2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆实验中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，则(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集的概念，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．复数对应的点在复平面的位置是(　 　)‎ A．实轴 B．虚轴 C．第一象限 D．第二象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将复数化简整理，再由复数的几何意义，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以复数在复平面内对应点的坐标为，‎ 即复数对应的点在复平面的位置是虚轴.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数对应点的位置，熟记复数的几何意义以及复数的乘法运算即可，属于基础题型.‎ ‎3．设复数满足，则复数(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由复数的除法运算求出，进而可求出其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法以及求共轭复数，熟记复数除法运算法则以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎4．已知函数的导数为，则(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，将代入导函数，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎5．函数(为自然对数的底数)在区间上的最小值是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：先求导，再求函数在区间[-1,1]上的最大值.‎ 详解：由题得令 因为.‎ 所以函数在区间[-1,1]上的最大值为e-1.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：‎ ‎①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；‎ ‎②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，‎ 最小的一个为最小值.‎ ‎6．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．则曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出的焦点坐标可得根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，结合性质解得，，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点坐标，‎ 则双曲线的焦点坐标为，可得，‎ 双曲线的一条渐近线方程为，‎ 可得，即，可得，解得，，‎ 所求的双曲线方程为：，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的方程，以及简单性质的应用，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎7．下列三个结论：‎ ‎①命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；‎ ‎②若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件；‎ ‎③命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件；‎ 其中正确结论的个数是(　 　)‎ A．个 B．个 C．个 D．个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的概念可判断①；根据充分条件与必要条件的概念可判断②③.‎ ‎【详解】‎ 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故①正确；‎ 由是的充分不必要条件，可得由能推出，但是不能推出，所以能推出，不能推出，故是的充分不必要条件，即②正确；‎ 若“为真”是命题，则都为真，所以为真；若为真，则至少有一个为真，所以“为真”是命题“为真”的充分不必要条件，即③错误.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的判定，熟记四种命题之间关系、以及充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.‎ ‎8．已知集合，那么“”是“ ”的(　 　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题得：，则成立，而且 ，所以前后互推都成立，故选C ‎9．函数为上的增函数的一个充分不必要条件是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数在上为增函数时，的范围，结合选项即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若函数在上为增函数，‎ 则在上恒成立，所以；‎ 因此，求函数为上的增函数的一个充分不必要条件，即是找的一个子集，由选项可得，选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念以及根据导数求参数的方法即可，属于常考题型.‎ ‎10．观察下列各式：‎ ‎……‎ 据此规律，所得的结果都是的倍数，由此推测可有(　 　)‎ A．其中包含等式： B．一般式是 C．其中包含等式： D．的倍数加必是某一质数的完全平方 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中条件，归纳出，是的倍数，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 …，‎ 即 …，‎ 归纳可得： 是的倍数，‎ 由，可推测出.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，熟记概念即可，属于常考题型.‎ ‎11．已知实数是给定的常数，函数的图象不可能是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断.‎ ‎【详解】‎ 当m=0,C符合题意，‎ 当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题.‎ ‎12．已知是定义在上的连续可导的函数，且满足当，则函数 的零点个数为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（-∞，0）上也无零点，从而得出结论．‎ 详解：‎ 点睛：本题考察了函数的单调性，导数的应用，函数的零点，属中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题“”的否定是___________________.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 特称命题的否定需把存在量词变为全程量词，再否定结论，故命题，，‎ 则，，故答案为，.‎ ‎14．抛物线的准线方程是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化成抛物线的标准方程，利用抛物线的性质求解即可。‎ ‎【详解】‎ 由得：，所以，即：‎ 所以抛物线的准线方程为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。‎ ‎15．已知在处有极值，则___________________.‎ ‎【答案】－7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据极值以及导数值为零列方程组，再验证，最后得结果.‎ ‎【详解】‎ 或 当时，不合题意，舍去，‎ 因此 ‎【点睛】‎ 本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎16．已知函数 ，若方程在上有个实根，则的取值范围为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程在上有个实根，转化为方程在上有个实根，再令，可得直线与曲线在上有个交点，用导数的方法研究函数的单调性，确定其大致图像，由数形结合的思想，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由在上有个实根，可得方程在上有个实根，令，‎ 则直线与曲线在上有个交点，‎ ‎（1）当时，，所以，‎ 由得，‎ 所以当时，，即单调递增；‎ 当时，，即单调递减；‎ 故；；‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，由得，‎ 所以，当时，，即单调递减；‎ 当时，，即单调递增；‎ 所以；；‎ 作出函数在的简图如下：‎ 因为直线与曲线在上有个交点，‎ 所以，由图像可得：的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，用导数的方法研究对应函数的单调性，结合数形结合的思想求解，属于常考题型.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求，的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．‎ ‎【答案】(1),；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为 ‎（2）将代入 得得， 所以 因为的半径为1，则的面积为 考点：坐标系与参数方程.‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图（请在答题卡上作图！）；‎ ‎（Ⅱ）求出关于的线性回归方程；（参考公式：，）‎ ‎（Ⅲ）试预测加工10个零件需要多少时间？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）小时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题中数据，可直接得出散点图；‎ ‎（Ⅱ）根据题中数据，结合，求出，即可得出回归方程；‎ ‎（Ⅲ）将代入（Ⅱ）的结果，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）散点图如图所示．‎ ‎（Ⅱ）由表中数据得52.5，54，，‎ ‎∴‎ ‎∴.∴.‎ ‎（Ⅲ）将代入回归直线方程，得(小时)．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归分析，熟记最小二乘法求的估计值即可，属于常考题型.‎ ‎19．[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎【解析】分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．‎ 详解：（1）曲线的直角坐标方程为．‎ 当时，的直角坐标方程为，‎ 当时，的直角坐标方程为．‎ ‎（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ‎．①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．‎ 又由①得，故，于是直线的斜率．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线 在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】(1) x＋y－2＝0；(2) 当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a无极大 ‎【解析】‎ 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，‎ f′(x)＝1－ (x>0)，‎ 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；‎ 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．‎ ‎21．已知椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率为，直线与椭圆交于两点．点为椭圆上一点，求的面积的最大值及此时直线的直线方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）面积的最大值为,此时直线的方程为：‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意列出关于的方程组，求解即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）先设的方程为，点，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、弦长公式以及点到直线距离，表示出的面积，进而可求出其最大值，确定此时的直线方程.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由条件得：，解得，∴椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设的方程为，点，由消去得．令，解得，‎ 由韦达定理得．‎ 则由弦长公式得．‎ 又点到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时取得最大值．∴面积的最大值为，‎ 此时直线的方程为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆方程以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆的方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数， ， 令.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）递增区间为；（2）最小值为2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得.利用导函数研究函数的性质可得的单调递增区间为，单调递减区间为.，无极小值.‎ ‎（2）法一：令，则.由导函数研究函数的最值可得的最大值为.据此计算可得整数的最小值为2.‎ 法二：原问题等价于恒成立，令，则，由导函数研究函数的性质可得整数的最小值为2.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 所以.‎ 令得；‎ 由得，所以的单调递增区间为.‎ 由得，所以的单调递减区间为.‎ 所以函数，无极小值.‎ ‎（2）法一：令 .‎ 所以 ‎.‎ 当时，因为，所以所以在上是递增函数，‎ 又因为.‎ 所以关于的不等式不能恒成立.‎ 当时， .令得，‎ 所以当时，；‎ 当时，，‎ 因此函数在是增函数，在是减函数.‎ 故函数的最大值为.‎ 令，因为，，‎ 又因为在上是减函数，所以当时，.‎ 所以整数的最小值为2.‎ 法二：由恒成立知恒成立，‎ 令，则，‎ 令，因为，‎ ‎，则为增函数.‎ 故存在，使，即，‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，，为减函数.‎ 所以，‎ 而，所以，‎ 所以整数的最小值为2.‎ ‎【点睛】‎ 导数是研究函数的单调性、极值(最值)‎ 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎