为 ，故 ， 所以 . 下面证明存在实数 t，使得 . 由（I）可得 ， 当 时， 有 ， 所以存在实数 t，使得 因此，当 时，存在 ，使得 . 所以，当 时，存在直线 l，使 l 是曲线 的切线，也是曲线 的切线. 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历 届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决 生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．