2018-2019学年河北省辛集中学高二上学期第一次月考数学试题 解析版
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河北省辛集中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题
评卷人
得分
一、单选题
1．命题“， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】根据命题的否定易得：命题“， ”的否定是，
2．分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：分别在区间和内任取一个实数，依次记为和，则点构成的平面区域为一矩形，在矩形内且的区域为梯形，如下图所示，所以所求概率，故选A.
考点：几何概型.
3．如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为sA和sB,则( )
(A)>,sA>sB (B)<,sA>sB
(C)>,sA
sB,故选B.
4．由辗转相除法可以得到390，455，546三个数的最大公约数是( )
A． 65 B． 91 C． 26 D． 13
【答案】D
【解析】
【分析】
根据辗转相除法得到546与390的最大公约数为78，455与78的最大公约数为13，进而得到结果.
【详解】
∵546＝390×1＋156，390＝156×2＋78，156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78. 又∵455＝78×5＋65，78＝65×1＋13，65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13.故390，455，546的最大公约数为13.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查到了辗转相除法求最大公约数的方法，较为基础.
5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A． 280 B． 320 C． 400 D． 1000
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为，得到要求的结果
【详解】
由题意知这是一个分层抽样问题，
青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，
要从该单位青年职员中抽取的人数为：
每人被抽取的概率为，
该单位青年职员共有
故选
【点睛】
本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。
6．设，则“，且”是“”的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：由题意逐一考查充分性和必要性即可.
详解：若“，且”，有不等式的性质可知“”，则充分性成立；
若“”，可能，不满足“，且”，即必要性不成立；
综上可得：“，且”是“”的充分不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据求出公比q的取值范围，然后与比较后可得结论．
【详解】
设等比数列的首项为，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
本题考查充分、必要条件的判断和等比数列的通项公式，解题时根据充分、必要条件的定义进行求解，考查运算求解能力，属于基础题．
8．下列命题中，不是真命题的是（ ）
A． 命题“若，则”的逆命题.
B． “”是“且”的必要条件.
C． 命题“若，则”的否命题.
D． “”是“”的充分不必要条件.
【答案】A
【解析】命题“若，则”的逆命题为：若，则
,显然是错误的，当m=0时则不成立，故A是假命题.
9．某品牌产品，在男士中有10%使用过，女士中有40%的人使用过，若从男女人数相等的人群中任取一人，恰好使用过该产品，则此人是位女士的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：记“从男女人数相等的人群中任取一人，此人使用过该产品，”为事件A，记“从男女人数相等的人群中任取一人，此人是位女士”为事件B，设男女人数均为m人，则P(A) =0.25，
P(AB) ，所以。
考点：随机事件的概率；条件概率。
点评：本题考查条件概率，是高中阶段见到的比较少的一种题目，针对于这道题同学们要好好分析，再用事件数表示的概率公式做一遍，有助于理解本题。
10．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45°的直线，交椭圆于两点，设为坐标原点，则等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由方程可求椭圆的焦点为，不妨设所作直线过焦点，于是得到直线方程为，与椭圆方程联立后可求得点的坐标，然后由可得所求．
【详解】
由题意得椭圆的方程即为，
∴，
∴，
∴椭圆的焦点为．
不妨设倾斜角为45°的直线过点，则其方程为．
由消去整理得，
解得或，
当时，；
当时，．
∴．
故选C．
【点睛】
解答直线与椭圆位置关系的题目时，常把直线方程与椭圆方程联立，消去x(或y)后得到一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参的等量关系．由于解题中会涉及到大量的计算，所以在解题过程中一般利用“设而不求”和“整体代换”的方法，以减少计算量、提高解题的效率．
11．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）
A． 9 B． 10 C． 11 D． 13
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得,解得;
,解得． ．故D正确．
考点：平均数,中位数．
12．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是（ ）
A． (m－2)2＋n2＝4 B． (m＋2)2＋n2＝4 C． (m－2)2＋n2＝8 D． (m＋2)2＋n2＝8
【答案】C
【解析】
设切线斜率为，则切线方程为
所以
由题意得上面方程有两个互为负倒数的根，即，即(m－2)2＋n2＝8，选C.
13．已知直线经过椭圆的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线过椭圆的左焦点可求出c=2，再由直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴交于点N，推导出，进而可得b的值，由此可求出椭圆的方程．
【详解】
由题意得直线与轴，轴的交点分别为．
∵直线经过椭圆的左焦点F1，
∴，
∴．
∵直线与椭圆在第二象限的交点为M，与y轴的交点为N，
且|MN|=|MF2|，
∴，
∴，
∴，
∴椭圆的方程为．
故选D．
【点睛】
求椭圆的标准方程时，在已知椭圆方程形式的前提下，只需求出方程中的参数即可，解题的关键是根据题意建立关于的方程（组），或者是根据题中的几何关系直接求出，进而得到方程．
14．从1，2，…，10这十个数中任意取出两个，假设两个数的和是偶数的概率为p，两个数的积是偶数的概率为q.给出下列说法：①p＋q＝1；②p＝q；③|p－q|≤；④p≤.其中说法正确的有( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据古典槪型概率分别求出的值，然后再对所给的四种说法的正确性作出判断后即可得到结论．
【详解】
从1，2，…，10这十个数字中任意取出两个数，共有种不同的取法．
当两个数和是偶数时，则这两个数都是偶数或都是奇数，共有种取法，
所以两个数的和是偶数的概率为；
当两个数的积是奇数时，则两个数必须都是奇数，有种，
因此两个数的积是偶数的概率为．
所以①，②，③不正确，④正确．
故选A．
【点睛】
本题实质上是考查古典概型概率的计算，求解此类问题的关键是确定基本事件的总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，然后再根据公式计算，考查计算能力．
15．利用秦九韶算法求当时的值为
A． 121 B． 321 C． 283 D． 239
【答案】C
【解析】
【分析】
把条件中的函数式改写为f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1，然后逐步计算出x=3时对应的函数值即可．
【详解】
将函数式变形成一次式的形式可得．
当x=3时，
，
，
，
，
，
．
所以当x=3时，f(x)=283．
故选C．
【点睛】
（1）秦九韶算法的特点在于把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值，即把求的值转化为求递推公式：
这样可以最多计算n次乘法和n次加法即可得多项式的值，和直接代入多项式相比减少了乘法的运算次数，提高了运算效率．
（2）运用秦秋韶算法求值时要注意解题的格式，要重视解题的规范性和计算的准确性．
16．设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若△ABF2的内切圆的面积为π,则|y1-y2|= （ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得△ABF2内切圆半径r=1，进而可得△ABF2的面积为，再由△ABF2的面积等于，可求出的值．
【详解】
画出图形如下图所示．
∵椭圆方程为，
∴．
又△ABF2的内切圆的面积为π，
∴△ABF2内切圆半径r=1．
∴，
又，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
本题考查焦点三角形内切圆面积的求法和椭圆定义的运用，解题的关键一是采取“算两次”的方法，根据三角形面积的唯一性得到等式后求解，二是合理运用椭圆的定义进行计算．考查转化能力和计算能力，属于基础题．
第II卷（非选择题）
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评卷人
得分
二、填空题
17．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在内的概率为，那么重量超过300克的概率为________．
【答案】
【解析】
设重量超过300克的概率为，因为重量小于200克的概率为， 重量在内的概率为，所以，故答案为.
18．命题“”是假命题，则m的取值范围为__________。
【答案】
【解析】
【分析】
根据等价命题求解，转化为不等式恒成立的问题．
【详解】
∵命题“”是假命题，
∴，不等式恒成立．
设，
则有，解得，
∴实数的取值范围为．
【点睛】
解答本题时注意两点：（1）解决问题时，若直接求解不容易时，可从问题的反面考虑，运用“正难则反”的解题方法；（2）解决二次不等式的恒成立问题时，可通过分离参数转化为求函数的最值的问题处理，也可根据一元二次方程根的分布处理．
19．若直线l：与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆
截得的弦长为4，则(O为坐标原点)的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求得点的坐标，再根据直线被圆截得的弦长为4求出的关系，最后可根据基本不等式求出的最小值．
【详解】
在中，
令，得；令，得，得，
∴点的坐标分别为．
由题意得圆的方程为，圆心为，半径为2，
∵直线被圆截得的弦长为4，
∴直线过圆心，
∴，即．
∴，
当且仅当且，即时等号成立．
∴的最小值为．
【点睛】
本题综合性较强，既考查解析几何的知识又考查用基本不等式求最值．在用基本不等式求最值时要注意不等式的使用条件，即“一正二定三相等”，且三个条件缺一不可，若题中不满足使用基本不等式的条件，则需要通过适当的变形，变成能够使用不等式的形式，然后再用基本不等式求解．
20．下列关于概率和统计的几种说法：
①10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为c＞a＞b；
②样本4，2，1，0，－2的标准差是2；
③在面积为S的△ABC内任选一点P，则随机事件“△PBC的面积小于”的概率为；
④从写有0，1，2，…，9的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同的概率是.
其中正确说法的序号有________．
【答案】②④
【解析】
【分析】
①根据平均数，中位数，众数的定义进行比较即可；②根据标准差的公式进行判断；③根据几何概型的概率公式进行求解判断；④根据古典概型概率概率公式进行判断．
【详解】
对于①，由题意原数据为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，故可得该组数据的平均数，中位数，众数为，所以，故①不正确．
对于②，由题意得样本的平均数为1，
故方差为，所以标准差为2，故②正确．
对于③，如图，作出△ABC的高，当△PBC的面积等于时，，
要使△PBC的面积小于，则点P应位于图中的阴影部分内，
由题意可得，故，
所以由几何概型概率公式可得“△PBC的面积小于”的概率为，
故③不正确．
对于④，由题意得所有的基本事件总数为个，事件“有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的数字各不相同”包含的基本事件有个，根据古典概型的概率公式得所求概率为，故④正确．
综上可得②④正确．
故答案为②④．
【点睛】
此类问题涉及的内容较多，解题时要根据每个说法中所涉及的内容进行分析，所以要求对所学知识要有一个完整、清晰的认识；同时判断一个说法正确时要进行推理证明，要说明一个说法是错误的时，只需举出一个反例即可，解题时要注意方法的灵活选择．
评卷人
得分
三、解答题
21．已知：，：（），若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
试题分析：将“是的必要不充分条件”转化为“ 是的充分不必要条件”，通过解二次不等式化简命题，据的关系写出端点的大小关系，列出不等式组，求出的范围．
试题解析：∵：，
∴：，
由：，
解得（），
∴：（）．
由是的必要而不充分条件可知：，
∴或解得．
∴满足条件的的取值范围为．
考点：充分必要条件的应用
22．某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异，从2016级的年龄在18～19岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各10名，测量他们的身高，量出的身高如下(单位：cm)：
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.
(1)根据抽测结果，画出茎叶图，对来自南方和北方的大学生的身高作比较，写出统计结论．
(2)设抽测的10名南方大学生的平均身高为cm，将10名南方大学生的身高依次输入如图所示的程序框图进行运算，问输出的s大小为多少？并说明s的统计学意义。
【答案】（1）见解析部分；（2）s＝42.6，s表示10位南方大学生身高的方差，是描述身高的离散程度的量．s值越小，表示身高越整齐，s值越大，表示身高越参差不齐．
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出茎叶图即可，然后根据茎叶图写出统计结论．（2）由框图可得s表示样本数据的方差，然后根据题中数据求出s即可，然后说明它的统计学意义．
【详解】
(1)由题意画出茎叶图如图所示．
统计结论(给出下述四个结论供参考)：
①北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高；
②南方大学生的身高比北方大学生的身高更整齐；
③南方大学生的身高的中位数为169.5 cm，北方大学生的身高的中位数是172 cm；
④南方大学生的身高基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，北方大学生的身高分布较为分散．
（2）由程序框图可得s表示10位南方大学生身高的方差．
由题意得10位南方大学生身高的平均数，
故方差为．
s是描述身高的离散程度的量，它的统计学意义是：s的值越小，表示身高越整齐，s的值越大，表示身高越参差不齐．
【点睛】
本题考查用统计学的知识解决实际问题，考查综合运用知识解决问题的能力，解题的关键是根据统计的有关概念进行计算、然后给出结论．由于此类问题一般涉及到大量的计算，因此解题时要注意计算的准确性．
23．如下图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【答案】（1）y＝3或3x＋4y－12＝0；（2）
【解析】试题分析：（1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆的半径为，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆的圆心在直线：上可设圆的方程为，由可得的轨迹方程为，若圆上存在点，使，只需两圆有公共点即可.
试题解析：（1）由得圆心，
∵圆的半径为1，
∴圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圆的切线方程为或．
（2）∵圆的圆心在直线：上，所以，设圆心为，
则圆的方程为．
又∵，
∴设为，则，整理得，设为圆．
所以点应该既在圆上又在圆上，即圆和圆有交点，
∴，
由，得，
由，得．
综上所述，的取值范围为．
考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.
【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆上存在点，使问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.
视频
24．2013年1月，北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月．据气象局统计，北京市2013年1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气，《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》如表1：
表1 空气质量指数AQI分组表
AQI指数M
0～50
51～100
101～150
151～200
201～300
>300
级别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
状况
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况，表3是某气象观测点记录的北京市2013年1月1日至1月30日的AQI指数频数分布表．
表2 AQI指数M与当天的空气水平可见度y(km)的情况
AQI指数M
900
700
300
100
空气水平可见度y(km)
0.5
3.5
6.5
9.5
表3 北京市2013年1月1日至1月30日AQI指数频数分布表
AQI指数M
[0，200)
[200，400)
[400，600)
[600，800)
[800，1000]
频数
3
6
12
6
3
（1）设x＝，根据表2的数据，求出y关于x的线性回归方程．
(参考公式：，．)
(2)小王在北京开了一家洗车店，经小王统计：当AQI指数低于200时，洗车店平均每天亏损约2000元；当AQI指数在200至400时，洗车店平均每天收入约4000元；当AQI指数不低于400时，洗车店平均每天收入约7000元．
①估计小王的洗车店在2013年1月份平均每天的收入；
②从AQI指数在[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天，求这2天的收入之和不低于5000元的概率．
【答案】（1）＝－x＋.（2）①5500元，②。
【解析】
【分析】
（1）根据题中的数据及给出的公式求出和后可得回归方程．（2）①由题意可得在1月份30天中有3天洗车店每天亏损约2000元，有6天每天收入约4000元，有21天每天收入约7000元，然后求出平均数即为所求；②根据古典概型的概率和对立事件的概率求解．
【详解】
(1)因为＝＝5，＝＝5,
＝92＋72＋32＋12＝140，
所以＝＝－，
故＝5－×5＝，
所以y关于x的线性回归方程是＝－x＋．
(2)①根据表3可知，在1月份30天中有3天洗车店每天亏损约2000元，有6天每天收入约4000元，有21天每天收入约7000元，
故1月份平均每天的收入约为×(－2000×3＋4000×6＋7000×21)＝5500(元)．
②记AQI指数在[0，200)内的3天为A1，A2，A3，AQI指数在[800，1000]内的3天为
B1，B2，B3，则从[0，200)和[800，1000]内的这6天中抽取2天的所有情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种，
其中满足这2天的收入之和低于5000元的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种，
故由古典概型的概率计算公式可得，这2天的收入之和低于5000元的概率为＝．
由对立事件的概率计算公式得，这2天的收入之和不低于5000元的概率为1－＝．
【点睛】
（1）求线性回归方程时，由于涉及到大量的、复杂的运算，所以解题时要注意运算的合理性和准确性，以减少错误．
（2）概率问题常常和统计问题结合在一起考查，求概率时要分清概率的类型，对于古典概型的概率，解题的关键是求出所有的基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数，常用的方法是列举法和树状图法．
25．已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（1，0）和（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．
【答案】（1）（2），定圆的标准方程为
【解析】【试题分析】(I)依题意得,将利用椭圆的定义计算出,最后计算出,得到椭圆的方程.设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式建立方程,求得定圆的标准方程.
【试题解析】
(Ⅰ)由椭圆定义得，
即，又，所以，得椭圆C的标准方程为
(Ⅱ）设直线的方程为，，
直线的方程与椭圆方程联立，消去得，
当判别式时，得，
设，因为点在直线上，得，
整理得，
即，化简得
原点O到直线的距离，，
由已知有是定值，所以有，解得
即当时，直线与以原点为圆心的定圆相切，
此时，定圆的标准方程为
【点睛】本小题主要考查利用椭圆的定义求椭圆的标准方程,考查直线和抛物线的位置关系,联立方程组和韦达定理的应用,还考查了直线和圆的位置关系.由于已知条件知道椭圆的焦点坐标和椭圆上一点的坐标,所以可以利用椭圆的定义直接求得的值,进而求得的值和椭圆方程.
