2019-2020学年安徽省安庆市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年安徽省安庆市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省安庆市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出集合的元素，根据交集定义计算．‎ ‎【详解】‎ 解：； ‎ ‎∴． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，考查对数函数的性质，属于基础题．‎ ‎2．下列函数中与是同一函数的是（ ）‎ ‎（1） （2） （3） （4） （5）‎ A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（5）‎ ‎【答案】C ‎【解析】将5个函数的解析式化简后分析可得.‎ ‎【详解】‎ 与不是同一函数;‎ 与是同一函数;‎ 与不是同一函数;‎ 与是同一函数;‎ ‎ 与不是同一函数,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了两个函数相等的概念,从对应关系和定义域两个方面判断是解题关键,属于基础题.‎ ‎3．已知，，和的图像只可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意利用函数的定义域和函数的单调性排除错误选项即可确定满足题意的函数图像.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，据此可排除选项A,C；‎ 函数与的单调性相反，据此可排除选项D，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．‎ ‎4．是定义在上的奇函数，对任意总有，则的值为（ ）‎ A．0 B．3 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 函数是定义在上的奇函数，对任意总有，则函数的周期，‎ 据此可知：.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．已知在区间上为单调递增函数，则实数a的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据二次函数的图象的开口向上以及在上递增，所以对称轴在区间左边．由此可求实数a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 的对称轴为， 又的图象是开口向上的抛物线，在上递增， 所以， 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的图像与性质，属基础题．‎ ‎6．函数的零点所在区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意知函数是减函数，利用零点存在性定理即可找到零点所在区间.‎ ‎【详解】‎ 易知函数为减函数，又，，根据零点存在性原理，可知函数的零点所在的区间是,‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数零点，函数单调性，属于中档题.‎ ‎7．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则、、的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由偶函数的性质可得出函数在区间上为减函数，由对数的性质可得出，由偶函数的性质得出，比较出、、的大小关系，再利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎，则函数为偶函数，‎ 函数在区间内单调递增，在该函数在区间上为减函数，‎ ‎，由换底公式得，由函数的性质可得，‎ 对数函数在上为增函数，则，‎ 指数函数为增函数，则，即，‎ ‎，因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎8．已知，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】把1看成，利用指数函数的单调性求不等式的解.‎ ‎【详解】‎ 原不等式等价于 ①，‎ 当时， ①必成立；‎ 当时，①等价于，故，‎ 综上，有或者，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，可等价地化为：‎ ‎（1）当时，有；‎ ‎（2）当，有.‎ 当对数的底数不确定时，要分类讨论，注意真数恒正的要求.‎ ‎9．已知定义在上的函数满足，其图象经过点，且对任意、，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得知，函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，，由可得出或，解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以，函数的图象关于直线对称，‎ 该函数图象经过点，则，且有，‎ 对任意、，且，恒成立，‎ 可设，则，，即，‎ 所以，函数在上单调递增，由此可得出该函数在上单调递减，‎ 当时，即时，则有，‎ 由于函数在上单调递减，由，得，此时；‎ 当时，即时，则有，‎ 由于函数在上单调递增，由，得，此时.‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数不等式的解法，同时也涉及了单调性与对称性的应用，本题的关键就是要对的符号进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎10．已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】因为单调递增，所以，所以，故选C。‎ 点睛：分段函数的单调性问题，要分别单调和整体单调同时满足。本题中，结合函数的性质，可以得到，所以解出。‎ ‎11．己知函数，若，则（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】分段代表达式,解方程可得.‎ ‎【详解】‎ 当时,,解得;‎ 当时,,解得.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了由分段函数的函数值求参数,属于基础题..‎ ‎12．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题4x-logax≤对恒成立，函数 的图象不在y=logax图象的上方．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意得4x-≤logax在上恒成立，‎ 即当时，函数的图象不在y=logax图象的上方，‎ 由图知：当a＞1时，函数的图象在y=logax图象的上方；‎ 当0＜a＜1时， ，解得 ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题．对数函数另一方面要注意分类对底数a讨论．属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．计算：________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据对数和指数的运算性质可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 原式，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数与指数的运算，解题的关键就是熟练运用对数与指数的运算性质进行计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知函数在区间上的减函数，则实数的取值集合是______.‎ ‎【答案】{1}‎ ‎【解析】设, 要使题设函数在区间上是减函数，只要在区间）上是减函数，且t＞0，故可得对称轴 且 ，由此可求实数的取值集合.‎ ‎【详解】‎ ‎】设,由题意可得对称轴，而且，联立可得.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎15．已知，若，，则______，______.‎ ‎【答案】4 2 ‎ ‎【解析】利用,解出,可得,将其代入到可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以或(舍去),‎ 所以,将其代入得,‎ 所以,‎ 因为,所以,从而,‎ 故答案为:①4,②2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了换底公式,考查了对数式化指数式,考查了解一元二次方程,将用换底公式变形是解题关键,属于基础题.‎ ‎16．已知函数，若方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知，作出函数与函数的图象，将条件“方程有且仅有两个不同的实数根”，转化为“两个函数有且仅有两个不同的交点”，由图象可知当时，两函数已有一交点，则当时，确保再有一个交点即可，所以.‎ 点睛：此题主要考查有关指数函数、对数函数、分段函数，以及函数交点等方面知识，数形结合法等技能，属于中高档题型，也是高频考点.数形结合的思想方法应用广泛，常见的比如在解方程和不等式问题中，在求解三角函数问题中，在求函数的定义域、值域等问题中等等，数形结合思想不仅直观的发现解题途径，而且能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程，尤其在解选择题和填空题中更是节约了不少时间.‎ 三、解答题 ‎17．已知全集，集合,‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若集合，且，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【详解】试题分析：(1)求出集合A,B进行运算即可 ‎（2）分和两种情况，结合数轴列出不等式和不等式组求解 试题解析： (1) ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）①当时，即，所以，此时 满足题意 ‎ ‎②当时，，即时，‎ 所以，解得： ‎ 综上，实数a的取值范围是 ‎18．已知定义域为的函数是奇函数 ‎（1）求的值.‎ ‎（2）判断的单调性，并用定义证明.‎ ‎（3）若存在，使成立，求的取值范围。‎ ‎【答案】(1) (2)见解析；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数为上的奇函数，根据， 分别求出的值；（2）由（1）可得出函数的解析式即，然后根据利用定义证明单调性的步骤证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性化简，进而求得的取值范围；‎ 试题解析：（1）是上的奇函数， ，即， ，由于 ‎∴， 即 经验证符合题意，因此， ‎ ‎（2），因此在上是减函数，证明如下：‎ 任取，且， ‎ ‎， ， 即，因此在上是减函数 ‎（3），且是上的奇函数， ，又由于在上是减函数， ，即，设，则，而 ‎【考点】函数的奇偶性与单调性的综合应用；‎ ‎19．若函数为上的奇函数，且当时，．‎ ‎（1）求在的解析式；‎ ‎（2）若，，试讨论取何值时，零点的个数最多？最少？‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）由奇函数的性质得出，并设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的定义得出函数在的表达式，由此可得出函数在上的表达式；‎ ‎（2）令，得出，作出函数与直线的图象，结合图象得出实数在不同取值下函数的零点个数，由此可得出函数零点最多和最少时，实数的取值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于函数为上的奇函数，则；‎ 当时，，.‎ 综上所述，；‎ ‎（2）令，得出，作出函数与直线的图象如下图所示：‎ 当时，有个零点；‎ 当或时，有个零点；‎ 当时，有个零点；‎ 当或时，有个零点；‎ 当或时，有个零点；‎ 综上所述，当时，零点的个数最多；当或时，零点的个数最少．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数解析式的求解，同时也考查了利用函数零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合思想求解，考查化归与转化思想、数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.‎ ‎（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；‎ ‎2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据销售额减去成本（固定成本万和成本）求出利润函数即可.‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，；‎ 当时，，‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）若，，‎ 当时，万元 .‎ 若，，‎ 当且仅当时，即时，万元 .‎ ‎2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.‎ ‎【点睛】‎ 解函数应用题时，注意根据实际意义构建目标函数，有时可根据题设给出的计算方法构建目标函数.求函数的最值时，注意利用函数的单调性或基本不等式.‎ ‎21．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为增函数.‎ ‎（1）求不等式的解集.‎ ‎（2）设，是否存在实数，使在区间上的最大值为2，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意偶函数和在上为增函数，解得，得到，结合定义域和单调性，解得答案；（2）由在上有意义得，所以且，所以在上为增函数，分和两类讨论，解得答案。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知得且，所以或 当时，为奇函数，不合题意 当时，‎ 所以不等式变为 则，解得 所以不等式的解集为.‎ ‎（2），令，由得 因为在上有定义 所以且，所以在上为增函数 ‎（Ⅰ）当时，‎ 即，∴，又，∴‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 即，∴，此时解不成立.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）当时，求的值域.‎ ‎（2）若存在区间，使在上值域为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）当时，得到函数的解析式，利用对数函数的单调性，分类讨论即可求解函数的值域；‎ ‎（2）由，的值域为，又由在上单调递增，列出方程组，转化为方程有两个不同的根，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎（2）因为，的值域为，而在上单调递增， ‎ 所以，即存在使，即方程有两个不同的根，即有两个不同的根 ‎ 令=t 即方程有两个不同的正数根 ‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的定义域和值域的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及合理利用函数的定义域和值域，列出相应的方程组，转化为方程有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎